数学北师大版八年级下册2. 分式的乘除法.docx

2分式的乘除法1.能正确理解分式乘除法的法则,能类比分数乘除法的法则得出分式乘除法的法则.2.能解决一些与分式有关的简单的实际问题.3.会进行简单分式的乘除运算,具有一定的代数化归能力.4.增强学生的代数推理能力与应用意识.1.经历探索分式的乘除运算法则的过程,能结合具体情境说明其合理性.2.基本形成学习分式的方法,类比分数得到一些相关结论.1.培养学生大胆猜想,勇于发言与合作交流的意识.2.获得利用所学知识解决实际问题的成功体验.【重点】利用法则计算分式乘除法,并解决简单的实际问题.【难点】让学生类比分数的乘除法,归纳得到分式乘除法的法则.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习小学学过的分数的乘除法.导入一:【问题】计算,并说出分数的乘除法法则. (1)47218;(2)2549.解:(1)47218=42178=32.(2)2549=2594=910.分数乘分数,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分数除以分数,把除数的分子分母颠倒位置,与被除数相乘.下面各式可以像分数的乘法、除法那样进行计算吗?(1)4ac3b9b32ac2;(2)4ac3b9b32ac2;(3)ab4c2.设计意图复习小学学过的分数的乘除法运算,为学习分式乘除法的法则做准备.用同学们熟悉又陌生的分式的乘除运算引入,激发学生对本节课学习的兴趣.导入二:【问题】怎样计算ab1b?小明: ab1b=a1=a.小丽: ab1b=a1b1b=ab2.谁的算法正确?请说明理由.设计意图用简单的分式乘除混合运算引入,通过比较小明、小丽不同的做法,让学生积极参与,激发学生对本节课学习的兴趣.一、法则归纳思路一计算:(1)2345,5729;(2)2345,5729.问题1上面运算的根据是什么?问题2你能回忆并说出分数的乘法和除法法则吗?问题3你能类比分数的运算,计算下面的式子吗?(1)badc;(2)badc.问题4再举几个这样的例子试一试.与同伴交流你的想法.问题5请你类比分数的乘除法法则,用语言描述出分式的乘除法法则(小组内交流得出结论).分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.这一法则可以用式子表示为:badc=bdac;badc=bacd=bcad.设计意图让学生从熟悉的分数的乘除运算开始,通过类比分数的乘除法,引导学生尝试去进行分式的乘除,让学生再举这样的例子,认识到一般规律,学生通过小组交流合作,归纳总结出分式的乘除法法则.思路二观察下列运算:2345=2435;5729=5279;2345=2354=2534;5729=5792=5972.猜一猜:badc=;badc=.你能总结出分式乘除法的法则吗?与同伴交流.badc=bdac,badc=bacd=bcad.分式乘除法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.设计意图让学生观察运算,通过小组讨论交流,并与分数的乘除法法则类比,让学生自己总结出分式的乘除法法则.通过类比分数的乘除法法则,让学生明白字母代表数,这样很顺利地得出分式的乘除法法则.二、法则应用(补充例题)计算:(1)4ac3b9b32ac2;(2)4ac3b9b32ac2.注意:运用分式的乘除法运算法则进行分式的乘法和除法时,能约分的要约分.解:(1)4ac3b9b32ac2=4ac9b33b2ac2=36ab3c6abc2=6b2c.(2)4ac3b9b32ac2=4ac3b2ac29b3=8a2c327b4.设计意图在学生探究出分式的乘除法法则后,通过两个简单问题的尝试,进一步熟悉运算法则.通过计算,认识到分式运算时,能约分的要约分,最后结果要化成最简分式.根据乘方的意义和分式乘法的法则计算:(1)ab2=abab=();(2)ab3=ababab=();(3)ab4=abababab=().解:(1)a2b2(2)a3b3(3)a4b4根据以上计算推导可得:abn=abababn个=aaan个bbbn个=anbn.(n为正整数)归纳:分式乘方的法则:分式的乘方等于分子分母分别乘方.三、例题讲解(教材例1)计算:(1)3a4y2y23a2;(2)a+2a-21a2+2a.解析本题是分式的乘法运算,根据法则,先将分子与分子相乘,分母与分母相乘,然后再约分.当然,熟练后也可先约分再相乘.解:(1)3a4y2y23a2=3a2y24y3a2=y2a.(2)a+2a-21a2+2a=a+2(a-2)a(a+2)=1a2-2a.(教材例2)计算:(1)3xy26y2x;(2)a-1a2-4a+4a2-1a2-4.解析本题是分式的除法运算,根据法则把除法转化为乘法.第(2)题的分式中含有多项式,对这类运算一般应先将多项式因式分解,以便在运算过程中约分,使运算简化.解:(1)3xy26y2x =3xy2x6y2=3xy2x6y2=x22.(2)a-1a2-4a+4a2-1a2-4=a-1a2-4a+4a2-4a2-1=(a-1)(a2-4)(a2-4a+4)(a2-1)=(a-1)(a-2)(a+2)(a-2)2(a-1)(a+1)=a+2(a-2)(a+1).通过以上例题帮助学生总结出分式乘除法的运算步骤.总结:当分式的分子与分母都是单项式时:(1)乘法运算步骤:用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母;把分式的积中的分子与分母分别写成一个因式与另一个因式的乘积形式,如果分子(或分母)的符号是负号,应把负号提到分式的前面;约分得到计算的结果.(2)除法的运算步骤:把除式中的分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘,其他与乘法运算步骤相同.当分式的分子、分母中有多项式时,运算步骤:先分解因式;如果分子与分母有公因式,先约分再计算;如果分式的分子(或分母)的符号是负号,应把负号提到分式的前面.最后的计算结果必须是最简分式或整式.设计意图通过例题讲解,使学生会根据法则理解每一步的算理,从而进行简单的分式的乘除运算.需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式,对于这一点,很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到.在熟悉分式的乘除法法则后,例1的设计让学生尝试解决问题,巩固所学知识.例2的设计让学生应用从研究简单问题中所获得的经验来解决较为复杂的问题,学习处理复杂问题的研究方法和手段,进一步学会用化归思想解决问题,激发其探究的欲望,培养学生良好的学习习惯.四、做一做购买西瓜时,人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并且西瓜瓤的分布是均匀的,西瓜皮的厚度都是d,已知球的体积公式为V=43R3 (其中R为球的半径),那么:(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少?(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?与同伴交流.解:(1)可设整个西瓜的半径为R,则西瓜瓤的体积V1=43(R-d)3,整个西瓜的体积V=43R3.(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是V1V=1-dR3.(3)买大西瓜合算.由V1V=1-dR3可知,R越大,即西瓜越大,dR的值越小,1-dR的值就越大,1-dR3的值也越大,则V1V的值也越大,即西瓜瓤占整个西瓜的体积的比也越大,所以买大西瓜合算.设计意图解决一些与分式有关的简单的实际问题,增强学生的代数推理能力与应用意识.1.分式乘除法的法则.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为:badc=bdac,badc=bacd=bcad.2.分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.1.计算xxy1x,其结果为()A.1B.xyC.yxD.xy解析:xxy1x= xyx1x=yx.故选C.2.化简-1-a2a-1,其结果为()A.a+1B.a-1C.1-aD.-a-1解析:-1-a2a-1=-(1-a)(1+a)a-1=1+a.故选A.3.(2015衢州中考)先化简,再求值:(x2-9)x-3x,其中x=-1.解:原式=(x+3)(x-3)xx-3=x(x+3)=x2+3x,当x=-1时,原式=(-1)2+3(-1)=-2.4.计算:(1)ab22c24cd-3a2b2;(2)a2-4a2-4a+3a-3a2+3a+2.解析:(1)分子和分母都是单项式,直接按“分子乘分子,分母乘分母”进行计算,其运算步骤为:符号运算;按分式的乘法法则运算;约分.(2)分式的分子、分母中含有多项式,应先因式分解,再约分.解:(1)原式=-ab24cd2c23a2b2=-4ab2cd6a2b2c2=-2d3ac.(2)原式=(a-2)(a+2)(a-1)(a-3)a-3(a+1)(a+2) =a-2(a+1)(a-1) = a-2a2-1.5.计算:(1)-3xy2y23x;(2)(xy-x2)x-yxy.解析:(1)先确定商的符号,再把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘;(2)先把除法变为乘法,然后按乘法法则进行计算.解:(1)原式=-3xy3x2y2=-9x22y.(2)原式=(xy-x2)xyx-y=-x(x-y)xyx-y=-x2y.2分式的乘除法一、法则归纳二、法则应用三、例题讲解四、做一做一、教材作业【必做题】教材第115页随堂练习.【选做题】教材第116页习题5.3的3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.计算a-1aa-1a2的结果是()A.1aB.aC.a-1D.1a-12.下列等式正确的是()A.2xy22=4x2y4B.a+ba2=a2+b2a2C.-y3x32=y9x6D.3x2y3=9x36y33.计算:(1)a2b32b23a;(2)a2b3a2b.【能力提升】4.计算:(1)a2xby2ay2b2x;(2)a2xyb2z2a2yzb2x2.5.计算:x-2x+3x2-9x2-4.6.已知分式1x2-1无意义,求x2+6x+9x-3x+3x2-6x+9的值.7.计算:(1)a-ba+2ba2-b2a2+4ab+4b2;(2)a2+b2a+ba2-b2aba-bab(a2+b2).【拓展探究】8.有这样一列分式:x(x+y)2,-x2(x+y)3,x3(x+y)4,-x4(x+y)5,(其中x0,x-y).(1)选择其中任意一个分式除以它后面的分式,你发现了什么规律?(2)试写出给定的这列分式中的第10个分式;(3)你能写出第n个分式吗?9.(2014铜仁中考)先化简,再求值:y(x-y)-x(x+y)x2-y2x2+y2x+y,其中x=2,y=-1.【答案与解析】1.B(解析:a-1aa-1a2=a-1aa2a-1=a.故选B.)2.A(解析:按照分式乘方的法则进行判断.B中分子平方时,是完全平方式,结果应为a2+2ab+b2a2;C中分子应按幂的乘方运算,结果应为y6x6;D中分子和分母的系数也应分别乘方,其结果应为27x38y3.故选A.)3.解:(1)a2b32b23a=a22b2b33a=2a3b.(2)a2b3a2b=a2b32ba=2ab2.4.解:(1)a2xby2ay2b2x=a2xay2by2b2x=a3b3.(2)a2xyb2z2a2yzb2x2=a2xyb2z2b2x2a2yz=x3z3.5.解:原式=x-2x+3(x+3)(x-3)(x+2)(x-2)=x-3x+2.6.解:分式1x2-1无意义,x2-1=0,即x2=1,x2+6x+9x-3x+3x2-6x+9=(x+3)2x-3(x-3)2x+3=(x+3)(x-3)=x2-9=1-9=-8.7.解:(1)a-ba+2ba2-b2a2+4ab+4b2=a-ba+2ba2+4ab+4b2a2-b2=a-ba+2b(a+2b)2(a+b)(a-b)=a+2ba+b.(2)a2+b2a+ba2-b2aba-bab(a2+b2)=a2+b2a+b(a+b)(a-b)abab(a2+b2)a-b=(a2+b2)2=a4+2a2b2+b4.8.解:(1)任意一个分式除以它后面的分式恒等于-x+yx.(2)第10个分式是-x10(x+y)11.(3)第n个分式是(-1)n+1xn(x+y)n+1.9.解:原式=xy-y2-x2-xy(x+y)(x-y)x+yx2+y2=-(y2+x2)(x+y)(x-y)x+yx2+y2=-1x-y.当x=2,y=-1时,原式=-12-(-1)=-13.本节课利用类比的思想方法,对于学生来说是学习新知识的好方法.通过一定数量的练习,既复习了旧知,又巩固了新知.学生对于法则的应用不难,但是较差基础的学生在运用法则进行计算过程中遇到整式的乘法运算时容易出现错误.应该在复习分数的乘除法法则时复习分数的约分,通过对分数的约分类比分式的约分,加强学生的化简意识和能力.课前有必要巩固整式的乘法运算和因式分解这两方面的知识,进行有针对性的练习.随堂练习(教材第115页)提示:(1)1a.(2)a2-2a+1.(3)xy-y. (4)x2x2-5x+6.习题5.3(教材第116页)1.提示:(1)2ab.(2)1(a-3)(b-1).(3)x+yy.(4)a2-abb2.2.提示:(1)a2-ab.(2)2x-y4x2+4xy+y2.(3)y22x3.3.解:不正确.运算顺序不对,正确的过程是:ab1b=a1b1b=ab2.4.提示:火车的速度是汽车速度的bma倍.用清水洗蔬菜上残留的农药,设用x(x1)单位量的水