哲学视角下的数学思想方法.pdf

l O数学教学研究第3 3 卷第5 期2 0 1 4 年5 月 哲学视角下的数学思想方法 樊彦琴 兰州职业技术学院基础教学部 甘肃7 3 0 0 7 0 数学是用抽象的量化方法研究物质世界 空间形式和数量关系及其结构模式的科学 哲学是理论化 系统化 辩证化的世界观和方 法论 是研究这个世界的本质及其规律的科 学 数学与哲学的关系源远流长 恩格斯曾 说 数学中的转折点是笛卡尔的变数 有了 变数 辩证法进入了数学 有了变数 微分和 积分也就立刻成立了 数学家B D e m o l l i n s 说 没有数学 我们无法看穿哲学的深度 而 没有哲学 人们也无法看穿数学的深度 而若 没有两者 人们就什么也看不透 纵观整个 数学发展史我们可以看到 推动数学发展的 巨匠往往就是哲学家 如柏拉图 笛卡尔 莱 布尼兹 希尔伯特等 而杰出的哲学家又精通 数学 如黑格尔 马克思和恩格斯 有的既是 数学家又是哲学家如罗素 牛顿等 数学家哥 特罗布 佛雷格曾说 一个好的数学家 至 少是半个哲学家 一个好的哲学家 至少是半 个数学家 这就生动地描述了数学与哲学有 着难以割舍的关系 精辟地道出了数学中蕴 含着丰富的辩证思维方法 而哲学为数学的 发展提供了坚实的理论基础 因此 笔者认为 有必要从哲学视角对数学有关思想方法作进 一步的深入探讨 1 鲜活多样的世界和抽象统一的数学 1 1 抽象与具体的关系 抽象与具体是对立统一的辩证关系 是 辩证思维的方法 抽象是具体的意识形态 具 体是抽象的思维方式和行为方式 正如列宁 所说 物质的抽象 自然规律的抽象 价值的 抽象等等 一句话 一切科学的 正确的 郑重 的 不是荒唐的 抽象 都更深刻 更正确 更 完全地反映着自然 抽象来自具体 具体反 映抽象 抽象是具体的概括 具体是抽象的物 化 如果只谈抽象 不谈具体例子 抽象就会 变成无源之水 无本之木 抽象就难于理勰 难于接受 概括地讲 数学具体与抽象的路线 图l 如示 阿丽面L 垫虬阪涸 图1 1 2 数学抽象的特征 由于任何客观事物都是质与量的统一 而数学正是研究客观事物量的问题的一门科 学 数 与 形 曾是数学 量 这一概念的核 心内容 恩格斯说 数学是研究数量关系和 空间形式的一门科学 这便清楚地表明了数 学抽象的特殊内容 数学的抽象完全舍弃了 事物质的内容 而仅仅保留了它们的量的属 性 即数学抽象的目的只是数量关系和空间 形式 从而也决定了数学抽象的特殊性 量化 特征和形式化特征 例如 从著名的 七桥问 题 的解决可以看出 欧拉解决问题的关键是 两步抽象 首先从实际问题抽象出形式结构 其次再对形式结构进一步分析 最后抽象出 其本质数量特征 由此得出判别准则 从而使 问题得到解决 这充分体现了数学抽象的形 式化和量化的特点 也正因如此 数学概念或 规律 大多数是经过多次的抽象才得到的 并 且 人们也一再谋求着抽象基础上的再抽象 万方数据 第3 3 卷第5 期2 0 1 4 年5 月数学教学研究 1 l 把抽象的进度作为数学进步的标志之一 例 如函数是数集之间的一种映射 如果把它的 定义域由数集改为函数集 命题集等一般集 合 就把这种映射称为泛函 命题函数等 由 此可见 数学高度的抽象性和统一性与数学 应用广泛性的相融性和一致性 2 运动与静止 2 1 动与静的关系 运动是物质的存在形式和固有属性 包 括宇宙间的一切变化和过程 静止是运动的 一种特殊形式 运动是绝对的 永恒的 无条 件的 静止是相对的 暂时的 有条件的 运动 和静止是对立的统一 即没有绝对的运动就 没有相对的静止 没有相对的静止也显示不 出绝对的运动 函数是最能体现动与静的关系的一个概 念 因为函数概念中蕴含着动与静相互依赖 关系 比如 函数的变量说 z y 和对应说 A B 都是动与静的结合 只不过前者突出 了变量 动 的一面 后者突出了集合 静 的 一面而已 由此可见函数概念充分体现了客 观事物之间量与量的关系 动与静的对立统 一思想 也正如此 函数是描写运动 解决实 际问题和有关理论问题的有力工具 又因函数从关系视角看 由变量说一对 应说一关系说 还在不断的发展 从其研究的 对象元素而言 也在不断的扩大 即由数一函 数 命题等 正因如此 函数的概念被称为数 学中永恒的概念 2 2 利用动与静的辩证关系解题 一2 2 例1 已知A 为椭圆舞 署一1 上任一 厶U了 点 B 为C z 一1 2 y 2 一l 上任一点 求 I A B l 的最大值和最小值 分析常规思路 设出C B 的坐标代入 距离公式 复杂冗长 难以求出最值 因此改 变思维方向 另辟蹊径 利用 以静制动 的思 想 不妨先固定A 点 则问题转化为 在已 知圆上找一点B 使I A B I 最大或最小 由平 面几何知识 得线段A B 必过圆心C 故要求 l A B I 的最大或最小 只需求I A C l 的最值 解圆C z 一1 2 y 2 一l 的圆心为C 1 o 半径为1 设点A z y 为椭圆螽 等 一1 上一点 则 I A C 2 一 z 一1 2 了2 一 z 一1 2 9 一甍 1 6 厂2 5 2 1 3 5 一磊I z 一而J 十面 因为点A z y 在椭圆蓑 等一1 上 所 以一5 z 5 根据二次函数在 一5 5 上的性质 当z 嚣时 l A c I 曲一弘竽 当z 一一5 时 j A C I 一6 所以 I A B I 喊一l A c l 疵一1 一王等堕一1 I A B I 一一I A C l 1 7 例2 求墼s 一志 熹 南 卜啪1 dt UU f 西再可毛习面 分析本题是求数列女 熹 南 西茅j 黄西再面 的前n 项和极限 首 先得求出前竹项和S 而这个数列即不是等 差数列 也不是等比数列 无确定的求和公 式 咋看有点难 但如果把各项的常量按照变 量的规律作一些变化 先拆项再求和 即可求 出 解数列志 熹 南 砭茅j 黄丽 的通项公式是 1 西再可死丽 万方数据 1 2 数学教学研究第3 3 卷第5 期2 0 1 4 年5 月 一丢 击一嘉 2 2 咒一l2 n 1 所以 酽志一丢 一号 1 1 砚一西孺一i l 了一iJ 1 1 一F 西一虿I i 一了J 兰 一 2 佗一1 2 咒 1 一丢 嘉一赤 2 2 咒一12 咒 1 相加得 s 一丢 1 一荔南 西轩 麴铲志 熹 由 牟 上 一 2 z 一1 2 咒 1 一姆丢 一赤 一丢 3 原因与结果 3 1 因果关系的客观基础 原因和结果反映事物 现象之间的相互 联系和相互制约 当把事物从普遍联系中抽 象出来 就会看到有序地不断更替的运动 一 种现象会引起另一种现象 前者为原因 后者 为结果 这种因果观念是人们自觉活动不可 少的逻辑思维方法 3 2 数学因果关系的特征 由于逻辑严密性是数学的重要特征 因 此数学的概念 公式 定理 性质的发现 发展 等 都蕴含有内在的逻辑必然性 特别是数学 命题的真 假性 只能靠形式的推理和演绎的 逻辑证明 其实一个协调一致的数学结构或 系统 从本质上讲 是由真命题运用逻辑 穿 针引线 编辑成的有网络结构的统一体 其网 络的每一个 点 都是该系统的一个真命题 此命题对其前而言是果 对后却变成了因 也 就是说因与果是一个相对概念 4 有限与无限 4 1 有限与无限的关系 有限和无限的关系是辩证的 是对立的 统一 具体表现在 无限是在有限的基础上发 展而成的 无限不能脱离有限而独立存在 另 一方面 每个有限元素又不是孤立存在 而是 有相互依存的内在联系 而且这种联系具有 统一性 正因为有某种统一性 才能使有限无 限制的发展下去而成无限 比如 自然数集是 一个无限集 该无限集形成过程是 在数1 的 基础上 构成了有限自然数集 再将有限自然 数集无限延伸获得整个无限自然数集 这种 无限延伸靠的是自然数之间的一种内在的统 一联系 即任何两个相邻的自然数之间相差 是1 就靠这种统一性自然数由有限就必然 地延伸到无限 从而构成了整个自然数集N 在无限自然数集N 的基础上 利用自然 数有序对的等价类建立了有理数集Q 再在 Q 的基础上 利用有理数的基本列的等价类 建构了实数集R 在自然数集中每个数的表示法是唯一 的 但在有理数集中每个数的表示形式就不 10o 唯一了 而且有无限个 比如 1 一 一号一号 1厶o 1oo 一 告一 一詈一 在R 中每个数都可 厶tU 用无限个无限基本列来表示 比如 1 可以表 示成o 9 9 9 9 即O 9 9 9 9 一1 以上表明 数系的发展和完备 是在有限 数的基础上 依据其内在的统一性及其逻辑 的必然性而构成的一个有序的完备的统一 体 无限的概念本是属于哲学的范畴 但对 无限概念给出严格定义 到目前为止还只有 数学 比如 无限收敛数列 无限级数的和等 4 2 用有限的方法认识和解决有关无限的 问题 4 2 1 用有限与无限的辩证关系 解决函数 万方数据 第3 3 卷第5 期2 0 1 4 年5 月 数学教学研究 1 3 的一般问题 例3 证明l i m 一A 解法概述通过一个用有限步骤就可以 解出的算术不等式 就可获得其证明 即由解 l z 一A l 令N 一 故l i m z 一A 得证 同理可证 l i m 八z A 即由I z 一A I 吒 得l z 一面I z 2 R 由z 1 z 2 净 z z 即可 因为z 1 z 2 净z 1 一z 2 O z 一 z 一 z l z 2 z 1 一z 2 又因z 1 z 2 O 所 以彳一z o 即z i z 色又因为上述不等式 的成立与z z z 在无穷集R 中的取法无关 从而可以推出 对于无穷集R 中的所有z 2 都有z z l 故在R 中3 值随着z 的 增加而增加 即y 一工2 z R 是单调递增函 数 4 2 2 用有限与无限的辩证关系 进一步揭 示函数的深层次性质 例5 求函数y s i nz z n 6 的变 化率或速度 解法概述首先 用极限的方法求出函 数在某一点的变化率 即对确定的函 口 加 依据变化率的定义有 l S I n L 勘1 z 夕一s l n 勘 王l m 了 C O Sj 这是一个由无限变化过程获得一个确定 值c o s 勘的过程 其次 由在勘点的导数 可直接推出在 整个无限域 口 明上的导函数 即将勘 明换成z 口 6 同样有 l i m 韭血 掣趣 c o sz 脚n 又因此式成立与z 的取法无关 所以对 6 中的所有z 都成立 从而有 y 7 s i nz 一c o sz z 口 加 这种能 一点代线 即能将点 线或有限 和无限统一 其根本原因是由于以上公式中 就隐含有内在的高度统一性而决定 由此可 以看出 如果说美术是显性形象美的典型 那 么数学就是隐性内在统一美的典型 5 微观与宏观 一般而言 宏观是指事物的各个部分的 要素 相互联系构成的有机统一体及其发展 的全过程 微观是指组成有机统一体的具有 内在联系各个部分及其发展的某一阶段 因 此微观和宏观是既有对立的一面 又有内在 联系的统一面 下面本文着重通过微分 微 观 与积分 宏观 的内在联系和相互转化关 系 给出一个哲学观下的微观与宏观的对立 统一及其相互转化的数学模型 函数y 一厂 z 的微分d 厂 z z 缸 是函数值 z 在z 的邻域的线性变化 而函数y 一厂 z z 口 6 的积分A 一 生 也巴 厂 z 缸是函数y z 在 口 6 上 的线性无限和 从两者的定义和运算看 相距 甚远 特别是积分和的极限运算 其复杂性和 难度都相当大 随后 微积分的创始上 牛顿 和莱布尼茨发现了两者内在的联系 即 o l A 1 i m 厂 z z 岫函 F z I 一F 6 一F 口 其中F z 是 z 的原函数 即 F z 一 Q 因此 z 缸可用d F z 来表示 从 而有 L A l i m 厂 z z 硼i 一l i m d F z f 卅百 F 6 一F 口 从上面的表达式可以看出 函数y z 在 口 6 上的整体变化就是函数F z 在 6 上局部邻域线性变化的无限和 即极 万方数据 1 4 数学教学研究第3 3 卷第5 期2 0 1 4 年5 月 限 下面再从逻辑秩序和运算关系看 由微分到积分 即 r 6 ld 厂 z z I 6 一 n J 口 由积分到微分 即 r z d I 厂 z 出 J 口 一d F z 一F n 一 z d z 以上表明 微分与积分不仅深层次地揭 示微观与宏观对立统一的内在联系 而且给 出了相互转化的科学运算方法 以上论述充 分体现出 没有系统化 理论化 辩证化的思 想作指导 人们就无法看透数学的深度 同 样 没有抽象化 形式化 逻辑化的数学模型 人们就很难认识和理解哲学的深度和广度 参考文献 1 列宁 哲学笔记 M 北京 人民出版社 1 9 5 7 2 克莱因 古今数学思想 M 上海 上海科学技 术出版社 1 9 7 9 3 王仲春 数学思维与数学方法论 M 北京 高 等教育出版社 1 9 8 9 4 郑毓信 数学方法论 M 南宁 广西教育出版 社 1 9 9 1 5 张奠宙 数学教育的 中国道路 M 上海 上 海教育出版社 2 0 1 3 收稿日期 2 0 1 4 一0 3 1 6 上接第4 页 字形 图1 或 花生形 图2 等形状的 曲线 y 厂 夕硝 影U 工 厂 纠 l 一一 J 3 图1图2 问题3 我们已经学习了到一个定点和 一条定直线的距离的比为定值的动点的轨迹 问题 如果是和为定值呢 差或积是定值 情 形又将如何 留给学生课后研究 数学教学不仅要让学生掌握数学知识 更重要的是让学生掌握解决问题的一般方 法 锤炼学生的数学思维 对大部分学生来 说 现有教材中给出的探究问题的探索力度 是不够 提出或引导学生提出适合他们探究 的问题 更有助于提升学生思维的效度 因 为