中考数学总复习六：和差倍分、平行与垂直.doc

中考总复习六：和差倍分、平行与垂直一、和差倍分问题线段或角的和差倍分问题，一般是通过平移、轴对称或旋转等变换构造全等代换线段，最终转化为证明相等的问题。1如图，在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点，且EAF=45 ,则有结论EF=BE+FD成立；（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF是BAD的 一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，延长BC到点E，延长CD到点 F，使得EAF仍然是BAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立， 请写出它们之间的数量关系，并证明.解：（1）结论EF= BE+FD成立. 延长EB到G，使BG=DF，连接AG. ABG=D=90, AB=AD， ABGADF. AG=AF且1=2 1+3=2+3=BAD GAE=EAF 又AE=AE， AEGAEF.EG=EF 即EF=BE+BG=BE+FD （2）结论EF=BE+FD不成立， 应当是EF=BE-FD 在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG B+ADC=180,ADF+ADC=180， B=ADF AB=AD， ABGADF.AG=AF 1=2， 1+3=2+3=BAD GAE=EAF AE=AE， AEGAEF.EG=EF 即EF=BE-BG=BE-FD 此题可有如下变式：2设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且，APEF于点P. (1)求证：AP=AB；(2)若AB=5，求的周长。解：（1）将绕点A按逆时针方向旋转，得 ， ，即F、D、G在一条直线上. AE=AG，AF=AF， . , 即AP=AB.（2），EF=FG. 的周长=CE+EF+CF=CE+FG+CF, DG=BE, 的周长=CE+EF+CF =BC+DC=52 =10.3如图，在四边形ABCD中，ADBC，点E是AB上一个动点，若B=60，AB=BC，且DEC=60,确定AD+AE与BC的关系解: 有BC=AD+AE.连结AC,过E作EFBC交AC于F点. 则可证 AEF为等边三角形.即 AE=EF及AEF=AFE=60.所以 CFE=120. 又 ADBC,B=60, 故 BAD=120. 又 DEC=60, 所以 AED=FEC. 在ADE与FCE中, EAD=CFE,AE=EF,AED=FEC,所以 ADEFCE. 所以 AD=FC. 则 BC=AD+AE.4如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，ABD=60，过D作EDAD，交AC于点E，恰有DE平分BDC试判断线段CD、BD 与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论 结论：AC=BD+CD证法一：延长BD至，使得D=DCDE平分BDC，1=2EDAD，ADC=90+1，3=90-2AD=180-3=90+2ADC=AD在ADC和AD中，ADCAD（SAS） AC=A AB=AC， AB= AABD=60，AB是等边三角形 A =B， AC =BD+CD证法二：延长CD至，使D=DBEDAD，2+3=90，1+4=90DE平分BDC，1=23=4在ADB和AD中， ADBAD（SAS） AB=A，ABD=60 AC = A AC是等边三角形 AC = C AC =BD+CD5我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：_（2）如图（1），在梯形ABCD中，ADBC，ACBD，垂足为O 求证：，即四边形ABCD是等平方和四边形（3）如果将图(1)中的AOD绕点O按逆时针方向旋转度（090）后得到图(2)，那么四边形 ABCD能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由图（1） 图（2）解：（1）菱形或正方形； （2）证：ACBD于点O,AOD=BOC=AOB=DOC=90 即四边形ABCD是等平方和四边形 （3）解：四边形 ABCD是等平方和四边形. 证：原梯形记为，依题意旋转后得四边形ABCD， 连接AC、BD交于点， BC， ， ， AOC=DOB=180- 又， AOCDOB. 1=2 又3=4， 由（2）的结论得： 即四边形ABCD是等平方和四边形二、位置关系的证明位置关系的证明以线段的平行、垂直为主，对于这类问题的解决方法，大家也要注意总结归纳。比如证明垂直的方法除了利用角度推导外，还可以考虑勾股定理的逆定理、等腰三角形三线合一、三角形中一边中线等于这边一半等方法；平行证明除了利用同位角、内错角、同旁内角的关系外，还可利用中位线定理、对应线段成比例得出平行等方法。6已知：如图，矩形ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，连结DE，若F是DE的中点试确定线段AF与CF的位置关系解：AFCF一连BF，易证ADFBCF（SAS）DFA=CFBBFA+CFB=BFA+DFA=90二连AC交BD于O，连OFOF为DBE的中位线OF=BE=BD=AC.7在ABC中，BM、CN分别是、的平分线，而于E，于F求证：EF/BC证明：延长AF交BC于D，延长AE交BC于G易证：CAFCFDAF=FD同理可证AE=EGEF为ADG的中位线 EF/BC.8请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生 变