复合函数的含义.doc

复合函数含义： 函数y=log2x是对数函数，那么函数y=log2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设y=log2u，u=2x-1，因此函数y=log2(2x-1)是由对数函数y=log2u和一次函数u=2x-1经过复合而成的。一般地：若，又，且值域与定义域的交集不空，则函数叫的复合函数，其中叫外层函数，叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。 简言之：复合函数就是: 把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: f(x) = 3x+5, g(x) = x2+1; 复合函数f(g(x)即把f(x)里面的x换成g(x), f(g(x) = 3g(x)+5 = 3(x2+1)+5 = 3x2+8. 对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型：（一）求复合函数表达式；（二）求复合函数相关定义域；（三）复合函数的单调性；（四）函数性质等与复合函数结合。新课程中复合函数相关题：7，如果，证明：。8、已知函数与分别由下表给出，那么12341234234121439、设函数，函数，求。7、已知是一个定义在R上的函数，求证：（1）是偶函数；（2）是奇函数。20、求满足下列条件的函数的解析式：（1）；（2）。22、如果，试求的表达式，并猜一猜的表达式。23、（1）函数与的图象之间有什么关系？（2）已知函数的图象如图所示，画出下列函数的图象：；。（必修1 p94 ）已知，则已知与分别由下表给出， 1234123423412143那么已知函数，求； 若函数求变题：已知函数，求：；的定义域；已知函数，求. （一）求复合函数表达式；例1.已知f(x)=x+，g(x)=x2-2，求fg(x)和gf(x)的解析式。 例2、（1）设 f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 求fg(x)（或gf(x)）。（2）已知：f(x)=x2-x+3 求：f() f(x+1)（二）求复合函数相关定义域；一、已知的定义域，求复合函数的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域。例1 已知的定义域为，求定义域。 解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即 即或故的定义域为【评注】所谓定义域是指函数中自变量的取值范围，因此我们可以直接将复合函数中看成一个整体，即由可得，解出的范围即可。（2006年湖北卷）设，则的定义域为 （B） A. B. C. D. 二、已知复合函数的定义域，求的定义域方法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。例2 若函数的定义域为，求函数的定义域解 ， ，故函数的定义域为【评注】由的定义域为得，有的同学会误将此的范围当作的定义域，为了更易分清此非彼，我们可将令成一个整体，即，先解出的定义域，即为的定义域。 三、已知复合函数的定义域，求的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。 例3 已知的定义域为，求的定义域。 解 由的定义域为得，故即得定义域为，从而得到，所以故得函数的定义域为 四、已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 例4 已知函数定义域为是，且求函数的定义域 解 ，又 要使函数的定义域为非空集合，必须且只需，即，这时函数的定义域为【评注】由于所得不等式组中两个不等式的四个“端点”都含有字母，所以既要分别判断它们左、右端点值的大小，还要交叉判断第一个不等式的左端点与第二个不等式的右端点和第一个不等式的右端点与第二个不等式的左端点的大小，需要特别指出的是，函数的定义域不能是空集。 （三）复合函数的单调性；函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，又多以考查复合函数的单调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=fg(x)是增(减)函数，可概括为“同增异减” . 定理：设y=f(u)，u=g(x)，已知u=g(x)在a，b上是单调增(减)函数，y=f(u)在区间g(a)，g(b)(或g(b)，g(a)上是单调增(减)函数，那么复合函数y=fg(x)在a，b上一定是单调函数，并有以下结论： u=g(x)增函数增函数减函数减函数y=f(u)增函数减函数增函数减函数y=fg(x)增函数减函数减函数增函数 判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。 一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：例1 (95全国理)已知函数y=loga(2-ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).2，+)解：设y= logau，u=2-ax，a是底数，所以a0， 函数y=loga u在u0,1上是减函数，而u=2-ax在区间x0,1上是减函数， y= logau是u(0, +)上的增函数，故a1，还要使2-ax0在区间上总成立，令g(x)= 2-ax，由 ，解得a2，1a0知函数的定义域为x0，因y= log0.5u在u(0,+)上是减函数，而u= x2+4x+4在x(-，-2)上是减函数，在(-2，+ )上是增函数，根据复合规律知，函数y=log0.5(x2+4x+4) 在x(-，-2)上是增函数.例3.讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。 解：函数定义域为R。 令u=x2-4x+3，y=0.8u。 指数函数y=0.8u在(-，+)上是减函数， u=x2-4x+3在(-，2上是减函数，在2，+)上是增函数， 函数y=0.8x2-4x+3在(-，2上是增函数，在2，+)上是减函数。 这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：例5 (96全国理)在下列各区间中，函数y=sin(x+)的单调递增区间是( )(A).， (B).0， (C).-，0 (D). ， 解：令y=sinu，u=x+，y=sinu在u 2k- ，2k+ (kZ)上单调递增，在u 2k+ ，2k+ (kZ)上单调递增，而u=x+在R上是增函数，根据函数单调性的复合规律，由2k- x+2k+ 得2k- x2k+，当k=0时，- x，而0，- ，故选(B) .例6.讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。 解：显然函数定义域为(0，+)。 令 u=log2x，y=u2+u u=log2x在(0，+)上是增函数， y=u2+u在(-，上是减函数，在，+)上是增函数(注意(-，及，+)是u的取值范围)因为ulog2x，0x，(u log2x x) 所以y=(log2x)2+log2x在(0，上是减函数，在，+)上是增函数。四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型： 例7、(89全国理)已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) ( )(A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数；(C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数.解：令g(x)=f(u)=-(u-1) 2+9，u=2-x2，则(1) g(x) =-(u-1) 2+9在u(-，1上是增函数，与u=2-x2具有相同的增减性，由2-x21得 x-1或x1，而u在x(-，-1上是增函数，u在x1,+)上是减函数，g(x)在区间(-，-1上是增函数, 在区间1，+)上是减函数.(2) g(x) =-(u-1) 2+9在u1,+)上是减函数，与u=2-x2具有相反的增减性，由2-x21得 -1x1，而u=2-x2在x -1,0 上是增函数，在x(0， 1)上是减函数，g(x) =-(u-1) 2+9在区间-1，0上是减函数, 在区间(0，1)上是增函数.故选(A)五、利用复合函数求参数取值范围。 求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须将已知的所有条件加以转化。 例8.已知函数f(x)=(x2-ax+3a)在区间2，+)上是减函数，则实数a的取值范围是_。 分析如下： 令u=x2-ax+3a，y=u。 因为y=u在(0，+)上是减函数 f(x)=(x2-ax+3a)在2，+)上是减函数 u=x2-ax+3a在2，+)上是增函数，且对任意x2，+)，都有u0。对称轴x=在2的左侧或过(2，0)点，且u(2)0。 -4a4 例9.若f(x)=loga(3-ax)在0，1上是减函数，则a的取值范围是_。 令u=-ax+30，y=logau，由于a作对数的底数，所以a0且a1，由u=-ax+30得x。在0，1上，且u是减函数。 f(x)=loga(3-ax)在0，1上是减函数。 y=logau是增函数，且0，1(-， 1a3 所以a的取值范围是(1，3)。（四）函数性质等与复合函数结合。1 设f(x)，则ff() ( B ) ABCD 2若函数f（x2） 则f（2） f（98）的值为_2_3、已知函数，则方程的解集为 4已知函数的图象过（1，0），则的图象一定过点（ B ）A（1，2） B（2，1）C（0，2） D（2，0）5Oxy函数y = f(x)的图象、已知函数y = f(|x|)的图象如下左图所示，则函数y = f(x)的图象不可能是 ( )OxyOxyOxyOxyABCD6.若函数则y=f(1x)的图象可以是 （ C ） A B C D7.定义在R上的增函数f(x)满足ff(x)=x,则f(x)|-|f(x)-1|的范围是( B )A. B.-1,1 C. D. （A） （B） （C） （D）8 (2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为 (B)(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2复合函数习题1、函数lgf(x)g(x)的定义域为M，lgf(x)的定义域为N，lgg(x)的定义域为P，则M、N、P间的关系是 （ ）A、M（NP） B、MNP C、M=（NP） D、M（NP）2、若g(x)是奇函数，且F(x)=ag(x)+bx3+5在（0，+）内有最大值12，则F(x)在（，0）内有 （ ） A、最小值12 B、最大值12 C、最小值2 D、最小值23、设log2log (log2x)=log3log(log3y)=log5log(log5z)=0，则x、y、z有大小关系是（ ）A、zxy B、xyz C、yzx D、zy1），当y最大值为时求实数a、x之值10、已知函数f(x)满足：(1)f()=1,(2)值域为1，1(3)严格递减(4)f(xy)=f(x)+f(y)（1）、求证不在f(x)定义域内；（2）、求解不等式。 11、 若y = f ( x ) 的定义域是0，1，则 f ( x + a ) + f (2 x + a) ( )的定义域为（ A）12、关于x的函数在1，+上为减函数，则实数a的取值范围是 ( D ） A（,0） B(1,0) C(0,2D(,1) 13、已知单调函数y=f(x)的定义域是0,2,且,那么函数的定义域是_ 14. 已知函数,则的单调减区间是_.15、已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)设g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)设(x)=g(x)f(x),试问 是否存在实数,使(x)在(,1)内为减函数，且在(1，0)内是增函数