2013年春_西南大学《初等数论》作业及答案(共4次_已整理) (1).doc

2013年春 西南大学初等数论作业及答案(共4次,已整理)第一次作业1、设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（ ）mn。 A：整除 B：不整除 C：等于 D：小于正确答案：A 得分：102、整数6的正约数的个数是（ ）。 A：1 B：2 C：3 D：4 正确答案：D 得分：103、如果5|n ，7|n，则35（ ）n 。 A：不整除 B：等于 C：不一定 D：整除正确答案：D 得分：104、如果 a|b，b|a ，则（ ）。 A：a=b B：a=-b C：a=b或a=-b D：a，b的关系无法确定正确答案：C 得分：105、360与200的最大公约数是（ ）。 A：10 B：20 C：30 D：40正确答案：D 得分：10 6、如果a|b，b|c，则（ ）。 A：a=c B：a=-c C：a|c D：c|a正确答案：C 得分：107、1到20之间的素数是（ ）。 A：1，2，3，5，7，11，13，17，19 B：2，3，5，7，11，13，17，19 C：1，2，4，5，10，20 D：2，3，5，7，12，13，15，17正确答案：B 得分：108、若a，b均为偶数，则a + b为（ ）。 A：偶数 B：奇数 C：正整数 D：负整数正确答案：A 得分：109、下面的（ ）是模12的一个简化剩余系。 A：0，1，5，11 B：25，27，13，-1 C：1，5，7，11 D：1，-1，2，-2正确答案：C 得分：1010、下面的（ ）是模4的一个完全剩余系。 A：9，17，-5，-1 B：25，27，13，-1 C：0，1，6，7 D：1，-1，2，-2正确答案：C 得分：1011、下面的（ ）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A：x=0,y=3 B：x=2,y=1 C：x=4,y=2 D：x=2,y=2正确答案：D 得分：1012、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（ ）。 A：0 B：1 C：2 D：3正确答案：A 得分：1013、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（ ）。 A：6 B：2 C：3 D：13正确答案：A 得分：1014、100与44的最小公倍数是（ ）。 A：4400 B：2200 C：1100 D：440正确答案：C 得分：1015、1.8+2.9等于（ ）。 A：0.4 B：0.5 C：0.6 D：0.7正确答案：D 得分：1016、4.5+3.7等于（ ）。 A：3 B：4 C：7 D：8正确答案：C 得分：1017、一个正整数n的各位上的数字是0或1，并且n能被2和3整除，则最小的n是（ ）。 A：1110 B：1101 C：1011 D：1001正确答案：A 得分：1018、-4除-39的余数是（ ）。 A：3 B：2 C：1 D：0正确答案：C 得分：1019、下面的数是3的倍数的数是（ ）。 A：19 B：119 C：1119 D：11119正确答案：C 得分：1020、小于20的正素数的个数是（ ）。 A：11 B：10 C：9 D：8正确答案：D 得分：1021、下面的（ ）是模4的一个简化剩余系。 A：4,17 B：1,15 C：3,23 D：13,6正确答案：B 得分：1022、已知361a是一个4位数（其中a 是个位数），它能被5整除，也能被3整除，则a的值是（ ）。 A：0 B：2 C：5 D：9正确答案：C 得分：10第二次作业填空题116除100的余数是 4 _。2如果今天是星期一，那么从今天起再过1010天后是星期 四 。33.2 = 0.2 ；2.84 = 2 。43.6 + 1.7 = 1 。5=_0.1_。615的所有正因数的和是 9 。71260的标准分解式是 。820！的标准分解式是 。998!的末尾有_22_个零。10890的标准分解式是 2 589.11欧拉函数值 20 。127除3301的余数是 4 。13不定方程ax + by = c有解的充要条件是 。14设m为正整数，a，b为两个整数，如果用m去除a与b所得的余数相同，那么就称a，b对模m 同余 。15一次同余式有解的充分必要条件是_。16模7的最小非负完全剩余系是 0,1,2,3,4,5,6 。17（1516，600）= 227400 。18不定方程ax + by = c(其中a，b，c是整数)有整数解的充要条件是 。19710被11除的余数是 1 。2077的个位数是_3_ _第三次作业计算题1写出400与600的标准分解式，并求出400与600的最大公因数。解 ，。2求128121被11除的余数。解 因为j(11)=10，而128与11互素，所以128101(mod 11)，于是1281211287(mod 11)，所以128121被11除的余数为7。3求1050与858的最大公因数。解：因为1050 = 23527，858 = 231113，所以(1050，858) = 23 = 6。4求1001！中末尾0的个数。解：因为10=25，所以1001！中末尾相当于1001！的质因数分解式中25的个数。由于25，所以1001！的质因数分解式中2的个数比5的个数要多，因此，只要考察1001！中因子5的个数即可。因为：10015=2001，100152=401，100153=81，100054=1375，又因为200+40+8+1=249，所以答案为249。即1001！中末尾0的个数为249个。5求不定方程3x + 5y = 20的一切非负整数解。解：因为（3，5）=1，所以不定方程有整数解。由观察知x0 = 0，y0 = 4是不定方程3x+5y=20的一个整数解，所以不定方程3x+5y=20的一切整数解是，其中t取一切整数。由可解得，所以，故不定方程的一切非负整数解为，。6求出不定方程7x + 2y = 1的一个整数解，并写出其一切整数解的表达式。解：因为（7,2）=1,1|1，所以不定方程有解。观察知其一个整数解是。于是其一切整数解为，t取一切整数。7求不定方程15x + 10y + 6z = 61的一切整数解。解：不定方程的一切整数解为，其中u，v取一切整数。8计算欧拉函数值：j（100）。解：100 = 2252，由公式有j（100）= = 40。9解同余式3x 8 (mod 10)。解：因为（3,10）=1,1|8，所以同余式有解，并且只有一个解。由得一个解，所以同余式的解为。10解同余式组：。解：因为2，3，5两两互质，所以由孙子定理该同余式组有一个解。由孙子定理可得该同余式组的解为x 1(mod 30)。11解同余式28x 21 (mod 35)。解 因为（28，35） = 7，而7|21，所以同余式28x 21(mod 35)有解，且有7个解。同余式28x 21(mod 35)等价于4x 3(mod 5)，解4x 3(mod 5)得x 2(mod 5)，故同余式28x 21(mod 35)的7个解为x 2，7，12，17，22，27，32(mod 35)。12解同余式组：。解：由得，将其代入得，即，解得，所以，于是。所以同余式组的解为。第四次作业证明题1证明：若，则。证明：由，得，由整除的性质得，即，所以。2证明：设m, n为整数，求证m+n, m-n与mn中一定有一个是3的倍数。证明：若m或n为3的倍数，则mn是3的倍数；若m是3的倍数加1，n是3的倍数加1，则m-n是3的倍数；若m是3的倍数加1，n是3的倍数加2，则m+n是3的倍数；若m是3的倍数加2，n是3的倍数加1，则m+n是3的倍数；若m是3的倍数加2，n是3的倍数加2，则m-n是3的倍数，结论成立。3证明：若，则。证明：由，知存在整数p，q使得，所以，因为pq为整数，所以由整除的定义知。4证明：若n为自然数，求证9n+18n+9(mod 64)。证明：因为91(mod 8)，所以9k1(mod 8)，k=2，3，n-1，于是9n-1+92+9+1n(mod 8)，所以9(9n-1+92+9+1) n(mod 8)，从而9(9-1)(9n-1+92+9+1) 8n(mod 64)，即9(9n-1) 8n(mod 64)，所以9n+18n+9(mod 64)。5若p为奇质数，证明2p | (22p-12)。证明：因为p为质数，所以j(p)=p-1，又p为奇质数，所以(2，p)=1，于是由欧拉定理得2p-11(mod p)，两边平方得22p-21(mod p)，再由同余的性质有222p-22(mod 2p)，即：22p-12(mod 2p)。所以2p|(22p-1-2)。6证明：整数a，b对模m同余的充分与必要条件是。证明：设，。若ab（mod m），则，因此，即mab。反之，若m