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让学生的思维在探索中提炼升华 平行四边形的面积教学案例及反思武汉市汉阳区铁桥小学 何 晶【设计说明】：平行四边形的面积是义务教育课程标准实验教科书数学五年级上册第五单元多边形的面积中的内容。教材分三个步骤安排：一、从主题图中引入一个实际问题：两个花坛哪一个大？提出如何计算平行四边形面积的问题；二、用数方格的方法计算面积；三、探究平行四边形面积计算公式。提出“不数方格能不能计算平行四边形的面积呢？”通过操作，把一个平行四边形转化为一个长方形，找出两个图形之间的联系，推导出平行四边形面积的计算公式。本课主要教学P7981页内容及例1，练习十五第14题。（如下图）：本节课是在学生掌握了平行四边形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上进行的，它同时又是进一步学习三角形面积、梯形面积的基础。学好这部分内容，对于培养学生的空间观念，发展学生的思维能力，以及解决生活中的实际问题的能力，都有重要的作用。小学生的空间想象力不够丰富，对平行四边形面积计算公式的推导有一定的困难。因此本节课的学习就要充分利用已有知识，让学生经历沿高剪开,平移,拼成长方形的过程,而在探究平行四边形面积计算公式的过程中,让学生交流,充分联想,并经历验证概括等环节,从而使其思维在探索中得以提炼升华。【教学设计】：教学内容：平行四边形的面积（义务教育课程标准实验教科书数学五年级上册P79-P81内容及例1，练习十五第13题）教学目标：1、探索平行四边形的面积计算方法，并能正确地计算平行四边形的面积。2、通过操作、观察、比较，让学生经历探索平行四边形面积计算方法的过程，运用转化的思想解决问题，发展学生的思维和表达能力。3、结合平行四边形面积计算方法的探究，培养学生的探索精神、空间观念和解决实际问题的能力。教学重点：掌握平行四边形的面积计算公式。教学难点：理解平行四边形面积公式的推导过程。教学准备：平行四边形纸片、剪刀、三角板、课件教学过程：一、创设情境，导入新课。1、观察主题图：l 请看这是学校门前的情景，你发现了哪些图形？l 你已经学过计算哪些图形的面积？l 校门口的环境多美啊，整洁，干净，绿化又好。学校特地在大门口设立了两个大花坛，请看这两个花坛是什么形状？l 这两个花坛哪一个大呢？要想比较它们的大小，我们得知道它们的什么呢？2、揭示课题：长方形的面积我们会计算了，同学们想知道平行四边形的面积怎样计算吗？请同学们观察并猜测一下，平行四边形的面积可能与什么有关？（学生猜测：底、高、邻边）那到底有什么关系，以及为什么有关呢？今天这节课我们就来研究平行四边形的面积。（板书：平行四边形的面积）二、动手实践，探究新知。1、用数方格的方法计算图形的面积。 还记得在推导长方形的面积公式时，我们是用的什么方法吗？（数方格） 现在请同学们用数方格的方法试一试，在方格纸上数一数，然后填写下表。注意一个方格代表1m2，不满一格的都按半格计算。看看数完后你有什么发现，在组内说一说。请翻开P80页，书上有这两幅图。 汇报结果，展示学生数的方法。 观察表格数据，你发现了什么？ 共同得出：平行四边形与长方形的底与长、高与宽及面积分别相等；这个平行四边形的面积等于它的底乘高，这个长方形的面积等于它的长乘宽。 小结：看来，这个平行四边形和长方形是有联系的。2、推导平行四边形面积计算公式。（1）提出方法 刚才我们用数方格的方法算出了平行四边形的面积，你觉得这个方法怎么样？不数方格，能不能计算平行四边形的面积呢？ 指名交流，提出转化思想：刚才大家的方法是将平行四边形转化为我们会求面积的图形,这种方法运用了我们数学当中 “转化”的数学思想，。转化的数学思想在研究有关图形面积时常常会用到。 （2）学生动手实践 提出活动目的：把平行四边形转化成我们会求面积的图形，并交流你的想法。 生按要求活动：动手尝试，组内交流你的发现。师巡视。（3）汇报并演示推导过程 学生展示汇报：l 你是怎么做的？为什么可以这样做？为什么要剪拼成长方形？l 他们刚才说的方法，有什么共同点？为什么可以这样做？（如果不沿高就没有直角，也就不能拼成长方形，剪拼出来的还是平行四边形） 其实数学家也是你们这样想的，课件演示。l 演示：画平行四边形的高，再沿高剪开，平移，拼成一个长方形。l 小结：无论多么特殊的平行四边形，只要沿着高剪，就能拼成一个长方形。 讨论交流：通过刚才的演示，你发现拼成的长方形和原来的平行四边形有什么关系？你认为平行四边形的面积怎么求？（4）概括出平行四边形的计算公式 课件演示，并推导：把一个平行四边形转化成一个长方形，它的面积与原来的平行四边形的面积相等。这个长方形的长与平行四边形的底相等，这个长方形的宽与平行四边形的高相等，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。 小结：咱们通过一个新的方法“转化”，研究出了平行四边形的面积。3、用字母表示计算公式l 除了用文字表述，还可以用什么表述？（字母）l 如果用大写字母S表示平行四边形的面积，用小写字母a表示平行四边形的底，用h表示平行四边形的高，那么它们之间有什么关系？可以怎么表述？l 如果要求面积，必须知道什么条件？已知底和面积，怎么求高？要求底，怎么办？看来只要知道其中两个量就可以求第三个量。4、教学例1（平行四边形面积计算公式的应用。） 出示例1：平行四边形花坛的底是6米，高是4米，它的面积是多少？ 指名演板，并集体汇报：先说计算公式，再说列式计算。三、分层练习，拓展提高。1、P82练习十五第2题：请自己收集信息并用公式计算。2、P82练习十五第3题：已知面积和底，求平行四边形的高。底m高m面积m2810151203、综合应用：填表后观察，看有什么发现？l 底没变时，高变大，面积变大。你还能联想到什么？高不变时，底变大，面积也变大。l 如果底是5m，高是4m，面积是多少？是这幅图的答案吗？如果这个底是4m呢？能计算这个平行四边形的面积吗？四、课堂小结：回顾一下，这节课的我们学了些什么？怎样求的？回想今天我们研究了几个问题？这三个问题不光是研究平行四边形可以这样用，今后学习三角形和梯形也可以这样研究！五、课堂作业：P82页第1、4题附：板书设计平行四边形的面积 转化 剪移拼 平行四边形的面积=底高 s=ah例1：s=ah=64=24 m2【教学反思】：一、观察比较，沟通联系，让学生的思维在探索中提炼升华。本课是第五单元多边形的面积中的起始课，平行四边形、三角形、梯形的面积公式都是用“转化”的思想推导出来的，这一思想贯穿本单元的始终。本课的这难点是理解由平行四边形剪拼成长方形后，长方形的长和宽与平行四边形底和高的关系，需要学生在探索活动中，循序渐进、由浅入深地进行操作与观察，从而使学生进一步理解图形之间的变换关系，发展空间观念。【片断一】：用数方格的方法计算图形的面积师：谁来说说，你是怎么数的？生1：我先数整格的，有20个，再数半格的，有8个，算4格，一共就是24格！生2：我是把左边的这一小半格与右边的这一大半格合起来，可算一整格，这样一共就有24格！生3：我是沿着这条高画下来，把左边的这个三角形拼过来，这样，一排6个，有4排，共有24格！师：观察表格数据，你发现了什么？生1：平行四边形的面积和这个长方形的面积相等。生2：平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等，平行四边形的面积和长方形的面积相等。生3：平行四边形的面积可以用底乘高。师：看来，这个平行四边形和这个长方形是有联系的！【反思】：本节课教学重点在平行四边形面积公式的推导，而难点是理解转化前、后图形之间的联系，因此沟通平行四边形与长方形的联系这个环节非常有必要，这也是教材编排的一条暗线。数方格是一种直观的计量面积的方法，在学习长方形和正方形面积计算时学生已经使用过。因此直接提出要求，让学生同时数一个长方形和一个平行四边形的面积，学生所汇报的数的方法中，实际也暗含着“转化”的思想；再对它们的底（长）、高（宽）和面积进行比较，暗示这两个图形之间的联系，为学生进一步探寻平行四边形面积的计算方法做好准备，给学生形象思维一个支点，顺利实现正迁移。此环节让学生在数方格、填表、交流发现等活动中联想、猜测，思考，为下一步探究提供思路。二、操作实践，交流说理，让学生的思维在探索中提炼升华。学生有经历，才有体验，有思考，才有感悟。在探究平行四边形面积计算公式时，提出“不数方格能不能计算平行四边形的面积呢？”引发思考，让学生利用转化思想，在组内操作交流，经历沿高剪开、平移、拼成长方形的过程，而其中的“变”与“不变”的探究，加强了图形之间转化的内在联系，把新知识纳入到原有的认知结构中，突出了数学的本原性问题，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，感受数学的思想方法，培养学生的探究精神。【片断二】：推导平行四边形面积计算公式。师：刚才我们用数方格的方法算出了平行四边形的面积，你觉得这个方法怎么样？生1：很麻烦，不方便。生2：不准确生3：不是处处适用。师：不数方格，能不能计算平行四边形的面积呢？生1：可以用底乘高来算一算。生2：把平行四边形的一个角剪下来，拼成一个长方形。生3：可以沿着平行四边形的高剪一刀，再把它们拼成一个长方形。 师：刚才大家的方法是将平行四边形转化为我们会求面积的图形,这种方法运用了我们数学当中“转化”的数学思想。转化的数学思想在研究有关图形面积时常常会用到。(下面咱们就分组研究，可以拿出平行四边形学具，动手试一试，看能不能转化成我们会求面积的图形，并在组内交流你的想法。)师：谁愿意来说说你是怎么做的？（汇报操作方法。） （1） （2） （3）生1：我沿着高剪下来，拼成一个长方形。生2：我是这样剪的（方法2），也拼成一个长方形。生3：我有两种方法，第一种（方法1）和他一样，第二种方法我是剪这条边上的高（方法3）。师：他们刚才说的方法，有什么共同点？生：都是沿高剪。师：为什么可以这样做？生：沿高剪就能拼成一个长方形。我们会求长方形的面积。师：其实数学家也是你们这样想的。（课件演示并说明：画平行四边形的高，再沿高剪开，平移，拼成一个长方形。）无论多么特殊的平行四边形，只要沿着高剪，就能拼成一个长方形。师：通过刚才的操作演示，你发现了拼成的长方形和原来的平行四边形有什么关系？你认为平行四边形的面积怎么求？生1：这两个图形的面积相等。生2：拼成的长方形的长和平行四边形的底相等，长方形的宽和平行四边形的高相等。生3：拼成的长方形和平行四边形的面积相等，由于长方形的面积等于长乘宽，所以我认为平行四边形的面积可以用底乘高。【反思】：推导平行四边形面积计算公式是本课的重点。主要分四步走：一是引出，提出假设“能否转化成我们会求面积的图形？”；二是学生动手操作实验；三是汇报交流；四是找出两个图形之间的联系，推导出平行四边形面积的计算公式。此部分让学生在操作的基础上，引导学生对转化前，后两种图形进行观察比较，让学生充分交流转化前后图形之间的联系，并结合课件把推导过程演示出来，再叙述推导过程，培养学生严密的逻辑思维能力和表述能力，最后概括、推导出平行四边形的面积计算公式。这样，学生的思维在探索知识的过程中，从感性认识上升到理性认识，从“迷惑不解”到“豁然开朗”！学生的探索活动是对问题识别、归类和假设、验证的过程，也是试误和顿悟的过程，是培养学生演绎、归纳、类化的重要途径。因此，在教学中我提供充分的时空让学生动手操作，交流说理，让学生的思维在探索中提升，并得以落实思维形成的过程。另外，允许不同的学生从不同的角度解决问题，充分展现学生各自的思维过程，体现了“多样化”。但也有不足之处，如：当提出问题：“不数方格，能不能计算平行四边形的面积呢？”时，有的学生思维跟不上，此时应适时放缓节奏，学会等待，给学生空间，也许这样学生会有更多鲜活的生成。三、分层练习，及时总结，让学生的思维在探索中提炼升华。分层练习是学生形成技能、发展智力的有效方法。使知识在基础题中得到巩固；在变式题中得到加深；在综合题中得到沟通；在思考题中得到升华。底m高m面积m281015120【片断三】：分层练习，拓展提高师：填表后观察，看有什么发现？生1：底没变时，高变大，面积变大。师：你还能联想到什么？生2：高不变时，底变大，面积也变大。（课件演示）师：我们发现平行四边形的面积确实与底、高有关。如果底是5m，高是4m，面积是多少？生1：20平方米。师：是这幅图的答案吗？生1：不是，它们不是对应的。师：如果这个底是4m呢？能计算这个平行四边形的面积吗？师：回顾一下，这节课的我们学了些什么？生1：我知道了平行四边形的面积用底乘高。生2：我知道了平行四边形与长方形有联系，我们可以沿平行四边形的高剪开，拼成一个长方形。师：回想今天我们是怎么研究了平行四边形的面积的？生1：猜想平行四边形的面积可能与底、高有关。生2：把一个平行四边形沿高剪开，拼成一个长方形。生3：推导计算公式。师：对我们是先猜想平行四边形的面积可能与什么有关，再研究它们之间到底有什么关系，及为什么有这样的关系。这种方法不光是研究平行四边形的面积可以这样用，今后学习三角形和梯形的面积也