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专业资料1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设与都是非空集合，那么。（ ）1.2 AB = BA （ ）1.3 只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。（ ）1.4 如果是A到的一一映射,则(a)=a。( )1.5 集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。（ ）1.6 设、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。（ ）1.7 在整数集Z上，定义“”：ab=ab(a,bZ)，则“”是Z的一个二元运算。（ ）1.8 整数的整除关系是Z的一个等价关系。( ) 2 填空题：2.1 若A=0,1 , 则AA= _。2.2 设A = 1，2，B = a，b，则AB =_。2.3 设=1,2,3 B=a,b,则AB=_。2.4 设A=1,2, 则AA=_。2.5 设集合；，则有 。2.6 如果是与间的一一映射，是的一个元，则 。2.7 设A =a1, a2,a8，则A上不同的二元运算共有 个。2.8 设A、B是集合，| A | B |3，则共可定义 个从A到B的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。2.9 设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有_个.2.10 设A=a,b,c，则A到A的一一映射共有_个. 2.11 设A=a,b,c,d,e，则A的一一变换共有_个.2.12 集合的元间的关系叫做等价关系，如果适合下列三个条件：_。2.13 设A =a, b, c，那么A的所有不同的等价关系的个数为_。2.14 设是集合的元间的一个等价关系，它决定的一个分类：是两个等价类。则_。2.15 设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么_。2.16 设A =1, 2, 3, 4, 5, 6，规定A的等价关系如下：a b2|a-b，那么A的所有不同的等价类是_ 。2.17 设M是实数域R上的全体对称矩阵的集合，是M上的合同关系，则由给出M的所有不同的等价类的个数是_。2.18 在数域F上的所有n阶方阵的集合M（F）中，规定等价关系AB秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有_个。2.19 设M100 (F)是数域F上的所有100阶方阵的集合,在M100 (F)中规定等价关系如下：AB秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_个。2.20 若 M=有理数域上的所有3级方阵,A,BM,定义AB秩(A)=秩(B),则由”确定的等价类有_个。3 证明题：3.1 设是集合A到B的一个映射，对于，规定关系“”：证明：“”是A的一个等价关系3.2 在复数集C中规定关系“”：证明：“”是C的一个等价关系 3.3 在n阶矩阵的集合中规定关系“”：证明：“”是的一个等价关系3.4 设“”是集合A的一个关系，且满足：（1）对任意，有；（2）对任意，若就有证明：“”是A的一个等价关系3.5 设G是一个群，在G中规定关系“”：存在于，使得证明：“”是G的一个等价关系第二章 群论1 判断题： 2.1 群的定义.1.1 设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条：(A) G对于这个乘法运算都是封闭的；(B)a,b,cG，都有(ab)c=a(bc)成立；(C) 存在G，使得aG，都有ea=a成立；(D)aG，都存在aG，使得aa=e成立。则G关于这个乘法运算构成一个群。 ( )1.2 设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条：A）G对于这个乘法运算是封闭的；B）a,b,cG，都有（ab）c=a(bc)成立；C）存在eG，使得aG，都有ae=a成立；D）aG，都存在aG，使得aa=e成立。则G关于这个乘法运算构成一个群。（ ）1.3 设G是一个非空集合,在G中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G对乘法运算是封闭的(2)G对乘法适合结合律(3)G对乘法适合消去律,则G构成群。 ( )1.4 设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法,如果(1). G对乘法运算是封闭的;(2). 乘法适合结合律与消去律,则G对所给的乘法构成一个群。( )1.5 实数集R关于数的乘法成群。（ ）1.6 若G是一个n阶群,aG,|a|表示a的阶,则|a|。( ) 1.7 若|a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。1.8 设Q为有理数集，在Q上定义二元运算“”，ab=a+b+ab()构成一个群。（ ）2.2 变换群、置换群、循环群1.9 一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。（ ）1.10 一个集合A的所有变换作成一个变换群G.( )1.11 集合A的所有的一一变换作成一个变换群。（ ）1.12 素数阶群都是交换群。（ ）1.13 p（p为质数）阶群G是循环群（ ）1.14 素数阶的群G一定是循环群.( )1.15 3次对称群是循环群。（ ）1.16 任意群都同构于一个变换群（ ）1.17 有限群都同构于一个置换群。( )1.18 任何一个有限群都与一个循环群同构。（ ）1.19 在5次对称群中，(15)(234)的阶是6.( ) 1.20 在4次对称群S4中，（12）（324）的阶为6。（ ）1.21 在中，(12)(345)的阶是3。 ( )1.22 任意有限群都与一个交换群同构。（ ）1.23 因为22阶群是交换群，所以62阶群也为交换群。（ ）1.24 6阶群是交换群。（ ）。1.25 4阶群一定是交换群。（ ）1.26 4阶群一定是循环群。（ ）1.27 循环群一定是交换群。（ ）1.28 设G是群，a, bG, |a|=2, |b|=3, 则|ab|=6。（ ）1.29 14阶交换群一定是循环群。（ ）1.30 如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。 （ ）1.31 有理数加群Q是循环群。（ ）1.32 若一个循环群G的生成元的个数为2，则G为无限循环群。 （ ）2.3 子群、不变子群。1.33 若H是群G的一个非空子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群。（ ）1.34 若H是群G的一个非空有限子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群。（ ）1.35 循环群的子群也是循环群。（ ）1.36 如果群的子群是循环群，那么也是循环群。（ ）1.37 一个阶是11的群只有两个子群。 （ ）1.38 有限群中每个元素的阶都整除群的阶。（ ）1.39 设G是一个n阶群，m|n，则G中一定有m阶子群存在。 （ ）1.40 若G是60阶群,则G有14阶子群。( )1.41 设G是60 阶群，则G有40阶子群。 （ ）1.42 阶为100的群一定含25阶元。（ ）1.43 阶为100的群一定含25阶子群。（ ）1.44 阶为81的群G中，一定含有3阶元。 （ ）1.45 设H是群G的一个非空子集，则。 （ ）1.46 设H是群G的一个非空子集，则。 （ ）1.47 群的子群是不变子群的充要条件为。 （ ）1.48 群的一个子群元素个数与的每一个左陪集的个数相等. （ ）1.49 指数为2的子群不是不变子群。（ ）1.50 若NH,HG，则NG。( )1.51 若N是群G的不变子群,N是群N的不变子群,则N是G的不变子群。( )1.52 设HG，KG，则HKG。（ ）1.53 若NN，HG那么NHG。（ ） 2.4 商群、群的同态定理。1.54 群之间的同态关系是等价关系。（ ）1.55 循环群的商群是循环群。（ ）1.56 设f：是群到群的同态满射，a，则a与f (a)的阶相同。（ ）1.57 设G是有限群，HG， 则。（ ）1.58 若是群G到的同态满射，N是G的一个不变子群，则（N）是的不变子群，且 。 ( )1.59 设f 是群G到群的同态映射，HG，则 f(H) 。 （ ）1.60 设f 是群G到群的同态映射， HG 则 f(H)。 （ ）1.61 若是群G到的一个同态满射,N是G的一个不变子群,则(N)是的不变子群,且。1.62 若是群G到的同态满射,是的一个不变子群,()表示的原象,则()是G不变子群,且。( )1.63 设G和都是群，, , N=()，则NG,且。（ ）2 填空题：2.1 在群G中，a，bG，a 2 = e，a1ba = b2，则|b| =_。2.2 在交换群G中，a，bG，|a| = 8，|b| = 3，则|a2 b | =_。2.3 设a是群G的元,a的阶为6，则a4的阶为_。2.4 设a是群G中的一个8阶元,则a的阶为_。2.5 设G是交换群，a、bG, |a|=5, |b|=7,则|ab|=_。2.6 群AG中有_个1阶元。2.7 在S5中，4阶元的个数为_。2.8 在S4中，3阶元的个数为_。2.9 设为群，若，则_。2.10 设群G=e，a1，a2，an-1，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n =_.2.11 若a,b是交换群G中的5阶元和72阶元, 则ab的阶为_。2.12 在整数加群Z中， =_。2.13 10阶交换群G的所有子群的个数是_。2.14 阶数最小的非交换群的阶数是_。一个有限非可换群至少含有_个元素.2.15 任意群G一定同构于G的一个_。2.16 n次对称群Sn的阶是_。2.17 9-置换分解为互不相交的循环之积是_。2.18 n阶有限群G一定_置换群。2.19 每一个有限群都与一个_群同构。2.20 已知为上的元素，则_。2.21 给出一个5-循环置换，那么_。2.22 在4次对称群S4中，(134)2(312)-1=_.2.23 在4次对称群S4中，（24）（231）_ ，（4321）1_，（132）的阶为_。2.24 在6次对称群S中,(1235)(36)=_。2.25 (2431)=_。2.26 设群G的元a的阶是n，则ak的阶是_.2.27 设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为_。2.28 已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于_。2.29 设为循环群，那么（1）若的阶为无限，则同构于_，（2）若的阶为n，则同构于_。2.30 若群G是一个6阶循环群,则G与（模6剩余类同构）_同构。2.31 设=是循环群，则与模的剩余类加群同构的充要条件是_。2.32 整数加群(Z,+)的两个生成元是_+1和-1_。2.33 整数加群Z有_个生成元.2.34 整数加群(Z, +)的生成元是_。2.35 无限循环群G=(a)的生成元为_a的逆_。2.36 无限循环群G中能作为G的生成元的元素共有 _ 个。2.37 若G=(a)是一个无限循环的乘法群,则G的另一个生成元是_a的逆元_。2.38 剩余类加群Z共有_4_个元可作为它的生成元。2.39 16阶循环群G中能作为G的生成元的元素的个数为_8_。2.40 模10剩余类加群(Z,+)中能作为Z的生成元的元素有_。2.41 设=是12阶循环群，则的生成元是_。2.42 设是一个阶群，其中是一个素数，是一个正整数，则的真子群的一切可能的阶数是_。2.43 设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有_个.2.44 剩余类加群Z12有_个生成元.2.45 设H是群G的非空子集,则H是G的子群的充要条件是_。2.46 设G（a）是6阶循环群，则G的子群有_。2.47 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为_，子群H=的在G中的指数是_ 。2.48 设为群的子群，则是群的子群的充分必要条件为_。2.49 设是群的子群，则_。2.50 在3次对称群S3中，H(1)，(12)是S3的一个子群，则H (23)_2.51 在3次对称群S3中，H = （1），（23），则S3对H的右陪集分解式是_。2.52 的子群的一切右陪集_。2.53 G=(a)是21阶群，H则G:H=_。2.54 凯莱定理说：任一个子群都同一个_ 同构。2.55 凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个_同构。2.56 设G是群，N是G的非空子集，则NG的充要条件是_。2.57 6阶循环群有_个子群.2.58 设G是由a生成的30阶循环群，H = ，则G/H =_。2.59 设G(a)是10阶群，H(a),则_。2.60 设：A，则_。2.61 16阶循环群G中能作为G的生成元的元素的个数为_。2.62 设：A，则_。2.63 模10的剩余类加群的生成元为_。2.64 设a 是群G中的一个6阶元，则的阶为_。2.65 一个6 阶的非交换群G中的非单位元的阶一定是_ 。2.66 剩余类加群中能作为它的生成元的元素有_。2.67 设G是群，a, bG, |a|=12, 则|ba10b-1| =_。2.68 设G是一个20阶的交换群，aG, |a|=2, 则 G/ _。2.69 在整数加群Z中，,，则_。2.70 在整数加群Z中，则G：H =_。2.71 在12阶循环群G中，G=，H=，则=_。2.72 在4次对称群S4中，S=(123),则=_。2.73 在S5中，=(235)(13)(24),则=_。2.74 21阶群G中，7阶子群的个数为_。2.75 设N，商群中的单位元是_。2.76 在Z24中，24,H=,Z8,则a= _。2.77 在整数加群Z中，H=,则a =_。2.78 设G1，G2分别为m，n阶循环群，则G1G2的充要条件是_。2.79 Z4到Z2的所有同态映射是_。2.80 在整数加群Z中， + + =_。2.81 在同构的意义下，6阶群有_种。2.82 设G是模4的剩余类加群，那么Aut(G)= _。2.83 设G是正有理数作成的乘法群，a,a=（p, q为奇数, n为整数），令：a是G到（Z，+）的同态映射，则Ker=_。2.84 设G, H是两个阶互素的有限群，则G到H的同态映射f为_。2.85 在环R=4Z=4k|kZ中，（8）=_。2.86 在整数加群Z中，S=22,32则=_。2.87 设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为_。2.88 设是一个阶交换群，是的一个（）阶元，则商群的阶等于_ 。2.897、一个非正方形的长方形S的对称群是 。 13、平面上的正方形的对称群是_ 。72. 设a, b是群G的两个元素，满足aba=ba2b，a3=1，b7=1，则b=_ 。3 证明题：3.1 令证明，G对于矩阵的普通乘法作在一个群3.2 设G是整数集，规定运算：证明：G对运算作成一个群3.3 方程 在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群.3.4 设证明： 关于矩阵的乘法构成群.3.5 全体可逆的 阶方阵的集合 ()关于矩阵的乘法构成一个非交换群. 这个群的单位元是单位矩阵,每个元素(即可逆矩阵) 的逆元是 的逆矩阵 .3.6 设为实数集，令，将的所有这样的变换构成一个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。3.7 证明：若群G的每个元素都满足方程，则G 是一个Abel群（交换群）3.8 设G是一个群，证明：G是交换群的充分必要条件是，对任意，都有3.9 证明：在群G中，与有相同的阶 3.10 证明：在群G中，与有相同的阶3.11 证明：在n阶群G中每个元都满足xn=e.3.12 设 为群. . 证明: 与b有相同的阶. 3.13 证明：在群G中，ab与ba有相同的阶3.14 设 为群. . 证明: , , 有相同的阶.3.15 设 为 到 的同构映射, . 证明: 与 有相同的阶.3.16 设 为群, , 的阶为 , , . 证明: .3.17 设，的阶为，证明的阶是，其中。3.18 证明: 循环群是交换群.3.19 证明: 有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数.3.20 证明: 任意偶数阶群必含有阶为2的元素.3.21 设 为素数. 证明: 中每一个非零元都是生成元. 3.22 设G是一个群，若a的阶是正整数n证明：对3.23 设G是一个交换群，m是固定的正整数令证明：H是G的一个子群3.24 假定和是一个群G的两个元，并且，又假定的阶是，的阶是，证明：的阶是。3.25 设是群G的子群证明：也是G 的一个子群3.26 设G是一个群，令证明：C是G的一个子群3.27 设G是一个群，S是G的一个非空子集令证明：C（S）是G的一个子群3.28 若群G的阶是素数p，则G是一个循环群，试证之3.29 证明：循环群的子群也是循环群3.30 若群G与群同态，且G是循环群，证明：也是循环群3.31 证明：阶为的群（p是素数）一定包含有一个阶为p的子群3.32 设H，K是群G的不变子群，证明：HK也是G的不变子群。3.33 设H，K是群G的不变子群，且证明：，都有3.34 设H，K是群G的不变子群，证明：也是G的不变子群。3.35 设H是群G的子群，N是G的不变子群。证明：HN是G的子群3.36 设G是一个n阶有限群证明：G的每一个元素都满足方程3.37 设G是一个群，是G的中心，证明：C是G的一个不变子群3.38 设C是群G的中心，即且商群是循环群证明：G交换群3.39 若G 是循环群，H是G的一个子群证明：也是循环群3.40 设G是一个群，令证明：是G到G的同构映射的充分必要条件是：G是一个交换群3.41 设H是群G的子群,令NG(H)=x|xG, xH=Hx,证明NG(H)是G的子群3.42 设G是群，令 C=x|xG, yG, xy=yx,证明C是G的正规子群。3.43 设G=(a)是一无限循环群，证明G的生成元只有两个。3.44 设G是交换群，证明G中一切有限阶元素组成的集合T是G的一个子群，且除单位元之外不含有限阶元素。3.45 取定群G的元u,在G中定义新的“o” ：aob=aub.a.bG.证明（，o）是群3.46 证明循环群的子群也是循环群。3.47 设p是一个素数，证明2p阶群G中一定有一个p阶子群N。3.48 若G是一个群,e是G的单位元,G中任何元都是方程的解，证明G是一个交换群。3.49 若G是一个循环群,N是G的一个子群,证明也是一个循环群.3.50 证明阶是素数的群一定是循环群。3.51 设G是一个43阶的有限群,证明G的子群只有单位元群及G本身。3.52 证明：群G为交换群为G到G的一个同构映射。3.53 设G是一个1000阶的交换群，a是G的一个100阶元，证明 。3.54 设G是群，f：GG，aa2,()证明f是群G的自同态G是交换群。3.55 设G=（a, b）|a, b|R,，在G上定义“”：(a, b) 证明（G，）构成一个群。3.56 设G是有限交换群，f：GG,f(g)=gk(gG)证明fAut(G)(k,|G|)=1。3.57 设G是100阶的有限交换群，f: GG, f(g)=g49(gG),证明fAut(G)。3.58 设AG,BG如果存在a, bG,使得Aa=Bb,则A=B。3.59 设G是交换群，m是固定的整数，令H=a|aG, am=e，证明HG。3.60 设HG,令CG(H)=g|gG,hH,gh=hg，证明CG(H)G。3.61 设G是非空有限集合，“”是G的一个二元运算，“”适合结合律及左、右消去律，证明：(G,)构成一个群，当G是无限集时呢？3.62 设G是2000阶的交换群，HG,|H|=200，证明：是一个循环群。3.63 证明：无限循环群的生成元的个数只有两个。反之，一个循环群G的生成元只有两个，则G是否一定同构于Z ？3.64 设G是一个循环群，|G|3,4,G的生成元的个数为2，证明GZ。3.65 设G是有限群，HG, aG,证明存在最小正整数m,使amH,且m|。3.66 设G是奇阶群，则对任意gG, 存在唯一元xG, 使g=x2。3.67 证明：整数加群Z与偶数加群2Z同构。3.68 设HG, g是G的一个固定元素，gHg-1=ghg-1|hH（1）证明: gHg-1G。（2）证明: H。3.69 设G=，G对复数的加法构成群，H对矩阵的加法也构成群，证明：GH。3.70 设H是群G的非空子集, 且H中元的阶都有限，证明：HG。3.71 设NG, |G/N|=10, gG, |g|=12, 证明: g2N。3.72 设G是群，a, bG, ab=ba,|a|=m, |b|=n, =e.证明：|ab|=m, n (m, n是m, n的最小公倍数)。3.73 设是一个n次置换，集合X=1, 2, 3, , n，在X中，规定关系“”为kl, 使r(k)=l.证明：“”是X上的一个等价关系。3.74 设K=(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)证明：KS4。3.75 设G是群，HG, 规定关系“”a b 证明：是G的一个等价关系，且a所在的等价类a=Ha。3.76 证明：15阶群至多含有一个5阶子群。3.77 设HG, 若H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，证明HG。3.78 设NG, G:N=2004, 证明：对, 恒有。3.79 设NG, G:N=4,证明：存在MG,且G:M=2。3.80 设H，NG, 证明：|ab|=6。3.81 设HG, 证明：HG如果由。3.82 设k|m, 证明:。3.83 群G的非平凡子群N称为G的极小子群，如果不存在子群B使得, 证明：整数加群Z没有极小子群。3.84 如果是循环群，证明：G是交换群（其中C(G)是群G的中心）。3.85 证明：6阶交换群是循环群。举例说明6阶群不一定是循环群。3.86 证明：在一个有单位元的环R中，全体可逆元组成的集合对R的乘法构成一个群。3.87 设H，K则对任意a, b G,则HaKb=或HaKb是HK的一个右陪集，该结果能否推广？3.88 设 是群. 证明: 如果对任意的 , 有 , 则 是交换群.3.89 证明: 在群 中, 如果 , 则 .3.90 设 为加群. 证明: 任给 , , 有.3.91 证明: 一个子群的左陪集的所有元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集。3.92 设群 的子群 在 中的指数为2. 证明:, .3.93 设 为群, 是 的子群. 证明: 中每个元素属于且属于 的一个左陪集.3.94 设 是群, 是 的子群, . 则是 的子群.3.95 设 是群, 是 的非空子集. 证明: 中与 中每个元素都可交换的元素全体是 的子群.3.96 设 . 证明: 是 的子群.3.97 设 是交换群. 是一个固定的正整数. 令, .证明: 与 都是 的子群.3.98 证明: 3.99 设 是群, 证明: 的中心是 的正规子群.3.100 设 是群, , , 证明: .3.101 设 是群, 和 分别是 的子群和正规子群. 证明:(1) 是 的正规子群;(2) 是 的子群.3.102 设 为 的中心. 证明: 如果 是循环群, 则 是交换群.3.103 设 为群, 对任意的 , 称为 的换位子, 的所有换位子生成的子群叫做 的换位子群, 记作 . 证明:(1) 是 的正规子群;(2) 商群 是交换群;(3) 若 , 且 为交换群, 则 是 的子群.注: 是由所有换位子的可能乘积所组成的集合.3.104 设 与 为群, 为 到 的同态映射. . 证明: 当且仅当对任意的 , 有 .3.105 设 与 为群, 为 到 的同态映射. , . 证明:3.106 设 为 到 的同态映射, . 为 的子群. 证明: .3.107 设 与 分别为 阶与 阶循环群. 证明: 当且仅当 .3.108 设 都是群 的正规子群. 证明:3.109 设群 在集合 上的作用是传递的. 证明： 如果 是 的正规子群，则 在 的作用下的每个轨道有同样多的元素.3.110 设群 作用在集合 上，. 证明： 如果存在 , 使得 , 则 .3.111 设 为大于1的正整数. 令证明: 关于剩余类的乘法构成一个交换群.3.112 设群与群同态，是的一个不变子群，是的逆象，证明。3.113 证明：设是群，如果对任意的，有，则是交换群。3.114 证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3.115 设a、b是群G的元素，a的阶为2，b的阶为3，且ab=ba，证明ab的阶是6.3.116 ，。那么H是的一个子群。3.117 一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是： 3.118 设 是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群. 是所有行列式等于1的 阶矩阵所组成的集合. 则 是 的子群.3.119 群 的任何两个子群的交集也是 的子群. 3.120 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同.3.121 有限群 的任一元素的阶都是群 的阶数的因子.3.122 设 与 为群, 是 与 的同构映射, 则(1) 如果 为 的单位元, 则 为 的单位元;(2) 任给 , 为 的逆元, 即 3.123 如果 是交换群, 则 的每个子群 都是 的正规子群. 3.124 设 , , 则 . 3.125 群 的任何两个正规子群的交还是 的正规子群.3.126 设 与 是群, 是 到 的同态映射.(1) 如果 是 的单位元, 则 是 的单位元;(2) 对于任意的 , 是 在 中的逆元. 即3.127 设 与 是群, 是 到 的满同态.如果 是 的正规子群, 则 是 的正规子群.3.128 设是循环群，G与同态，证明是循环群。3.129 设G是群，aG ，令CG（a）= x|xG ，xa = ax，证明：CG（a）G3.130 设G ，H = x | x G ，f（x） 。证明：H/Kerf .3.131 设G是群，u是G的一个固定元，定义“o”：aob = a u 2 b （a，bG），证明 （G，o）构成一个群.3.132 设G是群，HG。令NG（H） = x | xG，xH = Hx .CG（H）= x | xG，h H，hx = xh .证明：（1）NG（H）G（2）CG（H）NG（H）3.133 设G与是两个群，f：G ，K = Kerf，令H = x |xG，f(x) ，证明：HG且H/K .3.134 设和是一个群的两个元且，又设的阶，的阶，并且，证明：的阶。3.135 设为实数集，令，将的所有这样的变换构成一个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。3.136 设G=有理数域上所有n阶可逆矩阵，H = A|AG,|A|=1证明：H是G的不变子群3.137 整环Z中的单位有_。3.138 环Z6的全部零因子是_。3.139 若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是。3.140 整数环Z的理想有_个. 3.141 整数环Z的商域是_.3.142 除环的理想共有_个。3.143 剩余类环Z5的零因子个数等于_.3.144 在整数环Z中，由2，3生成的理想是_.3.145 剩余类环Z7的可逆元有_个.3.146 设Z11是整数模11的剩余类环，则Z11的特征是_.3.147 剩余类环Zn是域n是_.3.148 设Z7 =0，1，2，3，4，5，6是整数模7的剩余类环，在Z7 x中, (5x-4)(3x+2)=_.3.149 在整数环中，=_； 3.150 剩余类环Z6的子环S=0,2,4，则S的单位元是_.3.151 中的所有可逆元是：_.3.152 模8的剩余类环Z8的子环有_个.3.153 除环的理想共有_个.3.154 剩余类环Z6的子环S=0,2,4，则S的单位元是_.3.155 在, i+3, 2, e-3中，_是有理数域Q上的代数元.3.156 + 在Q上的极小多项式是_.3.157 一个有单位元的无零因子_ 称为整环。3.158 设有限域的阶为81，则的特征_。3.159 一个无零因子环的特征指的是_。3.160 含（为素数）个元的域的特征是_。3.161 设Z8是模8的剩余类环，则Z8中的零因子是_3.162 剩余类环Z15的可逆元有_个.3.163 设Zx是整系数多项式环，则Zx的主理想(x2)_3.164 设Q是有理数域，则Q =_.3.165 在有理数域Q上的极小多项式是_3.166 若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为_。3.167 若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是_。3.168 若域的一个扩域叫做的一个代数扩域，如果_。3.169 模12的剩余类环Z12的可逆元是_。3.170 实数域R上的n阶矩阵环Mn（R）的理想是_。3.171 设R=3Z=3k|kZ，I=(3), 那么R/I =_。3.172 若在多项式环Zx中，aZ, 如果 (a, x) 是Zx的一个主理想，那么a=_。3.173 设_.3.174 商环的特征是_。3.175 商环的特征是_。3.176 在整数环Z中，包含（12）的极大理想是_。3.177 在整数环Z中，包含（30）的素理想是_.3.178 在模30的剩余类环Z30中，包含（15）的极大理想是_.3.179 在整数环Z中，I=(3), J=(5),则I J的生成元是_。3.180 Z6的所有商环是_.3.181 模12的剩余类环Z12的零因子是_。3.182 在模m的剩余类环Z中，Z = x|x Z m，xo若Z对Z m乘法构成一个群，则m _. 3.183 在整数环Z中，aZ ，a|2004，(a)是Z的素理想，则a_。3.184 模8的剩余类环中关于乘法的所有可逆元的个数为_。3.185 设(p)与(q)是环（Z,+）的主理想，其中p, q是不同的质数，则(p)(q)=_。3.186 模12的剩余类环(Z,+,)中关于乘法运算的所有的可逆元是_。3.187 设N是环R的非空子集,则N是R的右理想的充要条件是_。3.188 环关于乘法的所有可逆元为_。3.189 若R是交换环, aR则主理想(a)=_。3.190 设Z6是模6的剩余类环,在Z6x中, (2x2-4)(3x-1)= _ _。3.191 若模n的剩余类Zn是一个无零因子环,则n_。3.192 若R=2Z是所有偶数对普通数的加法和乘法构成的环,则R的商域为_。3.193 设Z4是模4的剩余类环,则Z4x中的多项式x2在Z4上有_个根。3.194 设R为整环，a，b，R ，b|a，则（b）_（a）.3.195 环（Z,+）是域，当且仅当n为_数。3.196 设R是交换环，则主理想(a)= _。3.197 在整数环中，所有包含30的极大理想为_。3.1983.199 证明：模m的剩余类环Zm的每一个理想都是主理想。3.200 设 ， （1）验证R是矩阵环Z22的一个子环。（2）证明I是R的一个理想。3.201 证明：模m的剩余类环Zm的每个子环都是理想.3.2023.203 证明数域F = ab|a，bQ的自同构群是一个2阶循环群.3.204 在多项式环Zx中，证明：（1）（3，x）= 3a0a1xanxn|ai Z.（2）Zx/(3，x)含3个元素.3.205 在整数环Z中, a, bZ,证明(a, b)是Z的极大理想的充要条件是a, b的最大公因数是一个素数。3.206 设 ，(1) 验证R对矩阵的加法和乘法构成环。 (2) 证明I是R的一个理想。3.207 在整数环Z中, p, q是不同的素数,证明 (p)(q)=(pq), (p,q)=Z。3.208 若Q是有理数域,证明(x)是Qx的极大理想。3.209 设证明(R,+,)是整环（+,是数的加法与乘法）3.210 设A是实数域R上一切三阶方阵关于方阵的加法、乘法作成的环。证明 是A的一个左理想。3.211 证明一个主理想环I的每一非零极大理想都是一个素元所生成的。3.212 证明（3，x）是Zx的一个极大理想。3.213 证明环R的两个理想的交集仍是R的一个理想。3.214 设I是一个主理想环,a, bI, d是a是与b的一个最大公因子,证明(a, b)=(d)。3.215 在整数环Z中,证明Z(p)是域p为质数(素数)。3.216 在多项式环ZX中,证明(5,X)不是主理想。3.217 设R是一有单位元的交换环，且R只有平凡理想，证明R是域。3.218 设Z是整数环, x是Z上的未定元, 证明Zx的生成理想。3.219 (3,x)=,并且剩余类环=0，1，2。3.220 证明(5,x)不是Zx的主理想。3.221 证明整数环Z到自身的所有同态映射为零同态和恒等同态。3.222 设是有理数域上的二阶方阵环，证明只有零理想和单位理想，但不是一个除环。3.223 设R为环，如果每个元素都满足a2=a，证明R为交换环。3.224 环R中元素a称作幂零的，是指存在正整数m，使得am=0，证明：当R为交换环时，两个幂零元素之和，两个幂零元素之积都为幂零元素。3.225 设R和都是含单位元的环， f是R到的满同态，证明：（1）f(1R)=；（2）如果a是R的单位，则f(a)是的单位。3.226 设证明：A是关于矩阵的加法和乘法构成一个无单位元的环。3.227 证明：一个具有素数个元素的环是交换环。3.228 设R是一个有单位元1R的无零因子环，证明：如果ab=1R则ba=1R3.229 设R是交换环，X是R的非空子集，令 证明：Ann(X)是R的理想。3.230 设R是环，I， J是R的两个理想，令，证明：I:J是R的理想。3.231 设Z证明：是域。3.232 设R是有单位元的交换环，I是R的真理想，证明：如果R的每个不在I中的元素都可逆，则I是R的唯一的极大理想。3.233 在Zx中，证明(7, x)不是Zx的一个主理想。3.234 设I和J是环R的理想, 且满足I+J=R，IJ=0证明：。3.235 设f:为环的同态。如果R是除环，求证f是零同态或f是单同态（零同态是指g: , ）。3.236 设是环的满同态。K=Kerf，P是R的素理想，且的素理想。3.237 设f:是环的满同态，Q是S的素理想，证明：是R的素理想。3.238 设D为整环，m和n为互素的正整数，a, bD如果am=bm, an=bn求证a=b。3.239 证明：Zx不是主理想整环。3.240 设R为交换环，R2=R, 则R的每个极大理想都是素理想。3.241 设Rx是实数域R上的一元多项式环，取x2+1Rx证明：，C为复数域。3.242 设S是环R的子环，I是R的理想，且IS，证明：（1）的子环。（2）若S是R的理想，则的理想。3.243 设f是环R到环的满同态，A为R的理想，证明：。3.244 设f是群G到群的满同态，N是G的正规子群，证明：。3.245 设R是欧氏环，I是R的一个素理想，证明：I是R的一个极大理想。3.246 设f是环