2018年高考秘籍－破解导数压轴题策略：7.导数不等式的证明－凸凹法（2）.doc

导数中的不等式证明【考点点睛】放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。命题角度1 构造函数命题角度2 放缩法命题角度3 切线法命题角度4 二元或多元不等式的证明思路命题角度5 函数凹凸性的应用在求解过程中，力求“脑中有形，心中有数”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.命题角度5 函数凹凸性的应用【考法点拨】不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸凹性可获得思路自然、过程简洁的图解.【知识拓展】一般地，对于函数的定义域内某个区间上的不同的任意两个自变量的值，总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凸函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.，则单调递减，在上为凸函数；总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凹函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方.，则单调递增，在上为凹函数. 【典例13】（咸阳市2018届三模）已知函数，.（1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）求证：.【解析】（1）等价于，即，记，则，当时，在上单调递增，由，所以，即不恒成立；当时，时，单调递增，不恒成立；当时，在上单调递减，所以，即恒成立；故在上恒成立，实数的取值范围是；（2）当时，在上成立，即，也是应用函数的凸凹性进行切线放缩的重要途径令，则，所以，所以【方法归纳】当时，由于在上单调递减，所以为凸函数，则切线在函数的图象的上方，所以.【典例14】（福建泉州市2018年5月质检）函数的图像与直线相切（1）求的值；（2）证明：对于任意正整数，.【解析】（1）设直线与曲线相切于点依题意得：，整理得，（*）令，所以，当时，单调递增；当时，单调递减当时，取得最小值，所以，即. 注意：该不等式是下一小题的放缩途径故方程（*）的解为，此时（2）要证明，即证，只需证.由（1）知，即， 根据结构特征，合理代换，寻求放缩途径因此，上式累加得：，得证； 要证明，即证，只需证.令，则根据结构特征，构造函数，寻求放缩途径所以当时，单调递减；当时，单调递增.当时，取得最大值，即，由得：，上式累加得：，得证；综上，.【审题点津】第（2）小题待证不等式的证明途径只有从第（1）小题的探究切线的过程中挖掘，这是切线放缩法的拓展运用.【典例15】（石家庄市2018届高中毕业班一模）已知函数在处的切线方程为.（1）求；（2）若方程有两个实数根，且，证明：.【解析】（1）；（2）由（1）可知， ，设在处的切线方程为，易得，令， ，不等式放缩须利用切线则，当时，当时，设，则，故函数在上单调递增，又，所以当时，当时， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，即，所以，设的根为，则， 切线放缩注意“脑中有形”又函数单调递减，故，故， 再者，设在处的切线方程为，易得，令，当时，当时，令，则，故函数在上单调递增，又，所以当时，当时， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，所以，设的根为，则， 切线放缩注意“脑中有形”又函数单调递增，故，故，