转化与化归思想在三角函数中的应用.doc

转化与化归思想在三角函数中的应用【摘 要】三角函数是高中数学大纲版第一册下第四章的内容，在每年的高考中属于必考内容，分值在十七分左右，其重要性不言而喻。教师们都知道这是学生必须拿下的内容，但事实上，不是所有的学生都能掌握好这一章的知识。因此作为教师对这一章所体现的思想方法的传授就显得十分讲究了。【关键词】变换、转化、化归众所周知，三角函数是每一位高中生在数学领域里必须掌握好的章节。原因有三：第一，四川省高考每年必出一道三角函数的大题，而且一般都是基础难度的题。第二，三角函数在此章节出题的分值有十七分左右，不得不拿下。第三，作为一种有效的实际运用工具，在现实生活中具有实际意义。因此，基于以上三点，我们教师必须以一种行之有效的教学方法传授给学生，让他们能够理解并运用。那么，我们教师在联系教材与高考的同时，怎样处理练习和例题才能使学生灵活应对高考呢？在这里，我想以教材为基础，高考为导向，谈谈自己的一些看法。在现行人教大纲版第四章第二部分4.6节“两角和与差的三角函数”中，例1和例2意在让学生熟练运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式。但是，教材在这里更是埋下了伏笔，不仅仅是熟练运用公式这么简单，教材还想给读者展示一种转化与化归的思想将未知角转化为已知角！对于例1，和这两个角的各个三角函数值学生是陌生的，学生最熟悉的角是，因为这些角的三角函数值在初中就要求记忆。很明显，我们可以吧转化为；转化为，然后用两角和与差的三角函数公式求得答案。对于例2，同样是两角和与差的正切公式的应用，在此，我不细谈解法。那么，如果有这样的学生，他对的三角函数值很了解呢？又可否转化为呢？当然是可以的，只要学生能够接受、能够理解、能够运用，这样的转化又未尝不可呢。只是我们会觉得这并不常规，或者并不是大多数学生能够接受的转化形式。接下来，我就想问了，这是一个习惯问题呢还是一个方法的问题？我们使用这种转化是基于一种什么样的思想上或是以一种什么样的目的为前提呢？首先，我们来了解一下什么是转化与化归思想。转化与化是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。其次，我们来了解一下转化与化归思想应遵循的基本原则。(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；(2)简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。很明显，学生的那种转化是符合道理的。接下来，我们再看看这种思想在教材中的应用。1、现行人教大纲版第四章第二部分 “两角和与差的三角函数”中，习题4.6第12题。已知，且，求的值。对于这道题而言，角都成为了字母，我们还知道哪个角已知哪个角未知吗？老师们都很清楚了，但是学生们都清楚吗，往往在实际教学过程中，学生对这一类角的配凑问题是非常头疼的，总是记不住这类题的解题方法。学生最喜欢的就是直接把展开，那就有，的值好求，那呢？难道要用来转化？这样做的确也能做出来，但是，这肯定不是我们所追求的做法，也一定不会是出题人的意图。所以，我们就得对“已知角”这个词加以深刻的理解。所谓“已知角”并不是角的大小已知，而是知道其三角函数值的角都可以称之为“已知角”。这样看来，在这道题中哪些角是“已知角”呢，很明显，、这两个角就是“已知角”，那么，相对应的角就是“未知角”。所以，这就是一道已知两个角的三角函数值，求一个未知角的三角函数值的题目。接下来，我们怎么做呢，根据刚才我们提到的思想将未知角转化为已知角！也就是说看看能不能用、这两个角表示，联想到，这样，很明显这些角的三角函数的值都是很容易求得的。在此，转化与化归思想体现得淋漓尽致。2、现行人教大纲版第四章第二部分 “两角和与差的三角函数”中，习题4.6第11题。已知，且，求，的值。（提示：）有了刚才的解答分析，我们就会很自然地联想到， 这样的转化方法，甚至于基础稍微好一点的学生不看提示也能做出来。趁热打铁，我们来看看几个高考题。1、（2007，四川，理17文18）已知，且（1）求的值；（2）求.2、（2011，四川，理17文18）已知函数（1）求函数的最小正周期和最小值；（2）已知求证：.不难看出07与11年四川卷第二问的出题背景就是教材第四章习题4.6第12、11题。看来，对这种思想的传授是很有必要的，同时，学生是在很自然地接受，就像心灵在和心灵对话一样，而不是一种强迫的记忆、机械地模仿。像这样的练习与试题还有很多，在此，仅以抛砖引玉的形式呈现给大家。我们由此也可以看出，对于三角函数这一章来说，高考也是基于教材在出题，说明我们在这一章的教学与复习中不需要太多的补充和加深，我们应该做的就是把教材中的题型以一种更加本质的、更加自然的方法传授给学生，让他们真正地感受到数学思想的这种美与强大作用。久而久之，学生在这种优良的环境下受到熏陶，当他们在思考问题的时候就会更多地按照正统的数学思想来处理问题，难道这