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第5讲 指数式与指数函数 当n为偶数时 正数的n次方根有两个 它们互为相反 数 这时 a的n次方根可记作 a 3 0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂没有意义 3 有理数指数幂的运算性质 1 aras a 0 r s q 2 ar s ars a 0 r s q 3 ab r a 0 b 0 r q 4 指数函数的图象与性质 ar s arbr y ax a 1 y ax 0 a 1 续表 0 1 减函数 0 y 1 y 1 y ax a 1 y ax 0 a 1 1 下列根式与分数指数幂的互化中 正确的是 a 1 5 b 1 4 c 0 4 d 4 0 c a 则m n的大小关系为 m n x 3 4 2013年上海 方程2x 8的解是 解析 2x 8 23 x 3 考点1 指数幂运算 例1 计算 思维点拨 根式的形式通常写成分数指数幂后再进行运算 互动探究 23 考点2 指数函数的图象 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 答案 b 互动探究 d a b c d 3 2013年广东珠海二模 已知实数a b满足等式2a 3b 下列五个关系式 0 b a a b 0 0 a b b a 0 a b 0 其中有可能成立的关系式有 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 解析 如图d2 正确 故选c 图d2 c 考点3 指数函数的性质及应用 例3 已知f x ex ax 1 1 求f x 的单调递增区间 2 若f x 在定义域r上单调递增 求a的取值范围 当a 0时 f x 的单调递增区间为 lna 解 1 f x ex ax 1 f x ex a 令f x 0 得ex a 当a 0时 有f x 0在r上恒成立 当a 0时 有ex elna 即x lna 综上所述 当a 0时 f x 的单调递增区间为 2 f x ex ax 1 f x ex a f x 在r上单调递增 f x ex a 0恒成立 即a ex x r恒成立 x r时 ex 0 a 0 当a 0时 f x ex在r上f x 0恒成立 故当a 0时 f x 在定义域r上单调递增 规律方法 1 通过f x 0求单调递增区间 2 先转化为恒成立问题 再求a的取值范围 互动探究 4 若函数f x ax a 0 a 1 在 1 2 上的最大值为4 则其在 1 2 上的最小值为 思想与方法 分类讨论与数形结合思想的应用 2 若关于x的方程 ax 1 2a a 0 且a 1 有两个不相等 的实根 则实数a的取值范围是 a 0 1 1 b 0 1 答案 d 图2 5 1 规律方法 1 在指数函数解析式中 必须时刻注意底数a 0且a 1 对于指数函数的底数a 在不清楚其取值范围时 应运用分类讨论的数学思想 分a
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