2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.(1)已知复数满足，则(A)1 (B) (C) (D)2(2)(A) (B) (C) (D)(3)设命题：，则为(A)， (B)， (C)， (D)，(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312(5)已知是双曲线：上的一点，是的两个焦点.若，则的取值范围是(A) (B) (C) (D)(6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛(7)设为所在平面内一点，则(A) (B)(C) (D)(8)函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为(A)(B)(C)(D) (9)执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的(A)5 (B)6 (C)7 (D)8(10)的展开式中，的系数为(A)10 (B)20 (C)30 (D)60(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为，则(A)1 (B)2 (C)4 (D)8(12)设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是(A) (B) (C) (D)二.填空题：本大题共4小题，每小题5分(13)若函数为偶函数，则_.(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_.(15)若，满足约束条件则的最大值为_.(16)在平行四边形中，则的取值范围是_.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)为数列的前项和.已知，.(I)求的通项公式； (II)设，求数列的前项和.(18) (本小题满分12分)如图，四边形为菱形，是平面同一侧的两点，平面，平面，.(I)证明：平面平面；(II)求直线与直线所成角的余弦值. (19)(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：t)和年利润(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费和年销售量(=1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.46.65636.8289.81.61469108.8表中，.(I)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(II)根据(I)的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；(III)已知这种产品的年利率与，的关系为.根据(II)的结果回答下列问题：(i)年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii)年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.(20)(本小题满分12分) 在直角坐标系中，曲线：与直线：交于，两点.(I)当时，分别求在点和处的切线方程；(II)轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.(21)(本小题满分12分) 已知函数，. (I)当为何值时，轴为曲线的切线；(II)用表示，中的最小值，设函数，讨论零点的个数.(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求，的极坐标方程；(II)若直线的极坐标为，设与的交点为，求的面积.(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数，.(I)当时，求不等式的解集；(II)若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：（1）A 分析：由得，故，故选A.（2）D 分析：原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=，故选D.（3）C 分析：:，故选C.（4）A 分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选A.（5）A分析：由题知，所以 ，解得，故选A.（6）B分析：设圆锥底面半径为r，则，所以米堆的体积为，故堆放的米约为，故选B.（7）A分析：由题知=，故选A.(8) D 分析：由五点作图知，解得，所以，令，解得，故单调减区间为（，），故选D.（9）C 分析：执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，执行第2次，S=S-m=0.25,=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，执行第3次，S=S-m=0.125,=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，执行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第5次，S=S-m=0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，执行第6次，S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循环，执行第7次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出n=7，故选C.（10）C分析：在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.（11）B试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，其表面积为，解得，故选B12. D试题分析：设=，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，0，当时，0，所以当时，=，当时，=-1，直线恒过（1, 0）斜率且，故，且，解得1，故选D.二、填空题：本大题共4题，每小题5分（13）【答案】1分析：由题知是奇函数，所以，解得.（14）【答案】 分析：设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.（15）【答案】3 分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.（16）【答案】（，）分析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在BCE中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在BCF中，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）解：（）当时，因为，所以=3，当时，=，即，因为，所以=2，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；（）由（）知，=，所以数列前n项和为= =.（18）解：（1）连接BD，设，连接EG、FG、EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由，可得AG=GC=，xyzG由平面ABCD，可知，又 ， ，在中，可得 ，故，在中，可得 ，在直角梯形BDFE中，由，可得.，EGFG，ACFG=G，EG平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC. 6分（）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（）可得A（0，0），E(1,0, )，F（1,0，），C（0，0），=（1，），=（-1，-，）.10分故. 所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. 12分（19）解：（）由散点图可以判断，适合作为销售关于年宣传费用的回归方程类型. 2分()令，先建立关于的线性回归方程，由于， ，关于的线性回归方程为，关于的回归方程为.6分（）（i）由()知，当时，年销售量的预报值 ，. 9分（）根据()的结果知，年利润z的预报值 , 当，即时，取得最大值，故宣传费用为千元时，年利润的预报值最大. 12分（20）解：（）由题设可得，或，.，故在=处的导数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为，即. 故所求切线方程为或. 5分（）存在符合题意的点，证明如下： 设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为. 将代入C得方程整理得. . =. 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故OPM=OPN，所以符合题意. 12分（21）解：（）设曲线与轴相切于点，则，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线. 5分（）当时，从而， 在（1，+）无零点. 当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.当时，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.()若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点. ()若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取得最小 值，最小值为=. 若0，即0，在（0,1）无零点. 若=0，即，则在（0,1）有唯一零点； 若0，即，由于，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.