数值分析报告-二分法和牛顿法方程求根.doc

数值分析实 验 报 告 一 姓名: 周 举 学号: PB09001046 实验一一、实验名称方程求根 二、实验目的与要求：通过对二分法和牛顿法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点；比较二者的计算速度和计算精度。三、实验内容：通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点 。（一）二分法 算法：给定区间a,b，并设f（a）与f（b）符号相反，取为根的容许误差，为值的容许误差。（1）令c=(a+b)/2（2）如果(c-a) 或，则输出c，结束；否则执行（3）（3）如果f(a)f(c)0，则令；否则，则令，重复（1），（2），（3）。 （二）牛顿迭代法：给定初值，为根的容许误差，为的容许误差，N为迭代次数的容许值。（1）如果或迭代次数大于N，则算法结束；否则执行（2）。（2）计算（3）若 或 ，则输出 ，程序结束；否则执行（4）。（4）令 = ，转向（1）。四、实验题目与程序设计1、二分法3.1.1、用二分法求方程a. f(x)= 在区间0，/2上的根,c. f(x)= 在区间1，3上的根。源程序：3.1.1.a#include#includevoid main()float a,b;double c,y,z;printf(plese input two number a and b:n);scanf(%f%f,&a,&b);c=(a+b)/2;y=1/c-tan(c);printf(a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%fn,a,b,b-a,c,y);while(fabs(b-a)0.00001| fabs(y)0.00001) z=1/a-tan(a);if(z*y0)b=c;else a=c; c=(a+b)/2; y=1/c-tan(c); printf(a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%fn,a,b,b-a,c,y);输入0 1.5707563 (/21.5705563)得到下表：由上表可以看出刚开始时f（c）取值幅度很大，但是经过一段历程之后，幅度变得平缓甚至基本接近与零，我们认为，x=0.8603是方程的根，结果与实际想要得到的值相当接近。3.1.1 c#include#includevoid main()float a,b;double c,y,z;printf(plese input two number a and b:n);scanf(%f%f,&a,&b);c=(a+b)/2;y=pow(2,-c)+exp(c)+2*cos(c)-6;printf(a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%fn,a,b,b-a,c,y);while(fabs(b-a)0.00001 | fabs(y)0.00001) z=pow(2,-a)+exp(a)+2*cos(a)-6;if(z*y0)b=c;else a=c; c=(a+b)/2;y=pow(2,-c)+exp(c)+2*cos(c)-6; printf(a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%fn,a,b,b-a,c,y);输入1 3 ，得到如下表：我们认为，x=1.8294是方程的根。3.1.4、用二分法求方程在5.5，6.5上的根，将-36改为-36.001，并重复试验。源程序如下：#include#includevoid main()float a,b,c,y,z,w;int n=0;printf(plese input two number a and b:n);scanf(%f%f,&a,&b);c=(a+b)/2;y=pow(c,8)-36*pow(c,7)+546*pow(c,6)-4536*pow(c,5)+22449*pow(c,4)-67284*pow(c,3)+118124*c*c-109584*c+40320; printf( a b b-a c f(a) f(c) f(b)n);printf(%f,%f,%f,%f,%f,%f,%fn,a,b,b-a,c,z,y,w);while(y0.00001 | c-a0.00001 ) z=pow(a,8)-36*pow(a,7)+546*pow(a,6)-4536*pow(a,5)+22449*pow(a,4)-67284*pow(a,3)+118124*a*a-109584*a+40320; w=pow(b,8)-36*pow(b,7)+546*pow(b,6)-4536*pow(b,5)+22449*pow(b,4)-67284*pow(b,3)+118124*b*b-109584*b+40320;if(z*y0)b=c;else a=c; c=(a+b)/2;y=pow(c,8)-36.001*pow(c,7)+546*pow(c,6)-4536*pow(c,5)+22449*pow(c,4)-67284*pow(c,3)+118124*c*c-109584*c+40320; printf(%f,%f,%f,%f,%f,%f,%fn,a,b,b-a,c,z,y,w); n+;输入5.5 6.5 得到下表：我们认为x=6.0000是方程的根。如果把第二项系数换成36.001，重复以上实验，则得到下表：由于f（a）和f（b）总是同为负数，我们在（5.5,6.5）之间没有找到需要的根，这就说明，当方程中某一个系数相差很小时，方程的根取值可能相差很大。2、牛顿迭代法3.2.5、用牛顿法求方程接近0.1的两根。源程序如下：#include#includevoid main()int n=0,M; float x,y,s,t,u,v;printf(plese input x M t and s :n);scanf(%f%d%f%f,&x,&M,&t,&s);u=2*x*x*x*x+24*x*x*x+61*x*x-16*x+1;v=8*x*x*x+72*x*x+122*x-16;y=x-u/v;printf(N=%d,x=%f,y=%f,|y-x|=%f,f(x)=%fn,n,x,y,fabs(y-x),u);n+;while(nt & fabs(u)s ) x=y;u=2*x*x*x*x+24*x*x*x+61*x*x-16*x+1; v=8*x*x*x+72*x*x+122*x-16; y=x-u/v; printf(N=%d,x=%f,y=%f,|y-x|=%f,f(x)=%fn,n,x,y,fabs(y-x),u); n+;为了能够找到x=0.1附近的两个根，我们不妨取=0.0，=0.1和=0.2两个值尝试一下，分别得到如下的结果：（1）当=0.0时，我们认为x=0.1213是方程的根。（2）当=0.1时，我们认为x=0.1213是方程的根。（3）当=0.2时，我们认为x=0.1231是方程的根。故方程在x=0.1附近的两根为x=0.1213和x=0.1231。将这一过程表示在坐标图中：由于方程的两个根和x=0.1比较接近，可以看出，当初值取为0.1时，f(c)的函数最为平缓，这表示此时f（x）最先到达零点；其次，0.2比0.0更加接近于根x=0.1213和x=0.1231，所以初值为0.2的曲线比初值为0.0的曲线更加平缓。这就说明了，用牛顿法解方程式，应该尽量使初值接近零点，这样能够更节省时间，得到的根更准确。3.2.14、用牛顿法求解下面两个非线性方程的根 a. , b. 3.2.14、a取，则 ，根据牛顿法的思想，其源程序如下：#include#includevoid main()float x,y,u,v,s,t;int n=0,M;printf(plese input two number x、y ,and M:n);scanf(%f%f%d,&x,&y,&M); printf(%f,%f,%dn,x,y,M);s=4*y*y+4*y+52*x-19;t=169*x*x+3*y*y+111*x-10*y-10;printf(N=%d,x=%f,y=%f,f1=%f,f2=%fn,n,x,y,s,t);n+;while(n4之后，f1(X)和f2(X)基本上等于零，这个接近程度相当低，而且，方程很快能够得到需要的根，这说明牛顿法的效率是相当高的。（b）和（a）的做法思想是一样的，其源程序如下：#include#includevoid main()float x,y,u,v,s,t,r;int n=0,M;printf(plese input two number x、y ,and M:n);scanf(%f%f%d,&x,&y,&M); printf(%f,%f,%dn,x,y,M);s=x+exp(-x)+y*y*y;t=x*x+2*x*y-y*y+tan(x);printf(N=%d,x=%f,y=%f,f1=%f,f2=%fn,n,x,y,s,t);n+;while(n=M) r=(1-exp(-x)*(2*x-2*y)-3*y*y*(2*x+2*y+1/(1+x*x); u=-(2*x-2*y)*s-3*y*y*t)/r; v=-(-2*x-2*y-1/(1+x*x)*s-(1-exp(-x)*t)/r; x=x+u;y=y+v; s=x+exp(-x)+y*y*y;t=x*x+2*x*y-y*y+tan(x); printf(N=%d,x=%f,y=%f,f1=%f,f2=%fn,n,x,y,s,t); n+;当输入0 0 20时，我惊奇地发现不能得到想要的结果，而是出现了很多不知何物的字母，于是我猜测在运算过程当中可能出现了分母零，于是我加入了一个r表示上面程序中u和v共同的分母，即r=(1-exp(-x)*(2*x-2*y)-3*y*y*(2*x+2*y+1/(1+x*x)，验算初值为0和0时的情况，结果果然出现了r=0，于是我将初始值改为1和1，运算20次，得到下表：从中可以看出，方程的根为x= - 0.7112 ，y= - 1.0984 ，另外，从中可以看出，此次需要进行更多运算，才能是方程值趋于零，与前一个方程组（a）相比，它的求解过程步骤要多一些。五、小结： 二分法和牛顿法都是解方程的两个比较好的方法，二分法在解一元方程应用中相比牛顿法要简单些，特别是写程序要简单些，但是二分法求根过程的步骤要比