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二、随机变量及其概率分布 一、随机变量 1定义 随机试验的各种可能结果用变量来表示，称变量为随机变量。 例 1 检验五个产品中含有一个次品，二个次品，三个次品，可用变量 来表示。 例2 在贝努里试验中，每次试验只有两个结果，可用变量，又如每次考试也只有两个结果，用等。2随机变量的分类：.离散型随机变量 例 取球；检验产品；电话总机在某一时刻接到的呼唤次数；既随机变量的取值是有限可数，或无限可数； 连续型随机变量 随机变量的取值是不可数，它是在某一个区间范围内取值。例 在某一地区的某一天的温度，黄浦江的水位为 等。 二 、随机变量的分布函数分析：对于连续型随机变量而言，取值是不可数的，不能用来表示某一事件，考虑用区间取值来表示 是事件，这就是说概率与变量（事件）有关。更一般，我们考虑事件的概率。 1.定义 设为随机变量，若对任意的实数，称事件的概率为随机变量的分布函数，记为。2.性质 ； 对任意的两个实数，当，恒有，是单调不减函数； 证：所以有。 ； 为右连续，即； 设。 2离散型随机变量 一、概率分布列1. 定义 设离散型随机变量的所有可能取值是称对应取值的概率为离散型随机变量的概率分布列。2. 表达形式：1）表格形式 X P . 2）矩阵形式 3）分布多边形。 一、一些常见的离散型随机变量 10-1分布 随机变量的可能取值是，其概率分布列是X01Pqp,称随机变量是服从参数为的0-1分布。 2.二项分布设随机变量的可能取值是，其概率分布列是，它是二项式展开式中的第项系数，故又称为二项分布，记为。它产生的背景是重贝努里试验中。在第一章我们已经遇到过。例 某厂长有5个顾问，假定每一个顾问贡献正确意见的概率为0.6，现为某事可行以否而独立地征求各顾问意见，并按大多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概率。解 设表示5个顾问中贡献正确意见的人数，每当征求一个顾问的意见时，就相当于作了一次贝努里试验，则，按大多数人的意见作出决策就是求=。 3.泊松分布若随机变量的所有可能取值是，且对应取值的概率是 ，则称随机变量服从参数为的泊松分布。记为。它产生的背景是：在某一时刻，随机质点流源源不断地涌现出来的随机现象。 例 在服务系统中1） 电话总机在某眼一时刻接到的呼唤的次数；2） 上午9点到10点在商店里的顾客人数；3） 下午4点到5点在车站侯车的人数等等。例 每分钟通过某交叉路口的汽车流量服从泊松分布。且已知在1分钟内没有车辆通过的概率为0.368，求1分钟内至少有两辆车通过的概率。解 因为服从泊松分布，但参数未知，由可有 。若设，由题意， =1-0.368-0.368-ln(0.368)=0.264。 泊松定理 在重贝努里试验中，设表示事件在每次试验中出现的概率，若当充分地大，又小时，则 。即当充分地大，又小时有 。例 保险公司为了估计企业的利润，需要计算投保人在一年内死亡若干人的概率。设有1000人在该公司投保，而每个人在一年内死亡的概率为0.005，试求在未来的一年内，在这些投保人中死亡的人数不超过10人的概率。解 设是投保的1000人中死亡的人数，则，所求的概率，若记，查表：，所以 。4几何分布首次成功的概率 作实验，第次才成功；检查产品，直到出现次品为止等，都可以用几何分布来描述。设在重贝努里试验中，每次试验中事件发生的概率为，而不发生的概率为记表示事件首次发生时已进行的试验次数，则的概率分布列为，记为，容易验证 习题二3，4，7，8，11，12。 一、离散型随机变量的分布函数 由于离散型随机变量的取值是可数，故它的分布函数是一种阶地梯形函数，即 。例 袋中有5个球，分别编号1，2，5。从中任取3个球，求取出的3个球中最大号码的概率分布列及其分布函数。解 因为表示取出的3个球中最大号码，故的所有可能取值为3，4，5。而在5个球中任意取出的3个球的方法有，而出现的概率是，取出的3个球中最大号码为4，另外两个是在1，2，3中任取2个；取出的3个球中最大号码为5，另外两个是在1，2，3，4中任取2个球。则所求的概率分布列为X 3 4 5P 所求的分布函数 分布函数图是一个阶梯形，因为，在每一个取值点处，函间断，在函数间断点处，其跳跃度为。3连续型随机变量的概率分布密度及其分布函数一、 概率分布密度1. 定义 设是随机变量的分布函数，若对任意的实数，存在非负函数使得成立，则称非负函数为随机变量的分布概率密度函数，简称为密度函数，称随机变量为连续型随机变量。2. 概率密度函数的性质：在点连续处，有。例 设某种晶体管的寿命（单位：小时）是一个随机变量，其密度函数为 ：试求：1） 常数；2）该种晶体管工作不超过150小时的概率；3）一台仪器中装有4只此种晶体管，试求工作150小时后至少有1只失效的概率，假定这4只晶体管是否失效是互不影响。解 1）因为，得2）由题意，求 3）设表示第只在工作150小时后失效， 4） ，而是相互独立，则所求概率为 二、一些常见的连续型随机变量的分布 1.均匀分布 若随机变量在区间内等可能地取值，其分布密度为 则称随机变量服从区间上的均匀分布，记为。例：1）在计算数据时，小数点后的舍入误差；2）观察时钟的分针所指的刻度；3）在某个时段内，发车的时间等，这些随机现象都是服从均匀分布。均匀分布的分布函数 所以 。例 设某人午觉醒来，发现表已停了，他打开收音机想听电视台报时，求他在10秒钟内听到报时的概率。解 由于电视台是每分钟报时一次，他打开收音机的时刻是在两次报时之间。设 是他打开收音机听到报时所需的时间，单位是秒。则应服从内的均匀分布。其密度函数为，要求他在10秒钟内听到报时的概率为。一般，若，则其密度函数函数就等于区间长度分之一，即，要计算，就是说，如果随机变量在某个区间内服从均匀分布，要计算它落在区间内某一直线段的概率，只要用区间长度之比即可。这类问题我们又称为几何概率。 2指数分布 如果随机变量的分布密度函数为 ，其中，为常数。则称随机变量服从参数为的指数分布，记为。 在实际问题中，象半导体元件的寿命，动植物的寿命，在排队论中，“等待时间都可以用指数分布来描述。指数分布的分布函数 所以 。 3正态分布 如果随机变量的分布密度函数为 ，其中，为常数，则称随机变量服从参数为的正态分布，记为。当则称随机变量服从标准正态分布，记为。容易得知，且。事实上令，则，由 ，即可知 。X的分布函数为 令，其中，它是标准正态分布的分布函数。可以通过查表计算。例。注意 ：当时，。 若，计算概率。例 已知，求。解 。 习题二：17；19；21；24，27。4 随机变量的函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布列设为一维随机变量，函数 也是随机变量。现在根据的分布来找出的分布。下面先来举几个例子。 -1 0 1 2 概率 求表示（1）、（2）的分布密度。解 由的分布密度可列出下表概率 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 1 0 1 4 这就是说，事件 即事件（）与事件是等价的 所以有 ，当 时，注意在时，对应的自变量是取两个不同的值： 和 ，所以所以有，等等。因此，由上表可定出：（1）的概率分布列为 -2 -1 0 -1 概率 自变量取不同的值，对应着函数也取不同的值，因此的概率分布列与函数的概率分布列是相同的；（2）的概率分布列为 0 1 4 概率 注意：当函数 取某一值时，对应着自变量取不同值时，应将其不同取值的概率相加。二、连续型随机变量函数的概率分布密度一般，若已知随机变量的分布密度，要求函数的分布密度，可先求函数的分布函数，然后在对求导数，即 。当是严格单调函数是，可利用公式，其中是的反函数。证：1）当是严格单调增函数，则其反函数也是例2），它的反密度函数为严格单调增函数