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文档简介

第二节数列的极限 一 数列极限的定义二 收敛数列的性质三 收敛准则 引例 设有半径为R的圆 用其内接正n边形的面积An逼近圆面积S 刘徽割圆术 公元三世纪 概念的引入 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 正六边形的面积 正十二边形的面积 正形的面积 2 截丈问题 一尺之棰 日截其半 万世不竭 一 数列极限的定义 例如 注意 1 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 2 数列是整标函数 随着n趋于无穷 数列的通项有以下两种变化趋势 可以看到 通项无限趋近于一个确定的常数 2 通项不趋近于任何确定的常数 问题 当无限增大时 是否无限接近于某一确定的数值 如果是 如何确定 问题 无限接近 意味着什么 如何用数学语言刻划它 通过上面演示实验的观察 定义 如果对于任意给定的正数 e 不论它多么 小 总存在正数 N 使得对于 时的一切 不等式 都成立 那末就称常数 a 是数列 的极限 或者称数列 收敛于 a 记为 或 如果数列没有极限 就说数列是发散的 注意 几何解释 其中 数列极限的定义未给出求极限的方法 例1 证 所以 注意 例2 证 所以 说明 常数列的极限等于同一常数 小结 用定义证数列极限存在时 关键是任意给定寻找N 但不必要求最小的N 例3 证 例4 证 例4 1 证 注意到 为了使 于是 a 因此 则当n N时 有 只要使 二 收敛数列的性质 1 有界性 例如 有界 无界 收敛数列的有界性 如果数列 收敛 那么数列 一定有界 问题对于无限多项 如何求M 定理1收敛的数列必定有界 证 由定义 注意 有界性是数列收敛的必要条件 推论无界数列必定发散 关系 收敛有界 注 极限的唯一性 2 唯一性 定理2每个收敛的数列只有一个极限 证 由定义 故收敛数列极限唯一 例5 证 由定义 区间长度为1 不可能同时位于长度为1的区间内 3 保号性 定理3若 a a 0 或a 0 则N 0 当n N时 0 或 0 证由极限定义 对 当时 即 故当时 类似可证的情形 3 子数列的收敛性 注意 例如 定理4收敛数列的任一子数列也收敛 且极限相同 证 证毕 定义5数列 xn 的项若满足x1 x2 xn xn 1 则称数列 xn 为单调增加数列 若满足x1 x2 xn xn 1 则称数列 xn 为单调减少数列 当上述不等式中等号都不成立时 则分别称 xn 是严格单调增加和严格单调减少数列 收敛准则单调增加且有上界的数列必有极限 单调减少有下界的数列必有极限 三 收敛准则 五 小结 数列
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