2014高考数列复习专题讲座9.doc

2014高考复习专题讲座（九）数列1、 等差等比数列：定义，公式，性质2、已知数列，3、数列通向公式推导，等差等比通向公式，累加法3）形如，采用累加法，累乘法形如，待定系数法形如，采用构造新数列方法，用待定系数法求出，数列就是公比为p的等比数列，进而可求形如，等式两边同时除以，再用上述第（5）的方法。形如，转化为，等式两边同时除以得到，设，得到，在采用上述第（5）的方法。4、数列求和：等差等比数列求和公式，裂项法，错位相减法5、数列与不等式的综合应用一、数列求和基础题目9（2013广东）设数列an是首项为1，公比为2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|=15考点：等比数列的前n项和2024632专题：等差数列与等比数列分析：根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值解答：解：数列an是首项为1，公比为2的等比数列，an=a1qn1=（2）n1，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，故答案为15点评：本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题1（2013铁岭模拟）设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2Sk=24，则k=（）A8B7C6D5考点：等差数列的前n项和2024632专题：计算题分析：先由等差数列前n项和公式求得Sk+2，Sk，将Sk+2Sk=24转化为关于k的方程求解解答：解：根据题意：Sk+2=（k+2）2，Sk=k2Sk+2Sk=24转化为：（k+2）2k2=24k=5故选D点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题二填空题（共14小题）2（2013重庆）已知an是等差数列，a1=1，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64考点：等差数列的前n项和；等比数列的前n项和2024632专题：计算题；等差数列与等比数列分析：依题意，a1=1，=a1（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案解答：解：an是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，=a1（a1+4d），又a1=1，d22d=0，公差d0，d=2其前8项和S8=8a1+d=8+56=64故答案为：64点评：本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题5（2013辽宁）已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x+4=0的两个根，则S6=63考点：等比数列的前n项和2024632专题：等差数列与等比数列分析：通过解方程求出等比数列an的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和解答：解：解方程x25x+4=0，得x1=1，x2=4因为数列an是递增数列，且a1，a3是方程x25x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4设等比数列an的公比为q，则，所以q=2则故答案为63点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题6（2013上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=考点：等差数列的前n项和2024632专题：等差数列与等比数列分析：设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得 ，解得a、b的值，即可求得数列的前n项和Sn的解析式解答：解：设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得 ，解得，故数列的前n项和Sn=，故答案为 点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式的结构特征，用待定系数法函数的解析式，属于基础题二、裂项法求和21（2013江西）正项数列an满足（2n1）an2n=0（1）求数列an的通项公式an；（2）令bn=，求数列bn的前n项和Tn考点：数列递推式；数列的求和2024632专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）通过分解因式，利用正项数列an，直接求数列an的通项公式an；（2）利用数列的通项公式化简bn=，利用裂项法直接求数列bn的前n项和Tn解答：解：（1）由正项数列an满足：（2n1）an2n=0，可得（an2n）（an+1）=0所以an=2n（2）因为an=2n，bn=，所以bn=，Tn=数列bn的前n项和Tn为点评：本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力三、错位相减法22（2013山东）设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足=1，nN*，求bn的前n项和Tn考点：数列递推式；等差数列的前n项和；数列的求和2024632专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列an的通项公式；（）由（）知，an=2n1，继而可求得bn=，nN*，于是Tn=+，利用错位相减法即可求得Tn解答：解：（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得：，解得a1=1，d=2an=2n1，nN*（）由已知+=1，nN*，得：当n=1时，=，当n2时，=（1）（1）=，显然，n=1时符合=，nN*由（）知，an=2n1，nN*bn=，nN*又Tn=+，Tn=+，两式相减得：Tn=+（+）=Tn=3点评：本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题四、数列与不等式，放缩法的应用25（2013广东）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，nN*（1）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合2024632专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用已知a1=1，nN*令n=1即可求出；（2）利用an=SnSn1（n2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化为，再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法（n2）即可证明解答：解：（1）当n=1时，解得a2=4（2）当n2时，得整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即，当n=1时，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列an的通项公式为，nN*（3）因为（n2）所以=点评：熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前n项和的关系an=SnSn1（n2）、裂项求和及其放缩法等是解题的关键17（2013浙江）在公差为d的等差数列an中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（）求d，an；（） 若d0，求|a1|+|a2|+|a3|+|an|考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质2024632专题：等差数列与等比数列分析：（）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式an可求；（）利用（）中的结论，得到等差数列an的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d0时|a1|+|a2|+|a3|+|an|的和解答：解：（）由题意得，即，整理得d23d4=0解得d=1或d=4当d=1时，an=a1+（n1）d=10（n1）=n+11当d=4时，an=a1+（n1）d=10+4（n1）=4n+6所以an=n+11或an=4n+6；（）设数列an的前n项和为Sn，因为d0，由（）得d=1，an=n+11则当n11时，当n12时，|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn+2S11=综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+|an|=点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题课后练习3（2013重庆）若2、a、b、c、9成等差数列，则ca=考点：等差数列的性质2024632专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差即可得答案解答：解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故ca=故答案为：点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题4（2013上海）在等差数列an中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式2024632专题：等差数列与等比数列分析：根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3，结合已知条件可求a2+a3解答：解：因为数列an是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15故答案为：15点评：本题考查了等差中项概念，在等差数列中，若m，n，p，q，tN*，且m+n=p+q=2t，则am+an=ap+aq=2at，此题是基础题8（2013湖南）设Sn为数列an的前n项和，nN*，则（1）a3=；（2）S1+S2+S100=考点：数列的求和；数列的函数特性2024632专题：等差数列与等比数列分析：（1）把给出的数列递推式先分n=1和n2讨论，由此求出首项和n2时的关系式对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，nN*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果解答：解：由，nN*，当n=1时，有，得当n2时，即若n为偶数，则所以（n为正奇数）；若n为奇数，则=所以（n为正偶数）所以（1）故答案为；（2）因为（n为正奇数），所以，又（n为正偶数），所以则，则所以，S1+S2+S3+S4+S99+S100=故答案为点评：本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题10（2013广东）在等差数列an中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=20考点：等差数列的通项公式2024632专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）解答：解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故答案为：20点评：本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的根本11（2013安徽）如图，互不相同的点A1，A2，An，和B1，B2，Bn，分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an，若a1=1，a2=2，则数列an的通项公式是考点：数列的应用；数列的函数特性2024632专题：等差数列与等比数列分析：设，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到=，梯形A1B1B2A2的面积=3S由已知可得梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，已知，可得，因此数列是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到an解答：解：设，OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1A2B2，A1B1是三角形OA2B2的中位线，=，梯形A1B1B2A2的面积=3S故梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S所有AnBn相互平行，所有OAnBn（nN*）都相似，数列是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n1）3=3n2因此数列an的通项公式是故答案为点评：本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力12已知数列an满足a1=33，an+1an=2n，则an=n2n+33，的最小值为考点：数列递推式2024632专题：计算题分析：先利用累加法求出an=33+n2n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值借此能得到的最小值解答：解：an+1an=2n，当n2时，an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=21+2+（n1）+33=n2n+33且对n=1也适合，所以an=n2n+33从而设f（n）=，令f（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为nN+，所以当n=5或6时f（n）有最小值又因为，所以的最小值为故答案为：n2n+33 点评：本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性三解答题（共15小题）16（2013重庆）设数列an满足：a1=1，an+1=3an，nN+（）求an的通项公式及前n项和Sn；（）已知bn是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式2024632专题：等差数列与等比数列分析：（）可得数列an是首项为1，公比为3的等比数列，代入求和公式和通项公式可得答案；（）可得b1=3，b3=13，进而可得其公差，代入求和公式可得答案解答：解：（）由题意可得数列an是首项为1，公比为3的等比数列，故可得an=13n1=3n1，由求和公式可得Sn=；（）由题意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，设数列bn的公差为d，可得b3b1=10=2d，解得d=5故T20=203+=1010点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属中档题18（2013天津）已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn（nN*），且2S2，S3，4S4成等差数列（） 求数列an的通项公式；（） 证明考点：数列的求和；等差数列；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式2024632专题：等差数列与等比数列分析：（）由题意得2S3=2S2+4S4，变形为S4S3=S2S4，进而求出公比q的值，代入通项公式进行化简；（）根据（）求出，代入再对n分类进行化简，判断出Sn随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出的最大值解答：（）解：设等比数列an的公比为q，2S2，S3，4S4等差数列，2S3=2S2+4S4，即S4S3=S2S4，得2a4=a3，q=，=；（）证明：由（）得，Sn=1，当n为奇数时，=，当n为偶数时，=，随着n的增大而减小，即，且，综上，有成立点评：本题考查了等差（等比）数列的概念、通项公式和前n项和公式，以及数列的基本性质等，考查了分类讨论的思想、运算能力、分析问题和解决问题的能力23（2013湖南）设Sn为数列an的前n项和，已知a10，2ana1=S1Sn，nN*（）求a1，a2，并求数列an的通项公式；（）求数列nan的前n项和考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和2024632专题：等差数列与等比数列分析：（）令n=1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n2时再令n=n1得到2an11=Sn1，两个式子相减得an=2an1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；（）由（）求出nan=n2n1，再由错位相减法求出此数列的前n项和解答：解：（）令n=1，得2a1a1=，即，a10，a1=1，令n=2，得2a21=1+a2，解得a2=2，当n2时，由2an1=Sn得，2an11=Sn1，两式相减得2an2an1=an，即an=2an1，数列an是首项为1，公比为2的等比数列，an=2n1，即数列an的通项公式an=2n1；（）由（）知，nan=n2n1，设数列nan的前n项和为Tn，则Tn=1+22+322+n2n1，2Tn=12+222+323+n2n，得，Tn=1+2+22+2n1n2n=2n1n2n，Tn=1+（n1）2n点评：本题考查了数列an与Sn之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n项和的应用24（2013湖北）已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=18（）求数列an的通项公式；（）是否存在正整数n，使得Sn2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和2024632专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（）设数列an的公比为q，依题意，列出关于其首项a1与公办q的方程组，解之即可求得数列an的通项公式；（）依题意，可求得1（2）n2013，对n的奇偶性分类讨论，即可求得答案解答：（）设数列an的公比为q，显然q1，由题意得，解得q=2，a3=12，故数列an的通项公式为an=a3qn3=12（2）n3=（）（2）n（）由（）有an=（）（2）n若存在正整数n，使得Sn2013，则Sn=1（2）n，即1（2）n2013，当n为偶数时，2n2012，上式不成立；当n为奇数时，1+2n2013，即2n2012，则n11综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k5），且所有这样的n的集合为n|n=2k+1（k5）点评：本题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的求和，考查分类讨论思想与方程思想，考查综合分析与推理运算能力，属于难题26（2012江西）已知数列an的前n项和Sn=kcnk（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3（1）求an；（2）求数列nan的前n项和Tn考点：数列的求和；等比数列的通项公式2024632专题：计算题分析：（1）先根据前n项和求出数列的通项表达式；再结合a2=4，a6=8a3求出c，k，即可求出数列的通项；（2）直接利用错位相减法求和即可解答：解：（1）由Sn=kcnk，得an=snsn1=kcnkcn1； （n2），由a2=4，a6=8a3得kc（c1）=4，kc5（c1）=8kc2（c1），解得；所以a1=s1=2；an=snsn1=kcnkcn1=2n，（n2），于是an=2n（2）：nan=n2n；Tn=2+222+323+n2n； 2Tn=22+223+324+（n1）2n+n2n+1；Tn=2+22+23+2nn2n+1=n2n+1=2+2n+1n2n+1；即：Tn=（n1）2n+1+2点评：本题主要考察数列求和的错位相减法数列求和的错位相减法适用于一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列数列求和的错位相减法也是这几年高考的常考点19（2013四川）在等差数列an中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列an的首项，公差及前n项和21（2011江西模拟）已知点P（0，一2），椭圆c：（ab0），椭圆的左右焦点分别为F1、F2，若三角形PF1F2的面积为2，且a2，b2的等比中项为6（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上有A、B两点，使PAB的重心为F1，求直线AB的方程；（3）在（2）的条件下，设M为椭圆上一动点，求MAB的面积的最大值及此时点M的坐标考点：数列与解析几何的综合；直线与圆锥曲线的综合问题2024632分析：（1）由三角形PF1F2的面积为2，及点P（0，一2）可得a，b的关系式，再利用a2，b2的等比中项为6，故可求a，b；（2）充分利用条件椭圆上有A、B两点，使PAB的重心为F1可求；（3）由于AB线段的长度为定值，所以要使MAB的面积的最大值，只需点线距离最大即可解答：解：（1）由三角形PF1F2的面积为2，及点P（0，一2），可得a2b2=1（ab0），a2，b2的等比中项为6，a2b2=72，a2=9，b2=8，；（2）A（x1，y1），B（x2，y2），由椭圆上有A、B两点，使PAB的重心为F1，可得，又，两式相减得，AB的中点为（，1），所以AB的方程为4x3y+9=0（3）由（2）知，的最大值为，此时点M的坐标为点评：本题考查了椭圆标准方程的求解，利用了待定系数法，求解直线方