3.4.1函数与方程

“函数的零点”课堂实录2018年10月18日，江苏省中小学教学教研室在泰州中学组织了“江苏省高中数学新课标培训”活动，笔者有幸在培训活动中执教苏教版数学1（必修）“函数的零点”，在课堂上笔者抓住一切教学契机渗透对数学核心素养的培养，现将课堂实录与大家分享1 教学目标及重难点1.1 教学目标：1了解函数的零点的概念，理解零点存在性定理的形成过程，掌握使用零点存在性定理证明函数在给定区间上有零点2由二次函数的图象与对应一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，用探究的方法发现函数零点存在的条件；渗透数形结合、转化与化归的的数学思想了解由特殊到一般，再由一般结论研究具体问题的学习方法3在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣培养学生的辨证思维能力，以及分析问题解决问题的能力1.2 教学重点应用方程的根、函数零点、函数图像与轴交点横坐标三者间的紧密联系解题，零点存在性定理的探究及使用1.3 教学难点零点存在性定理的发现和形成过程2 课堂实录2.1 引入课题，探索思路教师：同学们，咱们从初中到现在上高中都学过方程吧，咱们先来思考一个关于方程的问题问题1（1）方程有根吗？（2）方程有根吗？(PPT展示)学生1：第一个方程有根，第二个跟可能有吧，但我不确定教师:看来第二方程不易判断，这个方程不同于上个方程，上个方程可以用判别式“”判断也可以求出根判断，这个方程咱们不会求根事实上，19世纪法国数学家伽罗瓦证明过五次及以上的一元方程不存在一般的代数解法这道题如果不求根，你还有其他的想法判断方程根的情况吗？学生2：能不能画图象看看？教师：可这个方程对应的函数比较复杂，怎么办？学生提出了用描点作图法作图象观察，也有同学提出从简单的函数入手作出函数图象探究函数图象与方程根的联系教师：这两种方案都不错，比较一下还是后一种方案：先通过简单问题的探究寻找出用函数判断方程根的情况的一般方法，再用解决问题的一般方法应用于复杂问题的求解更利于解决这一类问题设计意图：通过问题1（2）这一认知冲突的创设，激发学生的研究兴趣，引出本节课的研究方向：在方程不易求根的情况下，可以尝试用函数的图象判断方程根的情况并同学生一起探讨给出本节课探究思路：由特殊到一般渗透对逻辑推理素养的培养2.2 联系数形，引入概念教师：就让我们从熟悉的一元二次函数开始探究问题2 作出函数的图象，观察函数图象与方程的根有没有联系？学生3：方程的根就是函数图象与轴交点的横坐标教师：这道题老师要求大家观察图象来解决，毕竟观察图象有时不准确，你能解释一下为什么方程的根就是函数图象与轴交点的横坐标?设计意图：引导同学解释为什么方程的根就是对应函数图象交点的横坐标，提出这个问题的目的是让学生体会到函数的零点是联系函数与方程、数与形的桥梁个人认为零点的概念很简单，重点应该是让学生体会为什么要引入函数的零点的概念，如何用函数的零点实现方程的根和函数图象交点横坐标的推理及转化过程，以后学生还会遇到不同的方程比如等号两边都有函数的方程，怎么把方程同函数图象联系起来？也还会用到这样的推理过程这里正是渗透逻辑推理素养和培养化归转化思想的好时机学生4: 方程的根就是函数的，也就是函数图象与轴交点的横坐标方程的根（“数”的角度）函数的值为0的实数函数图象与轴交点的横坐标（“形”的角度） (PPT展示) 教师：函数值为0的实数从数上看是对应方程的根，从形上看是图象与轴交点的横坐标，它联系了函数与方程，因此十分关键，咱们给它起个名字叫函数的零点这就是我们这节课的内容(板书课题和零点的定义)请问函数的零点是点吗？学生5：函数的零点不是点，它是数值教师：零点不是点，为了避免混淆，我们可以把零点理解成零点值有了对零点的初步认识，请大家完成下面这个表格以加深对零点的理解试一试： 根据上面研究函数与方程的方法，试着研究当时，二次函数的零点、二次函数的图象与二次方程的实数根之间的关系方程的根方程无实数根的零点的图象教师：根据大家的练习，你来说说看函数的零点除了是函数值为0的实数，它还可以理解为？学生6：函数的零点也是方程的根，同时也是图象与轴交点的横坐标教师：零点、根、交点的横坐标三者紧密联系，下面请让我们应用它们的联系解决问题2.3 操作感悟，加深理解例1 判断函数在区间上是否存在零点学生7：令得因为，因此，函数在区间上存在零点教师：这位同学回答得很好！他把函数的零点问题转化求方程的根解决，我们知道函数的零点除了是相应方程的根，也是函数图象与轴交点的横坐标你还有什么方法解决这道题?学生8：作出函数的图象，算一下，从图象看出函数图象与轴有交点，所以函数在上存在零点教师：这位同学通过判断函数值的正负和观察图象得出函数有零点如果不看函数图象你能说明函数在上存在零点吗？大家先独自思考再可以交流一下想法，等会请同学说一下交流的结果(学生思考交流)设计意图：例1学生更容易想到用方程解题，但设计这道题的意图除了想体现方程的根与函数零点的联系，更是想引导同学关注利用函数图象解决零点问题，这样提供一个不用求根从而探究根的情况的方法，为引出零点存在性定理作直观想象的铺垫要求同学不作图象说明函数在上存在零点，是引导学生舍弃具体的函数图象，而是用趋势性的图象或函数的性质解题，从而使学生的思维由直观想象上升到部分抽象，为下面探究零点存在性定理打下思维基础 因此应让同学充分思考，让同学体会到不用求根、不作函数图象只需要，和图像不间断就可以解决问题学生9：如果不看函数图象，可以利用函数的单调性说明，函数在区间上单调递增，在区间上函数值的范围为包含0，所以函数在区间上存在零点学生10：因为，函数经过点轴下方的点和轴上方的点，又函数图象是连续的，所以在上经过轴上一点，函数在区间上存在零点教师：这两位同学回答得都很好请让我们选择一个同学的叙述方式写出完整的解题过程解：因为，而二次函数在区间上的图象是不间断的，这表明此函数图象在区间上一定穿过轴，即函数在区间上存在零点（板书出来）2.4 抽象推广， 形成方法同学们，我们知道有的方程无法求根，比如前面我们给出的方程，而后面这个解题方法不用求根，只要借助于函数值的正负就可以判断函数零点的情况，值得我们探究我们能不能把这个解法一般化呢？问题3 若函数为二次函数，则它满足下列哪个条件时，函数在上有零点？ （1） （2）（3）（4）学生思考给出答案（1）（2），并到前黑板正确的条件给出解释说明，错误的条件举出了反例教师：对于二次函数我们找出了判断函数在区间上有零点的一个条件如果把二次函数变成任意函数呢？问题4 函数满足什么条件时，函数在区间上有零点?设计意图：引导在体会学生例1用函数研究零点问题的基础上，把例1中的具体函数变为一般的二次函数，再把一般的二次函数变为任意函数探究零点存在性定理，引导学生利用直观想象再通过抽象概括用数学语言特别是符号语言表达函数在区间内有零点图象特点，进而形成零点存在性定理渗透对直观想象和数学抽象素养的培养，并渗透由特殊到一般的探究问题思路学生11：函数满足且函数图象不间断时，函数在区间上有零点教师：通过上一个问题我们知道函数需要满足，函数图象不间断这个条件不加行不行？加这个条件是不是一定行？学生12：（黑板上展示说明）如果是反比例函数取，虽然但函数在区间上没有零点，所以需要函数图象不间断这个条件加上函数图象不间断这个条件函数图象经过轴上方和下方的两个点，则函数图象在之间的部分必定穿过轴，函数在区间上有零点教师：这样就得到了一个判断函数在区间上有零点的一个条件板书零点存在性判定定理：一般地，若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，且，则在区间上有零点同学们对这个定理还有没有疑惑的地方？学生13:定理里有两个区间为什么前一个区间是闭的而后一个区间是开的？教师：这个问题提的好！请同学思考如何解释？学生14：前面的区间取闭区间是为了是函数在处有定义方便书写，又因为所以且，写函数在开区间上有零点更准确教师：解释得很好另外这个定理加上闭区间只是为了对函数图象不间断这个条件的要求更低同时需要指出的是这个定理判断函数在区间上有零点条件的其中之一，当然我们还有其他判定函数在区间上有零点的条件 还有什么问题吗？学生15：可加了闭区间后，学生12提出的反比例函数的那个反例并不满足函数在区间上有定义？教师：同学提出这个问题，说明他思维严谨大家能不能找出适合的反例即函数在区间上有定义且满足，函数在区间上无零点？同学经过思考作出一个定义在上的分段函数作为反例说明教师：有了对零点存在性判定定理的理解，下面让我们对一些命题的辨析来加深对定理的理解 辨析：判断下列说法是否正确：1若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线且，则函数在区间上无零点（ ）2若是二次函数的零点，且，那么一定成立（ ）3若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线且，则在区间上有一个零点（ ）（同学对3个题思考辨析）设计意图：这类问题让学生体会不合理的迁移定理的条件会得到错误的结论，这有助于学生清晰理解定理的条件与结论，同时这类问题的解决需要学生调动头脑中抽象的函数图象，有利于培养学生的创新思维促进学生数学抽象素养的形成另外对问题3追问：如果条件不变，函数在区间内是否存在2个零点？主要是提醒学生别忘了函数与轴相切时的不变号零点情况，为学生以后研究不等式打下基础另外问题3把条件中的“函数”换成“二次函数”问学生是否成立这主要是提醒学生有些结论对熟悉的能直观想象到的二次函数成立但对抽象的函数不成立，要学会辩证的处理直观想象和数学抽象2.5 应用实践，练习巩固教师：请让我们用探究出零点存在性定理判断函数的零点情况例2 求证：函数在区间上有零点变式 求证：在区间上有唯一根设计意图：设计变式题的目的是呼应导入阶段遗留的问题，同时变式题的求解还可以用到函数的单调性，让学生体会到借助零点存在性定理探究方程的根情况，只是用函数探究方程的一个起点，以后还会有更多的问