素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0703.doc

数学通报 2007年第 46卷第 3期64 数学问题解答 2007年 2月号问题解答 R3 ,内切圆半径为 r1 ,r2 ,r3 .(解答由问题提供人给出 ) ABC 1656若奇数 n 3 ,a1 n-1 +a2 n-1 + + ann-1 +(n-在 ABC中 ,r = 4 Rsin 2 sin 2 sin 2 ,1)a1 a2 an = 1 ,求证 : 又 BAF = -A,22 n-1 n-1 n-1 n-1(a1 -1)( a2 -1) +(a2 -1)( a3 -1)+ BABF = -, n-1 n-1 22 +(an -1)( a1 -1) 0. (宁波市甬江职高综合高中部邵剑波 315000)F= A+B ,AB = 2 R3 sin F,2 证明r3 r3 左 =(a1 a2) n-1 +(a2 a3) n-1 + + ( ana1) n-1 -所以 O3 B= sin O3 BA = AB F n-1 n-1 n-1 22 (a1 + = (a1 a2) n-1 21 -(n= (a1 a2) n-1 (n 2 n-2 (2 n-2) + 2 (n-A2 Rsin C sin=(2 n-1)a1 a2 an 4 = A+B cos 0 ,4命题得证 . 过 O3作 BC的垂线交 O3于 P,垂足为 S,1657设 D, E, F是过 O2作 BC的垂线交 O2于 Q,垂足为 TABC的旁心 , BCD , CAE , AB F的内切圆则 O3 S=O3 B sin O3 BC = O3 B sin + 43 B -A + 3 B分别是 O1 , O2 , 2 Rsin C sinsin44 =,O3 .求证 : A+B cos (1)此三圆中每两所以 PS = O3 S-r43圆的另一条外公切线 (非 DEF的边 )与ABC2 Rsin C sin-4 A + 3B -B = sin-sin的三边对应平行 ; A+B 44 cos (2)(1)中所说的三14 -A条外公切线共点 . = 2 Rsin(A +B) sin A+B 4 cos (浙江省苍南县江南高级4 中学闵飞 325804) +B B2cossin 证明 (1)记 ABC4 A+B 2 A+B -A 的外接圆半径为 R,内切= 16 R sin 4cos 2 sin4 圆半径为 r,三个内角为 cos +B sin B A、B、C 42 BCD , CAE , AB F的外接圆半径为 R1 ,R2 ,= 16 R sin-4 C sin 2 C sin -4 A sin -4 B B sin 2 .同理 QT = 16 R sin -4 A sin -4 B -CB Csinsin sin 2 .42 所以 PS = QT,从而四边形 PSQT是矩形 .也即 PQ是 O2 , O3的外公切线且 PQ BC,另两条外公切线平行 ABC的相应边可同理得.证明 (2)记(1)中三组平行线间距离分别为 h1 ,h2 ,h3 .现设 O1 , O3的另一外公切线与 O1 , O2的另一外公切线交于 M,我们只须证 M落在 PQ上 ,即得三外公切线共点 .记 ha, hb, hc表示 ABC的三边上的高 ,h1 = ha -A2sin 4 = cos 2 -Asin4 = -B -C.2coscos 44 -Bsin同理 hh2 b= -A 4 -C, 2coscos 44 -Csinh34 =.hc -A -B2coscos 44 所以 ABC cos + cos + cos h1 h2 h3 222 + = ha hb hc -A -B -C4coscos cos 444 A+B A-B A+B 2cos cos + sin 44 2 = -A -B -C4coscos cos 444 A+B A-B A+B 2cos cos + sin 4 44 = -A -B -C4coscos cos 444 1659三个正数 a, b, c的和为 6 ,求 a(11 +b) + b(11 +c) +c(11 + a)的最小值. (江苏省宿迁市马陵中学李广修223800)解因为正数 a, b,c的和为 6 ,(a+ b+c) 2 所以 18 = a+b+c + 3 22 a +b2 +c+ 2 ab + 2 bc + 2 ac = a+b+c+ 3 a+b+c+ ab+bc+ ac(因为 a 2 +b2 +c2 ab+bc+ ac) = a(1 +b) +b(1 +c) +c (1 + a),111从而 ,18 a(1 +b) +b(1 +c) +c(1 + a) a (1 +b) +b(1 +c) +c (1 + a) 111 + +a) . a(1 + b) b(1 + c) c(1 + 3 3 a(1 + b) b(1 + c) c(1 + a) 33 = 91661设 A是非钝角 ABC的最小内角 ,求证 : a(1 + b) b(1 + c) c(1 + a) cosB+ cos C.当且仅当 ABC为等边所以 a(11 +b) +b(11 +c) + 1 1 三角形或等腰直角三角形时取等号. 2 (湖北省谷城县第三高级中学贺斌441700) a= b=c= 2时不等式取等号.故 1 c(1 + a)的最小值是 21 . 1660若 a1 ,a2 ,a3 ,a4 R+ ,a1 +a2 +a3 +a4 = S,3333 a1 a2 a3 a4 S2 求证 :S-a1 +S-a2 +S-a3 +S-a4 12 . (河北省南宫中学孙志坤055750)证明3 a 因为 S-1 a1 + 36 S(S-a1)+ 48 1 S2 3 3 a1 S 113 (S-a1) S2 =a1 S,S-a136 48 4 同理可得 3 aS 1 S22 + (S-a2)+S-a2 36 48 3 a2 S 11S23 (S-a2) =a2 S,S-a236 48 4 3 a3 S 1 S2+ (S-a3)+S-a3 36 48 3 3 a3 S 11 (S-a3) S2 =a3 S 3 S-a336 48 4 3 a4 S 1 + (S-a4)+ S2 S-a4 36 48 3 3 a4 S 11 (S-a4) =a1 S 3 S2 S-a436 48 4 以上四个式子两边相加得 3333 a1 a2 a3 a4 S( + + + )+(SS-a1 S-a2 S-a3 S-a4 36a1) +(S-a2) +(S-a3) +(S-a4) + 1 S2 12 S21 S( a1 +a2 +a3 +a4)= 4 . 4 因此有不等式 3333 a1 a2 a3 a4 S2 S-a1 S-a2 S-a3 S- 12成立.+ 2007年 3月号问题 1662求函数 y= sin x+ cos x+ tan x+ cot x+ sec x + csc x的值域. (四川蓬安中学蒋明斌637851) 1663已知 a 0 ,b 0 ,0 2 ,求证 : ab 2 + . a+ b a+b + 1 (江西南昌大学附中宋庆330029) 1664若 f ( x)是定义在 R上的函数 ,对任意实数 x,都有 f(x + 3) f(x) + 3 , f(x + 2) f(x) + 2 ,2004 且 f(1)= 1 ,求 1 的整数部i= 2 f(i -1) f( i)分. (湖北襄樊市一中王必廷441000) 1665设 a, b, c为ABC