概率论与数理统计习题(答案)大合集.doc

概率与统计试卷（1）1、(9分) 从0，1，2，3，4，5这六个数中任取三个数进行排列，问取得的三个数字能排成三位数且是偶数的概率有多大.2、（9分）用三个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5、0.3、0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别为0.94、0.90、0.95，求全部产品的合格率. 3、 （11分）某机械零件的指标值在90，110内服从均匀分布，试求：（1）的分布密度、分布函数；（2）取值于区间（92.5，107.5）内的概率.4、（9分）某射手每次射击打中目标的概率都是0.8，现连续向一目标射击，直到第一次击中为止.求“射击次数” 的期望. 5、（17分）对于下列三组参数，写出二维正态随机向量的联合分布密度与边缘分布密度.（1）30110.5（2）110.50.50.5（3）1210.506、（15分）求下列各题中有关分布的临界值.1），；2），；3），.7、（11分）某水域由于工业排水而受污染，现对捕获的10条鱼样检测，得蛋白质中含汞浓度（%）为0.2130.2280.1670.7660.0540.0370.2660.1350.0950.101，若生活在这个区域的鱼的蛋白质中含汞浓度N（，），试求E，D的无偏估计.8、（12分）某种导线的电阻服从正态分布N(，)，要求电阻的标准差不得超过0.004欧姆. 今从新生产的一批导线中抽取10根，测其电阻，得s*0.006欧姆. 对于0.05，能否认为这批导线电阻的标准差显著偏大？9、 （7分）某校电器（3）班学生期末考试的数学成绩x（分）近似服从正态分布N（75，10），求数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的百分之几？ 概率与统计试卷（2）1、(9分)已知某城市中有50%的用户订日报，65%的用户订晚报，85%用户至少这两种报中的一种，问同时订两种报的用户占百分之几. 2、（9分）从4台甲型、5台乙型电脑中，任取3台，求其中至少要有甲型与乙型电脑各一台的概率。3、（10分）在10件产品中有3件次品，从中任取2件，用随机变量表示取到的次品数，试写出的分布列.4、（11分）盒中有五个球，其中有三白二黑，从中随机抽取两个球，求“抽得的白球数” 的期望.5、（12分）设随机变量的分布密度为=且32，求E与D.6、 （12分）一机器制造直径为的圆轴，另一机器制造内径为的轴衬，设的联合分布密度为=，若轴衬的内径与轴的直径之差大于0.004且小于0.36，则两者可以相适衬，求任一轴与任一轴衬适衬的概率.7、（13分） 设，是总体的样本，试求：E、D、E.1） N(,) ；2） b(1,p).8、 （12分）对于总体有E，D，(，)是的样本，讨论下列统计量的无偏性与有效性.，.9、 （12分）打包机装糖入包，每包标准重为100斤，每天开工后，要检验所装糖包的总体期望值是否合乎标准(100斤). 某日开工后，测得九包糖重如下(单位：斤)： 99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5 如果打包机装糖的包重服从正态分布，问该天打包机工作是否正常（0.05）？ 概率与统计试卷（3）1、 （8分）在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率. 2、（9分）已知的展开式中第三项的二项式系数是66，求展开式中含的项的系数。3、（9分） 在一个繁忙的交通路口，单独一辆汽车发生意外事故的概率是很小的，设p0.0001. 如果某段时间内有1000辆汽车通过这个路口，问这段时间内，该路口至少发生1起意外事故的概率是多少？ 4、（10分）设随机变量的分布密度为=求E.5、（12分）设随机变量的分布密度为=，求E，D，E（），D（）.6、（8分）射击比赛，每人射四次（每次一发），约定全部不中得0分，只中一弹得15分，中二弹得30分，中三弹得55分，中四弹得100分.甲每次射击命中率为 0.1，0.2，0.2，0.3，0.2，问他期望能得多少分？7、（12分）随机向量的联合分布密度为=，求：1）系数A；2）的边缘分布密度.8、（12分） 设总体的分布密度为()，0为参数，是总体中的一个样本，试求：E、D、E、E.9、（10分）设总体的分布密度为，0为待估参数，现从中抽取10观察值，具体数据如下1050110010801200130012501340106011501150，求的最大似然估计值.10、（10分） 已知某一试验，其温度服从正态分布N(，)，现在测量了温度的5个值为：1250 1265 1245 1260 1275问是否可以认为1277（0.05）？ 概率与统计试卷（4）1、（10分）设集合，从中任取3个互异的数排成一个数列，求该数列为等比数列的概率2、（10分）从9，7，0，1，2，5这6个数中，任取3个不同的数，分别作为函数中的的值，求其中所得的函数恰为偶函数的概率。3、（10分）设随机变量的分布列为，试求：（1）常数a；（2）P（）；（3）P（1）. 4、（10分）射击比赛，每人射四次（每次一发），约定全部不中得0分，只中一弹得15分，中二弹得30分，中三弹得55分，中四弹得100分.甲每次射击命中率为，问他期望能得多少分？5、（12分）设随机变量的分布密度为=且E，求常数，并D.6、（14分）随机向量在矩形区域内服从均匀分布，求的联合分布密度与边缘分布密度，又问随机变量是否独立？7、（12分）已知某样本值为：2.06，2.44，5.91，8.15，8.75，12.50，13.42，15.78，17.23，18.22，22.72. 试求样本平均值、样本方差、样本修正方差.8、（11分）设总体服从两点分布，分布列为P(x)，x0,1，01为待估参数，为的一观察值，求的最大似然估计值.9、（11分）已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.40，0.052 )，现在测定了5炉铁水，其含碳量为4.34 4.404.424.304.35如果估计方差没有变化，可否认为现在生产之铁水平均含碳量为4.40（0.05）？ 概率与统计试卷（5）1、（11分）在射击中，最多的环数为10环，一射手命中10环的概率等于0.2，命中9环的概率等于0.25，命中8环的概率等于0.15，求该射手打三发得到不少于28环的概率2、（9分）袋中有a只白球、b只红球，依次将球一只只摸出，不放回，求第k次摸到白球的概率（）。3、（10分）设随机变量的分布列为P（k）= (k=1,2,3)，试求P（2）；P（3）；P（1.55）；P（）.4、（12分）设随机变量的分布密度为=求E，E（23），E2，E（22+3）5、（12分）离散型随机向量有如下的概率分布求的边缘分布，并考察与相互独立性.6、（10分）如图，开关电路中，开关开或关的概率为，且是相互独立的，求灯亮的概率7、（12分）设服从N（1，0.6），求P（0），P（）. 3. 设总体的分布密度为()，0x1，1为参数，试求样本(，)的联合分布密度. 8、（12分） 已知一批元件的长度测量误差服从N（，），为未知参数，现从总体中抽出200个样本值，经分组后整理成下表数据1020304050607080频数51832514630144200求，的估计值.9、（12分）进行5次试验，测得锰的熔化点（）如下： 1269 1271 1256 1265 1254已知锰的熔化点服从正态分布，是否可以认为锰的熔化点显著高于 1250？（0.01）概率与统计试卷（1）1、P（A）0.4333.2、 P（B）0.93.3、（1）；（2）0.75.4、E1.25.5、1）=，=，=.2）=，=，=.3）=，=，=.6、1）12.592，21.666；2）2.6810，1.8595；3）4.24，0.3003.7、 0.2062，s*20.0444.8、显著偏大.9、16%。概率与统计试卷（2）1、 P（AB）30%.2、3、4、 5、 E，D.6、 .7、 1）E,D，E.2）E，D，E.8、，为无偏估计量，比有效.9、正常.概率与统计试卷（3）1、2、-2203、9.05%.4、 E0.5、 E，D，E（）0，D（）.6、45.57、1）系数A；2）=，=.8、 E0、D、E、E.9、因，而1168，所以0.000856.10、不可以认为1277.概率与统计试卷（4）1、2、。3、（1）；（2）；（3）.4、 E.5、 ，D，.6、 =，=，=, 与不独立.7、11.56、40.73、44.81.8、.9、u-1.699-u0.05，可以认为现在生产之铁水平均含碳量降低了.概率与统计试卷（5）1、0.09362、3、；1；.4、 E，E（23）0，E2，E（22+3）.5、 与不独立.6、 7、.8、 因44.5，所以44.5，s2236.10或s*2237.28.9、 t3.80t0.01，可以认为锰的熔化点显著高于 1250.试卷一一、填空（每小题2分，共10分）设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为_。. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示_。已知互斥的两个事件满足，则_。设为两个随机事件，则_。设是三个随机事件，、，则至少发生一个的概率为_。二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（ ）。(A) 取到2只红球 (B) 取到1只白球 (C) 没有取到白球 (D) 至少取到1只红球2对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（ ）。(A) 随机事件(B) 必然事件(C) 不可能事件(D) 样本空间3. 设A、B为随机事件，则（ ）。(A) A (B) B (C) AB (D) 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）。(A) 与互斥(B) 与不互斥(C) (D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）。(A) (B) (C) (D) 6. 设相互独立，则（ ）。(A) (B) (C) (D) 00/35)=(x/35)-(-x/35)=0.9JI7.设是三个随机事件，且有，则（ ）。 (A) 0.1(B) 0.6(C) 0.8(D) 00/35)=(x/35)-(-x/35)=0.9JI0.78. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（ ）。(A) p2(1 p)3 (B) 4 p (1 p)3 (C) 5 p 2(1 p)3 (D) 4 p 2(1 p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）。(A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（ ）。(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) P (C) 1(C) P (A) + P (B) P (C) 1 (D) P (A) + P (B) P (C)三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1. 袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。求取到的两个球颜色不同的概率。2. 10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。求能打开门的概率。3. 一间宿舍住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。4. 50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个，求至少取到一个次品的概率。5. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关。求该种零件的次品率。6. 已知某品的合格率为0.95，而合格品中的一级品率为0.65。求该产品的一级品率。7. 一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率。8. 某厂的产品，按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9。现从该厂的产品中有放回地取5件来检验，求其中最多有一件次品的概率。四、证明题（共6分）设， 。证明 试卷一 参考答案一、填空1. 或 2. 出现的点数恰为53. 与互斥 则 4. 0.6故 5. 至少发生一个，即为又由 得 故 二、单项选择12. A3. A 利用集合的运算性质可得.4与互斥故 5故 6相互独立7. 且 则 8. 9. B10. B 故 P (A) + P (B) P (C) 1 三、计算与应用题1. 解：设 表示“取到的两球颜色不同”，则而样本点总数故 2. 解：设 表示“能把门锁打开”，则，而故 3. 解：设 表示“有4个人的生日在同一月份”，则而样本点总数为故 4. 解：设 表示“至少取到一个次品”，因其较复杂，考虑逆事件=“没有取到次品”则 包含的样本点数为。而样本点总数为故 5. 解：设 “任取一个零件为次品”由题意要求，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格，则 于是 6. 解：设 表示“产品是一极品”，表示“产品是合格品”显然，则于是 即 该产品的一级品率为7. 解：设 “箱中有件次品”，由题设，有，又设 “该箱产品通过验收”，由全概率公式，有于是 8. 解：依题意，该厂产品的合格率为，于是，次品率为 设 表示“有放回取5件，最多取到一件次品”则 四、证明题证明 ， ，由概率的性质知 则又 且 故 试卷二一、填空（每小题2分，共10分）1. 若随机变量 的概率分布为 ，则_。2. 设随机变量 ，且 ，则_。3. 设随机变量 ,则 _。4. 设随机变量 ，则 _。5. 若随机变量的概率分布为则 _。二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)1. 设 与 分别是两个随机变量的分布函数，为使 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。(A) (B) (C) (D) 2. 设随机变量的概率密度为，则（ ）。(A) (B) (C) (D) 3.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 5. 设随机变量的概率密度为，则的概率密度为（ ）。(A) (B) (C) (D) 6. 设服从二项分布，则（ ）。(A) (B) (C) (D) 7. 设，则（ ）。(A) (B) (C) (D) 8设随机变量的分布密度为 , 则（ ）。(A) 2(B) 1(C) 1/2(D) 49对随机变量来说，如果，则可断定不服从（ ）。(A) 二项分布(B) 指数分布(C) 正态分布(D) 泊松分布10设为服从正态分布的随机变量，则 ( )。(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) -3 三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。求抽取次数的概率分布。2. 车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？3. 某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为求（1）常数；（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。4. 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且。求（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；（2），使电池寿命在内的概率不小于0.9。5. 设随机变量。求 概率密度。6. 若随机变量服从泊松分布，即，且知。求 。7. 设随机变量的概率密度为。求 和。8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。求（1）的概率分布；（2）。四、证明题（共6分）设随机变量服从参数为2的指数分布。证明：在区间上，服从均匀分布。试卷二参考答案一、填空1. 6由概率分布的性质有 即 ，得 。2. ，则3. 0.54. 5. 0.25由题设，可设即010.50.5则 二、单项选择1. ()由分布函数的性质，知 则 ，经验证只有满足，选2. ()由概率密度的性质，有 3. ()由概率密度的性质，有4. ()由密度函数的性质，有 5. ()是单减函数，其反函数为 ，求导数得 由公式，的密度为 6. ()由已知服从二项分布，则又由方差的性质知,7. ()于是 8. (A) 由正态分布密度的定义,有 9. (D) 如果时,只能选择泊松分布.10. (D) X为服从正态分布N (-1, 2), EX = -1 E(2X - 1) = -3三、计算与应用题1. 解：设为抽取的次数 只有个旧球,所以的可能取值为：由古典概型，有则12342. 解：设 表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，于是（1）的最可能值为 ，即概率达到最大的（2）3. 解：（1）由 可得 （2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用表示“线路正常工作”，则而 故 4. 解： （1）（查正态分布表）（2）由题意 即 查表得 。5. 解:对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，又由题设知 故由公式知： 6. 解:，则而由题设知 即 可得 故 查泊松分布表得，7. 解:由数学期望的定义知,而 故 8. 解:（1）的可能取值为且由题意,可得即0123（2）由离散型随机变量函数的数学期望，有四、证明题证明：由已知 则又由 得 连续，单调，存在反函数 且 当时， 则 故 即 试卷三一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分）1. 设二维随机变量的联合分布律为，则 _，_.2. 设随机变量和相互独立，其概率分布分别为，则 _.3. 若随机变量与相互独立，且，则 服从_分布.4. 已知与相互独立同分布，且则 _.5. 设随机变量的数学期望为、方差，则由切比雪夫不等式有_.二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)1. 若二维随机变量的联合概率密度为 ，则系数（ ）.(A) (B) (C) (D) 2. 设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则下列结论正确的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 3. 设随机向量(X , Y)的联合分布密度为, 则（ ）.(A) (X , Y) 服从指数分布(B) X与Y不独立 (C) X与Y相互独立(D) cov(X , Y) 04. 设随机变量相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（ ）.(A) (B) (C) (D) 5. 设随机变量与随机变量相互独立且同分布, 且, 则下列各式中成立的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 6设随机变量的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 7. 若随机变量是的线性函数，且随机变量存在数学期望与方差，则与的相关系数（ ）.(A) (B) (C) (D) 8. 设是二维随机变量，则随机变量与不相关的充要条件是（ ）.(A) (B) (C) (D) 9. 设是个相互独立同分布的随机变量，则对于，有（ ）.(A) (B) (C) (D) 10. 设,为独立同分布随机变量序列，且Xi ( i = 1,2,)服从参数为的指数分布，正态分布N ( 0, 1 ) 的密度函数为, 则（ ）. 三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1. 将2个球随机地放入3个盒子，设表示第一个盒子内放入的球数，表示有球的盒子个数.求二维随机变量的联合概率分布.2. 设二维随机变量的联合概率密度为（1）确定的值；（2）求 .3. 设的联合密度为（1）求边缘密度和；（2）判断与是否相互独立.4. 设的联合密度为求的概率密度.5. 设，且与相互独立.求（1）的联合概率密度；（2）；（3）.6. 设的联合概率密度为求及.7. 对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5.求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.8. 抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受.问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.四、证明题（共6分）设随机变量的数学期望存在，证明随机变量与任一常数的协方差是零.试卷三参考解答一、填空1. 由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得 2. 3. 相互独立的正态变量之和仍服从正态分布且，4. 5. 二、单项选择1. (B)由 即 选择(B).2. (B)由题设可知，故将标准化得 选择(B).3. (C)选择(C).4. (C)随机变量相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布, 则选择(C).5. (A)选择(A).6. (A) 由期望的性质知选择(A).7. (D)选择(D).8. (B)与不相关的充要条件是即 则 选择(B).9. (C) 选择(C).10. (A)Xi ( i = 1,2,)服从参数为的指数分布，则故 选择(A).三、计算与应用题1. 解显然的可能取值为；的可能取值为注意到将个球随机的放入个盒子共有种放法,则有即 的联合分布律为2. 解（1）由概率密度的性质有可得 （2）设，则3. 解（1） 即 即 ，（2）当时故随机变量与不相互独立.4. 解先求的分布函数显然，随机变量的取值不会为负，因此当 时，当 时，故 的概率密度为5. 解（1） 与相互独立 的联合密度为（2）（3）6. 解于是 由对称性 故 .7. 解设 表示第次炮击命中目标的炮弹数，由题设，有 ，则次炮击命中目标的炮弹数 ，因 相互独立，同分布，则由中心极限定理知近似服从正态分布于是 8. 解设应检查个产品，其中次品数为，则由题设，这里，可以认为较大，则由棣莫弗拉普拉斯定理知，近似服从正态分布依题意，有 即 亦即 查表得 故至少应检查个产品，才能达到题设要求.四、证明题证由协方差的定义及数学期望的性质，得概率论与数理统计B一单项选择题（每小题3分，共15分）1设事件A和B的概率为 则可能为（）(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/62. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（）(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对3投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ）(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对4某一随机变量的分布函数为，(a=0,b=1)则F(0)的值为（ ）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对5一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ）(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对二填空题（每小题3分，共15分）1设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则= .2设随机变量，则n=_.3随机变量的期望为，标准差为，则=_.4甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_.5设连续型随机变量的概率分布密度为，a为常数，则P(0)=_.三(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率(1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.四(本题10分) 设随机变量的分布密度为(1) 求常数A; (2) 求P(1)； (3) 求的数学期望.五(本题10分) 设二维随机变量(,)的联合分布是1=24500.050.120.150.0710.030.100.080.1120.070.010.110.10(1) 与是否相互独立? (2) 求的分布及；六(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90，其他9盒为20.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？七(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.八(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5，某人要采购一批零件