高二理科数学期末专题复习――随机变量及其分布(答案).doc

高二理科数学期末专题复习随机变量及其分布考点一:离散型随机变量及其分布列- 8 -题型1:离散型随机变量分布列的计算例1旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.求选择甲线路旅游团数的分布列.解析： 设选择甲线路旅游团数为，则=0，1，2，3 P（=0）=， P（=1）=， P（=2）= ， P（=3）= 的分布列为：0123P 【名师指引】 求离散型随机变量分布列时，应明确随机变量可能取哪些值，然后计算其相应的概率填入相应的表中即可。【练习】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格某同学只能背诵其中的6篇，试求：（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；（2）他能及格的概率题型2: 离散型随机变量分布列的性质的应用 例2某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（）A.0.2；B.0.2；C.0.1；D.0.1解析：由，又，可得 答案：B101P12q201230.10.1【练习】设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求的值解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以解得。考点二: 二项分布与超几何分布题型1:条件概率例1一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可从中任选一个某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字求：（1）任意按最后一位数字，不超过次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率解析：设事件表示第次按对密码事件表示恰好按两次按对密码，则设事件表示最后一位按偶数，事件表示不超过2次按对密码，因为事件与事件为互斥事件，由概率的加法公式得：变式：任意按最后一位数字，第次就按对的概率？【练习】1.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率 解: 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则 （1）因为100 件产品中有 70 件一等品， (2)方法一: 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 方法二:2某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮三级以上风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设为下雨，为刮风，求： （1） ； （2）题型2:两点分布与超几何分布的应用例3 高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布如何？解析：从50名学生中随机取5人共有种方法，没有女生的取法是，恰有1名女生的取法是，恰有2名女生的取法是，恰有3名女生的取法是，恰有4名女生的取法是，恰有5名女生的取法是，因此取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布为：X012345P例4 若随机事件A在1次试验中发生的概率是，用随机变量表示A在1次实验中发生的次数。（1）求方差的最大值；（2）求的最大值。 解题思路：（1）由两点分布，分布列易写出，而要求方差的最大值需求得的表达式，转化为二次函数的最值问题；（2）得到后自然会联想均值不等式求最值。解析：（1）的分布列如表：所以， 所以时，有最大值。（2）由，当且仅当即时取等号，所以的最大值是。【练习】在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得 2假定一批产品共100件，其中有4件不合格品，随机取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布如何？解: 从100件产品中随机取6件产品共有种方法，都是合格品的取法是，恰有1件不合格品的取法是，恰有2件不合格品的取法是，恰有3件不合格品的取法是，恰有4件不合格品的取法是。因此取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布为：X01234P题型3: 独立重复试验与二项分布的应用例5 一口袋内装有5个黄球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数是一个随机变量，则=_。解析： 例6 某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解析：解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次记事件“射击一次，击中目标”，则射击次相当于次独立重复试验，事件至少发生1次的概率为由题意，令，至少取5答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次【练习】1某种植物种子发芽的概率为，则颗种子中恰好有颗发芽的概率为_ 2若某射击手每次射击击中目标的概率是，每次射击的结果相互独立，那么在他连续次的射击中，第次未击中目标，但后次都击中目标的概率是多少？ 考点三:离散型随机变量的期望和方差例1 旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条. （）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；（）求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.解题思路： 先求分布列, 再用公式求期望.解析：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=4分（2）设选择甲线路旅游团数为，则=0，1，2，35分P（=0）= P（=1）=P（=2）= P（=3）= 9分的分布列为：0123P 10分期望E=0+1+2+3=12分例2 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 解题思路：利用二项分布的随机变量的期望E=np 解析：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则 B（20,0.9）, 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是： 例3 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（）求的分布列，期望和方差；（）若, ,试求a,b的值.解题思路：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.解析： （）的分布列为：01234P（）由，得a22.7511，即又所以当a=2时，由121.5+b,得b=-2; 当a=-2时，由1-21.5+b，得b=4.或即为所求.【练习】1已知，且，那么的值为 2已知随机变量，则的值为 3掷一枚均匀的骰子，以表示其出现的点数（1）求的分布列； （2）求；（3）求、的值考点四:正态分布正态分布中的三个概率： ； ； 例1 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于，求该正态分布的概率密度函数的解析式解析:=0. =4.该正态分布的概率密度函数的解析式为=，x(-,+).例2在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即（1）试求考试成绩位于区间（70，110）上的概率是多少？（2）若这次考试共有 2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？解析:N（90，100），=90，=10. （1）由于正态变量在区间（-2，+2）内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，-2=90-210=70，+2=90+210=110，于是考试成绩位于区间（70，110）内的概率就是0.954 4. （2）由=90，=10，得-=80，+=100. 由于正态变量在区间（-，+）内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩位于区间（80，100）内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在（80，100）间的考生大约有2 0000.682 61 365（人）.【练习】1期望是2，标准差为的正态分布密度函数的解析式是 2若随机变量，则 课堂小测：1若，其中，则等于（ ）A B C D2设随机变量的分布列为，则a的值为(D)A .1； B. ； C. ； D. 3某气象站天气预报的准确率为80%，则5次预报中至少有4次准确的概率为( ) A B C D 4设随机变量，则= ( ) A1 B2 C D 45，则= ，= 6如果生男孩和生女孩的概率相等，求有个小孩的家庭中至少有个女孩的概率 7设随机变量可能取值为0，1，且满足，则= 8正态总体，则数据落在内的概率是 9假定一批产品共100件，其中有4件不合格品，随机取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布如何？取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布为：X01234P10从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。（）所选3人中至少有1名女生的概率； （）设随机变量表示所选3人中的女生人数。写出的分布列并求出的数学期望。解析：（）设所选三人中至少有1名女生的事件为A P(A)= （）可能取的值为0，1，2， 分P（=k）= k=0，1，2 的分布列为 0 1 2P E=11有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：A110120125130135B100115125130145P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2其中A、B分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好解：先比较A与B的期望值，因为 EA=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125, EB=1000.1+1150.2+1250.4十1300.1+1450.2=125.所以，它们的期望相同再比较