数学人教版八年级上册14.2.1平方差公式学案.doc

人教版八年级数学上册“14.2.1平方差公式”渤油二中 郭春喜教学内容：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算.教学目标：1、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算；2、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.教学重点难点：本节课的内容是人教版八年级上册第14章第2节乘法公式的第一课时，是学生已经学过一般形式的多项式的乘法后，自然过渡到具有特殊特征的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知过程的范例，对它的学习和研究，既为符合公式特征的整式乘法运算带来简便，又为后面学习因式分解与二次根式中的分母有理化奠定基础。同时，平方差公式在“正与逆”两方面的灵活运用有助于学生数学解题技能的提高和发展学生数学思维。因此，平方差公式在初中阶段的教学中有重要地位。在本节的教学中，应该重点引导学生探究公式。鉴于上述分析，特确定本节内容的重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算。 对本节课的教学，学生已有的认知基础是：刚学过多项式的乘法，已经具备了学习和运用平方差公式的知识结构，但本节课所给的特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特征的特殊性上，而这种形式又灵活多变，学生对于字母的广泛意义不易掌握，在运用平方差公式时经常发生多种错误。 综上分析，特确定本节的难点为：理解平方差公式的结构特征，能灵活运用平方差公式。教学辅助手段：根据本节课的教材内容特点，教师采用多媒体（PPT和实物投影）演示教学设计一、复习旧知 巩固方法多项式与多项式相乘的法则： 。 师生活动：教师提出问题后，学生独立思考，并回答问题设计意图：复习乘法法则,为推导平方差公式做铺垫。二：小组合作 探究新知活动1：自主探究 尝试发现计算下列各题，并观察其运算结果有什么特点：(1)、 ；(2)、 ；(3)、 ；师生活动：教师提出问题后，学生独立思考，并回答问题设计意图：复习乘法法则,为推导平方差公式做铺垫。活动2：观察猜想 发现规律问题1：（1）等号左边相乘的两个式子中分别是什么运算？（2）参与运算的两组数分别有什么特点？ （3）等号右边的式子和等号左边的式子中的两组数有什么联系？问题2：你发现了什么运算规律？你能通过它直接写出下式的结果吗？猜想：(a+b)(a-b) = 师生活动：教师引导学生读一读上面的问题先独立思考，自主探究，再分组讨论，进行交流，教师巡视，适时点拨、最后学生展示交流设计意图：学生通过自主探究、合作交流，发现规律活动3：数形结合 验证新知1. 代数验证：(a+b)(a-b) = = 2. 几何验证： 师生互动、感知代数、几何的统一师：投影展示（1）设它的边长为a（图1），它的面积为 a2 （2）请同学们按图2剪去一个边长为b的小正方形，大家都知道剩下部分的面积为（a2b2）；（3）将剩下的图形剪成（沿图2的虚线）两个长方形，虚线长（ab）并将一边长为b的小长方形拼到一边长为a的长方形后得图3；同学们都知道图3的一边长为（ab），另一边长为（ab），面积为（ab）（ab）；（4）同学们比较图2和图3不难发现它们面积的关系.生：它们的面积相等，即（ab）（ab）a2b2.ab a b ab 图(1) 图(2) 图(3)师：我们通过拼图给出了平方差公式的一种几何解释.这说明平方差公式具有直观的几何意义，也说明代数不只是计算，还有美妙的几何意义，这实际就是数学魅力.下面我们再一次欣赏平方差公式的几何意义（教师出示flash动画）设计意图：通过教师的flash展示.学生直观体验了平方差公式的几何意义，感受代数不只是计算，还有美妙的几何意义，亲身经历了数学魅力所在.活动4：总结归纳 发现新知问题：你能用文字语言表示所发现的规律吗？两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 （a+b）(a-b) = a-b教师：（1） 这个公式叫做（乘法的）平方差公式. （2）公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式； （3）只要是符合公式的结构特征，都可以用公式进行计算，是多项式乘法的特殊形式，学习它的目的是对符合公式结构特征的多项式乘法能够简化运算。师生活动：教师提出问题后，学生独立思考，并回答问题设计意图：鼓励学生用自己的语言表述，提高学生的语言组织与表达能力活动5：剖析公式，发现本质结构特征： 左边： 相同项a与a ， 相反项b 与-b 右边： （相同项）-（相反项）师生活动： 教师提出问题后，学生观察后独立思考，总结特征，并回答问题设计意图：加深对平方差公式特征的认识，为熟练运用公式做好准备本环节中，教师应重点关注：1.学生能否自己主动参与探索过程2.数形结合思想的渗透3.学生公式的推理过程和公式特征的判断的理解设计意图：让学生自主探索平方差公式，经历计算、观察、猜想、验证、归纳的学习方式，体会由一般到特殊的数学思想，突出了学生在课堂中的主体地位。三典例分析 形成技能例1 运用平方差公式计算：（1） (3x+2)(3x-2) 变式1：(-3x+2y)(-3x-2y) 分析：判断：满足公式中两数和与两数差的特征吗？ 分析：1.和（1）相比发生什么变化 相同项是 ，相反数的项是 。 2.能运用公式吗？ 哪项是公式中的a,b? 3. 相同项是 ，相反数的项是 教师板书： 4. 哪数是公式中的a、b(3x+2)(3x-2)(3x)2-229x2-4 5. 板书(ab) (a-b) a2 b2变式2： (2y+3x) (3x-2y) 变式3：(3x-2y)( -2y-3x) 一.判断分析：1.变式2和（2）相比发生什么变化 二.把“a”放在前 2.能运用公式吗？ 三.套用公式 3.强调交换位置依据加法交换律 四.化简 4. 哪项是公式中的a、b 5.套用公式并化简 总结归纳解题步骤变式4：(3x+2y)(-3x-2y) 变式4设计意图：并不是所有多项式乘法都能运用平方差公式，平方差公式是对于符合公式形式的多项式乘法的简便方法，不符合公式的乘法仍可以运用多项式相乘的法则解决 师生活动：教师提出问题后，学生独立思考，并回答问题设计意图：在此环节中，对于重点难点学生在展示出现问题时，教师要及时地引导、点拨，通过一题多变进行拓展，要在课堂中引起讨论，激发学生的思维，让学生从本质上认识解决问题。精讲点拨可以由教师讲，也可以由学生讲，重点是归纳、解题过程，从变化中体会解题方法，并总结运用公式步骤： 一.判断 二.把“a”放在前 三.套用公式 四.化简本环节中，教师应重点关注：1.学生能否准确判断是否符合公式形式2.加法交换律的应用3.套用公式时的括号4.化简是否漏乘 四巩固新知练习：1.抢答下列各题： (1) (x+2)(x-2) = _ (2) (-x-2)(-x+2)=_ (3) (x-2)(2+x) = _2.(-m+n)(-m-n) 2. (b+2a)(2a-b) 3.判断下面各式的计算对不对，如果不对，应当怎样改正？(1) (x+2)(x-2) = x2 - 2 （ ） (2) (-3a+2)(3a+2) = 9a2 - 4 （ ） (3) (ab+4)(ab-4) = a2b - 16 （ ） 师生活动：1题和3题抢答， 2题学生板书 设计意图：1题运用平方差公式的关键在于理解其结构特征，若符合“一同一反”的结构，则直接代入公式。第3个练习是针对学生易错点，达到提醒、检查的目的，第2题是对例题的巩固，学生板书可以了解不同层次的学生掌握情况，板前公开评价，适时肯定改正，增加学生参与度，提高主动性，最终达到巩固效果。4游戏：找朋友课前准备：每人一张含有一个2项式的A4彩色纸 以 4-5个2项式为基准分别进行符号变形 游戏规则：相乘能用平方差公式的就为朋友游戏步骤：1.说明游戏规则2.挑出预设中的一张原始二项式作为寻找源3.持有和板前二项式运用平方差公式的二项式同学请上台，并上台进行握手仪式4.请持有两位二项式朋友的运算结果的同学出列5.教师手持一个二项式（学生中并无我的朋友但有干扰项）最后写出老师手中的一个二项式的朋友，师生互动交流6.16a2-9b2 是由哪两个二项式运算面来的，逆向运算为因式分解铺垫师生活动：师生互动设计意图：游戏中突破平方差公式特征判断的难点，激发学生学习兴趣。本环节中，教师应重点关注：1.公式形式的掌握及判断2.错误的收集反馈，及时矫正 设计意图：加深对公式的掌握程度。注意是否会变形，是否真正地理解本质。突出了本课重点，突破了难点。五课堂小结：本节课你学到了什么？学生，归纳，发言，交流教师与学生一起回顾，总结本环节中，教师应重点关注一学生对所学知识的掌握情况：1、平方差公式两个数的和乘与这两个数的差等于这两个数的平方差这个公式叫做乘法的平方差公式即(a+b)(ab)=ab2、公式的结构特征结构特征： 左边：相同项a与a ， 相反项b 与-b 右边：（相同项）-（相反项）公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；要符合公式的结构特征才能运用平方差公式。3、以一道题的形式归纳运用公式计算的步骤(3+2x)(2x-3) 一.判断= (2x+3)(2x-3) 二.把“a”放在前=(2x)2_(3)2 三.套用公式= 4x2-3 四.化简二. 一般到特殊 数形结合 思想方法的体会三学生在总结交流的过程中是否有成就感师生活动：提问，互动口答相结合，结合例题提炼数学思想，归纳方法设计意图：从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统、全面的认识六当堂检测：计算1：1、(3a+b)(3a-b) 2、(-4y+3)(-4y-3)3、(m+n)(-n+m) 4、(-x-y) (x-y ) 计算2：（1）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) （2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) (22n+1) 师生活动：提出问题，学生解决设计意图：检测本节课的学习成