立体几何中几类典型问题的向量解法.doc

西安龙文教育一对一授课案教师：王波 学生： 日期： 星期： 时段： 课 题立体几何中几类典型问题的向量解法学习目标与分析1.了解空间向量与空间向量与立体几何的定义，概念。2掌握空间向量与空间向量的知识网络3常见题型学习重点掌握空间向量的加法、减法运算学习方法启发 互动 练习学习内容与过程一知识点1空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。2平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。(1）a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.注：若与共线，与共线，则与共线.（） 当时，不成立向量共面即它们所在直线共面.（） 可能异面若，则存在小任一实数，使.（）与不成立若为非零向量，则.（）这里用到之积仍为向量b.共线向量定理：对空间任意两个向量， 的充要条件是存在实数（具有唯一性），使.c.共面向量：若向量使之平行于平面或在内，则与的关系是平行，记作.d.共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x、y使.空间任一点O和不共线三点A、B、C，则是PABC四点共面的充要条件.（简证：P、A、B、C四点共面）注：是证明四点共面的常用方法.（2）空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使 (这里隐含x+y+z1).注：设四面体ABCD的三条棱，其中Q是BCD的重心，则向量用即证.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足，则四点P、A、B、C是共面（3）a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵坐标），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.令=(a1,a2,a3),，则， ， 。 (向量模与向量之间的转化：)空间两个向量的夹角公式（a，b）。空间两点的距离公式：.b.向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).直线与平面所成角(为平面的法向量).利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.c.证直线和平面平行定理：已知直线平面，且C、D、E三点不共线，则a的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.共线向量定理：对空间任意两个向量（）、，的充要条件是存在实数使（1）对于确定的和，表示空间与平行或共线，长度为 |，当0时与同向，当0时,与同向;0时,与异向;=0时, =0向量的数量积是一个数1或时, =02且时, 2、平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 ； 注意,的几何意义3、两个向量平行的充要条件： 的充要条件是： ；（向量表示） 若，则的充要条件是： ；（坐标表示） 4、两个非零向量垂直的充要条件： 的充要条件是： ；（向量表示） 若，则的充要条件是： ；（坐标表示） （3）模长公式：若， 则（4）夹角公式：（5）两点间的距离公式：若，则(6) 设则 ， AB的中点M的坐标为 5、直线的方向向量的定义为 。如何求直线的方向向量？6、平面的法向量的定义为 。如何求平面的法向量？法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量. 二知识网络空间向量与立体几何空间向量及其运算立体几何中的向量方法空间向量的加减运算空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理平行与垂直的条件向量夹角与距离直线的方向向量与平面的法向量用空间向量证平行与垂直问题求空间角求空间距离三常见题型一、 利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离 （1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点与平面内任一点构成的向量的坐标，那么到平面的距离（2）求两点之间距离，可转化求向量的模。（3）求点到直线的距离，可在上取一点，令或的最小值求得参数，以确定的位置，则为点到直线的距离。还可以在上任取一点先求，再转化为，则为点到直线的距离。(4)求两条异面直线之间距离，可设与公垂线段平行的向量，分别是上的任意两点，则之间距离例1：设，求点到平面的距离例2：如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直。点在上移动，点在上移动，若。（）求的长；（）当为何值时，的长最小；（）当长最小时，求面与面所成的二面角的大小A(O)BDCxEFNMyz例3：正方体的棱长为1，求异面直线与间的距离zABCDMNxyzzzz例4：如图，在长方体中，求平面与平面的距离。ABCDxyz点评：若是平面的法向量，是平面的一条斜线段，且，则点到平面的距离，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射影。二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。（1）设是两条异面直线，是上的任意两点，是直线上的任意两点，则所成的角为 （2）设是平面的斜线，且是斜线在平面内的射影，则斜线与平面所成的角为。设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则与平面所成的角为。（3）设是二面角的面的法向量，则就是二面角的平面角或补角的大小。例5：在棱长为的正方体中，分别是的中点，（1）求直线所成角；（2）求直线与平面所成的角，（3）求平面与平面所成的角例6：如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点. （）求证：EF平面PAB；（）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小. ABCDEFxyzPABCDEFGxyz例7：如图，求二面角的大小。ABCPDExyz点评：如果分别是二面角两个面内的两条直线，且，则二面角的大小为例8：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC = 90，SA面ABCD，SA = AB = BC = 1，求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值 SBACDzxy点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，（1）当法向量的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的大小。（2）当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的补角。三、利用向量知识解决平行与垂直问题。例9：如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，,点D是AB的中点， （I）求证：ACBC1； （II）求证：A1C /平面CDB1；点评：转化转化平行问题的转化： 面面平行线面平行线线平行；例10如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动. （1）证明：D1EA1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。例11如图，在直三棱柱中，ADBCDDD（1）求证（2）在上是否存在点使得（3）在上是否存在点使得五、专题突破：1、如图：已知二面角的大小为，点于点，且，求 （1）直线所成角的大小，（2）直线的距离。ACBD2、如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点.（）求证：EFCD；（）在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论；（）求DB与平面DEF所成角的大小.3、如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，CB=1,CA=, AA1=,M为侧棱CC1上一点, （1）求证: AM平面；ABCA1B1C1M（2）求二面角BAMC的大小；（3）求点C到平面ABM的距离4、如图，是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点。（）求证：/平面；（）求二面角的大小（）在侧棱上是否存在点,使得平面？证明你的结论。5、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=CC1=2. （I）证明：AB1BC1； （II）求点B到平面AB1C1的距离. （III）求二面角C1AB1A1的大小6、如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.()证明PQ平面ABCD; ()求异面直线AQ与PB所成的角;()求点P到平面QAD的距离.QPADCB图47、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，D、E分别为BB1、AC1的中点（）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（）设AA1ACAB