三角函数图像与质义.doc

1.3.2 三角函数的图像与性质1利用单位圆中正弦线作正弦函数图象作法：（几何作法）（1）在直角坐标系的轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从O1与x轴的交点A起，把O1分成12等份，过O1上各点作x轴的垂线，可得对应于等角的正弦线；（2）把轴上这一段分成12等份，把角的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与轴上的点重合；（3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数，的图象。因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数，（）且的图象与函数，的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数，的图象向左、右平移，就可得到函数，的图象。2余弦函数的图象由于，所以余弦函数，与函数,，是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：正弦曲线向左平移个单位得到，即：向左平移个单位3五点法作图（1），；自变量函数值y01010（2），自变量函数值y121014正弦、余弦函数的定义域、值域函 数函 数定义域值 域5正切函数的定义域是什么？ 6正切函数是不是周期函数？ ， 是的一个周期。 是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。y7作，的图象说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”。（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。y0x8正切函数的性质（1）定义域：；（2）值域：R观察：当从小于，时， 当从大于，时，。（3）周期性：；（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。例1：求下列函数的定义域：（1）； （2） （3）例2：求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么？（1），； （2），例3：求下列函数的值域：（1）； （2）例4：求函数的值域。例5：求函数的值域。例6：求函数的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的的值。例7：求函数的值域。例8：如图，有一快以点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另两点、落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为，如何选择关于点对称的点、的位置，可以使矩形的面积最大？例9：已知函数（）的最大值为，最小值为，求函数 的最大值和最小值。例10：已知函数的定义域是，值域是，求常数例11：求下列函数的周期：（1） （2） 例12：求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。例13：用图象求函数的定义域。例14“”是“”的 条件。例15与函数的图象不相交的一条直线是（ ） 例16函数的定义域是（ ）例17函数的值域是（ ）例18函数的奇偶性是（ ），周期是（ ）1.3.3 函数的图象1型函数的图象一般地，函数，的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（时）或缩短（时）到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到，因此，的值域是，最大值为，最小值为2型函数的图象一般地，函数，（）的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（时）或伸长（时）到原来的倍（纵坐标不变的情况下）而得到的。3型的函数图象一般地，函数（），的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左（时）或向右（时）平行移动个单位而得到。4的物理意义当，（其中，）表示一个振动量时，表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率。称为相位，时的相位称为初相。5图象的变换一般地，函数，的图象（其中，）的图象，可看作由下面的方法得到：把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度；再把所得各点横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）；再把所得各点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍（横坐标不变）。即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。例1 画出函数，的简图。例2 画出函数，的函数简图。例3 画出函数，的简图。例4 画出函数的简图。1.3.4 函数的解析式1根据函数图象求解析式例1：已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。 2由已知条件求解析式例2： 已知函数（，）的最小值是，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，求这个函数的解析式。例3：已知函数（，）的最大值为，最小值为，周期为，且图象过点，求这个函数的解析式。例1解： （1）， ； （2）， ；（3） 例2解：（1）使函数，取得最大值的的集合，就是使函数， 取得最大值的的集合，所以，函数，的最大值是（2）令，那么必须并且只需，且使函数，取得最大值的 的集合是，由，得，即：使函数，取得最大值的的集合是，函数的最大值是例3解：（1）， 所以，值域为（2）， ， ，解得， 所以，值域为例4解：， ，所以，函数的值域是例5解： ，所以，函数的值域为例6解： 令，则，（），当，即或（）时， 当，即（）时，例7解：令，则，又，当时，当时，所以，函数的值域为例8解：设，则， 当取得最大值时，取得最大值，此时，答：、应该选在离点处，才能使矩形的面积最大，最大面积为例9解：（）当时， 当时， 由得，所以，当时，当时，例10解： ， ，若，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，解得：，若时，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，解得：， 所以，或例11（1） 答：。（2）答：。的周期例12解：由得，所求定义域为，值域为R，周期，是非奇非偶函数，在区间上是增函数。将图象向右平移个单位，得到的图象；再将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），就得到函数的图象。例13解：由 得 ，利用图象知，所求定义域为，亦可利用单位圆求解。00TA例14既不充分也不必要 例15 D 例16 例17 例18奇函数例1解：先画出它们在上的图象，再向左右扩展，由图可知，对于同一个，的图象上的点的纵坐标等于，的图象上的点的纵坐标的倍，因此，的图象可以看作正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到的。，的图象的情况也类似：纵坐标变为原来的（横坐标不变情况下）。例2解：先画出它们在一个周期内的图象，再向左、右扩展， 例3解：由函数图象的平移知： ，的图象可看作，的图象向左平移个单位得到；，的图象可看作，的图象向右平移个单位得到。可得图象如下：例4解：函数的周期为，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再左右拓展即可，先用五点法画图：函数的图象可看作由下面的方法得到的：图象上所有点向左平移个单位，得到的图象上；再把图象上所点的横坐标缩短到原来的，得到的图象；再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象。问题：以上步骤能否变换次序？，所以，函数的图象还可看作由下面的方法得到的：图象上所点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象；再把函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象；再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象。例1解：由图知：函数最大值为，最小值为，又， 由图知，又， 图象上最高点为，即，可取，所以，函数的一个解析式为例2解：由题意：， ， ，又图象经过点， ， 即，又， ，所以，函数的解析式为例3解：，又， ，又图象过点， ，又，或，所以，函数解析式为或一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB