东南大学2009年《电磁场与波》-计算题库.doc

2009年电磁场与波计算题库1. 电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为。(1)求圆柱内、外的电场强度。(2)这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。解：(1) ra；(2)导体；2. 已知自由空间球坐标系中电场分布：，求空间各处体电荷密度分布。解：分析：由电场散度与电荷源的关系，可由已知电场分布确定空间体电荷密度分布。根据题意，电场强度仅有分量，所以于是3. 一半径为的均匀带电圆环，电荷总量为，求：圆环轴线上离环中心点为处的电场强度解：如图所示，环上任一点电荷元在点产生的场强为由对称性可知，整个圆环在点产生的场强只有分量，即积分得到4. 四块彼此绝缘（相隔极小的缝隙）的无限长金属板构成一个矩形空管，如图所示。管子截面为，上下两块板电位为零（接地），右侧板电位为，左侧板上电位的法向导数为零，即。求管内的电位分布规律。解题：分析：这是第三类边值混合型边值问题。基本解答形式为.(2-1)现在要利用给定的边界条件来确定常数 、 、 、 和 。4个边界条件为： A. 当 y=0 ，0xa 时， ； B. 当 y=b ，0xa 时， ； C. 当 x=0 ，0yb 时， ； D. 当 x=a ，0yb 时， 。 i) 当 y=0 ，0xa 时， ，由式(2-1)得 ；ii) 当 y=b ，0xa 时， ，由式(2-1)得 ；iii) 当 x=0 ，0yb 时， ，由式(2-1)得 。所以。将所得到的结果代入式(2-1)得 然后利用第四个边界条件，确定上式中的 。亦即，iv)利用 x=a ，0yb 时， ，得 式中 为傅立叶系数，在此为 .(2-2)求得 为 将上式代入式(2-2)得 于是可得电位 的定解为 5. 一段长为L的导线，当其中有电流I通过时，求空间任一点的矢量磁位 及磁感应强度 。解题：分析：由于导线长度有限，虽然磁感应强度关于轴对称，但是沿z方向，r是变化的，找不到处处与磁场同方向，而且磁场幅度相等的简单的闭合曲线。本题先求矢量磁位 ，再求磁感应强度 较为方便。取柱坐标系，使导线L与Z轴重合，导线中点位于坐标原点。由图可见，导线中dz到场点P的距离，所以对 取旋度得到磁感应强度 6. 两块彼此平行的半无限大接地金属板，板间距离为b，两平行板的一端另有一块电位为的极长的金属条，它们之间缝隙极小，但彼此绝缘如图所示。求两板间的电位分布。分析：为了正确的选择电位的解答形式。首先要对 的分布特点做出分析、判断。电位 对于y而言，在y=0，y=b处电位都为零，即沿Y坐标出现重复零点，显然， 呈三角函数分布。对X方向而言，当x=0时， ，而 时， 。显然， 与X方向呈指数函数分布。通过这种分析可知，选择式作为本例的基本解答形式是妥当的。剩下的问题就是利用所给定的边界条件，确定常数 、 、 、 ，k ，求出 的定解。4个边界条件是1. 当 y=0 ， 时， 2. 当 y=b ， 时， 3. 当 ，0yb 时， 4. 当 x=0 ，0yb 时， i）当 y=0 ， 时， ，可得 ii）当y=b， 时， ， 可得 . iii）当 ，0yb 时， ，可得 将所求出的 ， ， 代入式 ，则得 (*)式中 ，仍为常数。上式满足了前三个边界条件。但尚不满足最后一个边界条件。我们可以根据现行微分方程解的迭加原理，取式 (*) 的无穷级数作为电位 的解，即 然后利用最后一个边界条件来确定式中的系数 。最后可以求得可得电位 的定解为7. 在应用矢量磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用所谓的库仑规范，令。写出和所满足的微分方程。解题：由式5.3.6得：8. 证明在无源空间()中，可以引入一矢量位，定义为，并推导和的微分方程。证明：在无源空间：所以可以引进：矢量位，定义为。在无源空间： 可以定义标量，其梯度为：证毕和的微分方程可以用和书上类似的方法推导出来：， 且满足洛仑兹规范：9. 已知在无限长的理想导体板围成的矩形区域内，电场强度的复数形式为：，求电场强度的瞬时值表达式和对应的磁场强度的复数形式、瞬时值表达式。解：（1）（2）由得：（3）10. 电场强度的平面波，垂直投射（沿z方向）到两介质的分界面（从空气到玻璃，玻璃的）求反射波及折射波的电场、磁场。解题：1). 求R和T 2). 求电场 3). 求电场直接求磁场 11. 频率为550kHz的平面波在有损媒质中传播，已知媒质/为0.02，相对介电常数为2.5，求该平面波的衰减常数、相移常数及相速度vp。解：物质的导电率与频率有关，分析本题中媒质的导电特性，再利用相应的公式来求解。 由于损耗角正切为 ，所以，可以按低损耗介质来处理。掌握如何计算良介质中平面波的参数，从概念和具体数值两方面加强对良介质中平面波参数的理解和认识。由于损耗角正切为 ，所以，可以按低损耗介质来处理。由 得 于是由式 得衰减常数 为由式 得相移常数 为相速度 为12. 简谐变化的均匀平面波投射到z0处的理想导体平面上，已知其入射电场为： （1）求该波的频率和波长；（2）写出入射电场、磁场的瞬时表达式； （3）求入射角； （4）求反射波电场、磁场的表达式； （5