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二次根式的运算 一、知识要点： 1.二次根式的加减运算： 先把式子中各项二次根式化成最简二次根式，再参照多项式的加减运算，去括号与合并同类二次根式。 2.二次根式的乘法： （1）法则：=（a0且b0） （2）类型：（i）单项二次根式乘以单项二次根式； （ii）单项二次根式乘以多项二次根式； （iii）多项二次根式乘以多项二次根式 在进行乘法运算时，有时可以应用乘法公式，使计算简便。 3.二次根式的除法： （1）法则：=（a0且b0） （2）类型：（i）单项二次根式除以单项二次根式（应用运算法则计算） （ii）多项二次根式除以单项二次根式（转化为单项二次根式除以单项二次根式） （iii）除数是二个二次根式的和或是一个二次根式与一个有理数的和（把分母有理化进行运算，或与分式的运算类比思考，约去分子，分母中的公因式）。 二、例题： 例1.计算下列各式： (1) +4-(-) (2) (-2)-(-) (3) 5a-+3ab(b0) (4) (1+3-2)(1-3+2)-(+)2 (5) (6-5)(-) (6) -()2+ (7) (5+)(5-2) (8) +(0x3) 解：（1）原式=+4-+（去括号） =+-+（化成最简二次根式） =(+3-+)（合并同类二次根式） = （2）原式=4-+4+ =4-+-+4（去括号并且化成最简二次根式） =(4-+)+(4-)（合并同类根式） =+ （3） b0，且成立， a0， 原式=5ab-3a+3ab =(5ab-ab+ab) =ab （4）原式=1+(3-2)1-(3-2)-(+)2（先做乘法，后做减法） =1-(3-2)2-(2+3+2) （应用乘法公式） =1-(18+12-12)-5-2（第二项又用完全平方公式） =1-30+12-5-2 =-34+10 （5）原式=6-5-6+5 =-6+5 =-6+5（做乘法时，不必先化成最简根式） =3-6+（化成最简二次根式，进行加减运算） =- （6）原式=-+（第一，三项分母有理化） =-+4( 中间项分子、分母分别平方） =8-5-+4（第二项分母有理化） =8-5-4-2+4 =4-3 （7）原式= =（分母有理化） = = （8）分析：题中二次根号下为两项的和，不能化简，所以首先应将根号下的式子进行通分，然后分母分解因式，再化简。 解：原式=+（0x3） =+ 0x0，x-30 原式=+ = 说明：在进行二次根式的运算时，应弄清有关的几个概念：同类二次根式 互为有理化因式 分母有理化。 例2.计算下列各式 (1) (-)2 (2) (+-)(-) (3) (+)2-(-)2 (4) (+1)9(-1)9 (5) 分析：仔细观察上述题目，可以发现如果利用乘法公式或因式分解或某些运算律，可以使一些题目的运算简便。 解：(1)原式=7+2+7-2-2(用完全平方公式) =14-2 =14-2 (2) 原式=(-)+(-)- =(-)2-()2 (用平方差公式) =2+3-2-5 =-2 (3) 原式=(+-)(+-+) (因式分解) =22 =4 (4) 原式=(+1)(-1)9 (用了乘法交换律和结合律，变化后 =(2-1)9=1 可用平方差公式) (5) 原式=(分子因式分解) =+2(分子、分母约去公因式) 说明：本题目是用约去分子，分母的公共二次根式方法，进行了二次根式的除法运算。 例3.解不等式：xx+2 解：x-x2 (移项) (-)x2 (合并同类项) -(x的系数化成1) =(分母有理化) =- x- 例4.已知：x=, y=, 求x2-xy+y2的值。 分析：一般的求值都是先化简再求值，观察题目已知条件x, y的分母都含有二次根式，应先将x, y的分母有理化后再代入求值就简单多了。 解： x=-3-2 y=-3+2 x2-xy+y2=(-3-2)2-(-3-2)(-3+2)+(-3+2)2 =9+8+12-(9-8)+9+8-12 =17+17-1 =33 另法：x2-xy+y2=(x-y)2+xy =(-3-2+3-2)2+(-3-2)(-3+2) =(-4)2+9-8=32+1=33 显然后一个方法比较好。 例5.已知a0, b0,求根式的值 解： = =|ab|（隐含a0 或 a+b=50 a0, b0 = = 例7.化简 解：隐含条件中a3 原式= =4a. 例8.化简 x(0x1) 解：原式=x =x|x|