线性规划的对偶理论和灵敏度分析 常见疑问解.doc

第二章 线性规划的对偶理论和灵敏度分析 常见疑问解答1、研究线性规划对偶问题的经济意义何在？因为线性规划往往解决原料、设备、资金、人力等资源的最优配置问题，因此了解资源在最优配置下所创造的（边际）价值即机会成本或机会收益对于成本分析、资源计划、投资计划等都有较重要的作用。此外，对偶规划也常和对资源的灵敏度分析联系在一起，对于更好地在变化环境中配置资源有一定的指导意义。2、已知原线性规划问题如何写出其对偶问题？（1）如果原问题是MAX问题，则其对偶问题是MIN问题。按下表可将其对偶问题写出。 原问题（L）一 一 对 应对偶问题（D）max问题min问题有m个约束条件有m个变量第j个约束条件为关系第j个变量0第j个约束条件为关系第j个变量0第j个约束条件为等式关系第j个变量无非负约束，是自由变量第i个变量0第i个约束条件为关系第i个变量0第i个约束条件为关系第i个变量无非负约束，是自由变量第i个约束条件为关系资源向量价值向量价值向量资源向量（2） 如果原问题是MIN问题，则其对偶问题是MAX问题。按下表可将其对偶问题写出。 原问题（L）一 一 对 应对偶问题（D）min问题max问题有m个约束条件有m个变量第j个约束条件为关系第j个变量0第j个约束条件为关系第j个变量0第j个约束条件为等式关系第j个变量无非负约束，是自由变量第i个变量0第i个约束条件为关系第i个变量0第i个约束条件为关系第i个变量无非负约束，是自由变量第i个约束条件为关系资源向量价值向量价值向量资源向量3、 如何写出下述线性规划问题的对偶模型？min z=2x1+2x2+4x3 x1+3x2+4x32 2x1+x2+3x33 x1+4x2+3x35 x10, x20, x3无约束。答：其对偶模型如下， max z=2y1+3y2+5y3 y1+2y2+y32 3y1+y2+4y32 4y1+3y2+3y34 y10, y20, y3无约束。4、 如何快速求出以下只有一个约束方程的线性规划的对偶问题的最优解？ Max Z=c1x1c1x2cnxn a1x1a1x2anxnb x1, x2, xn 0 ai, ci, b0, i=1, 2, , n.答：利用原问题与对偶问题间的相互转换关系，写出其对偶问题的模型如下， Min f=by a1yc1 a2yc2 anycn y0因为，y , i=1, 2, , n. 所以，其对偶问题的最优解y*= .5、 如果原问题是如下所示的追求利润最大的生产计划问题，那么它的对偶问题中变量有何经济含义？ 原问题的模型形式如下。 其中，变量xj, j=1, 2, n, 是每种产品的产量；cj, j=1, 2, n, 是每种产品的单位利润；bi, i=1, 2, m, 是每种资源的总量，aij 表示生产第j种产品一个单位所消耗的第i 种资源的量，i=1, 2, m, j=1, 2, n.答：其对偶问题即有如下形式，对偶问题中的变量yk, k=1, 2, m, 可具有发现某种资源所创造的单位价值并对某种资源定价的经济含义。简言之，它反映了单位资源在某种配置、利用方式下能创造的价值，即单位资源（可能的）价值。6、如果原问题是如下所示的追求利润最大的生产计划问题，当其中某个变量值减少一个生产单位时，所节约的各种资源的量有多少？原问题的模型形式如下。其中，变量xj, j=1, 2, n, 是每种产品的产量；cj, j=1, 2, n, 是每种产品的单位利润；bi, i=1, 2, m, 是每种资源的总量，aij 表示生产第j种产品一个单位所消耗的第i 种资源的量，i=1, 2, m, j=1, 2, n.答：当其中某个变量值，不妨设xj 的值减少一个生产单位时，所节约的各种资源量为 .它正好是系数矩阵A中变量xj所对应的列向量。 7、假设原问题是如下所示的追求利润最大的生产计划问题，它的对偶问题中的变量反映了单位资源可能创造的价值，那么当原问题中某个变量值减少一个生产单位时，所节约的各种资源的价值将如何借助对偶问题中的变量来表示？原问题的模型形式如下。.其中，变量xj, j=1, 2, n, 是每种产品的产量；cj, j=1, 2, n, 是每种产品的单位利润；bi, i=1, 2, m, 是每种资源的总量，aij 表示生产第j种产品一个单位所消耗的第i 种资源的量，i=1, 2, m, j=1, 2, n.答：其对偶问题即有如下形式，.其中，对偶问题中的变量yk, k=1, 2, m, 反映了单位资源（所可能创造）的价值。当原问题中某个变量值，不妨设xj 的值减少一个生产单位时，所节约的各种资源量为 , 则所节约的各种资源的价值可表示为： , 它正好是对偶问题第j个约束条件的左端项。8、如果原问题是如下所示的追求利润最大的生产计划问题，当其中某个变量值增加一个生产单位时，所耗费的各种资源的量有多少？原问题的模型形式如下。其中，变量xj, j=1, 2, n, 是每种产品的产量；cj, j=1, 2, n, 是每种产品的单位利润；bi, i=1, 2, m, 是每种资源的总量，aij 表示生产第j种产品一个单位所消耗的第i 种资源的量，i=1, 2, m, j=1, 2, n.答：当其中某个变量值，不妨设xj 的值增加一个生产单位时，所耗费的各种资源量为 .它正好是系数矩阵A中变量xj所对应的列向量。9、假设原问题是如下所示的追求利润最大的生产计划问题，它的对偶问题中的变量反映了单位资源可能创造的价值，那么当原问题中某个变量值增加一个生产单位时，所耗费的各种资源的价值将如何借助对偶问题中的变量来表示？原问题的模型形式如下。.其中，变量xj, j=1, 2, n, 是每种产品的产量；cj, j=1, 2, n, 是每种产品的单位利润；bi, i=1, 2, m, 是每种资源的总量，aij 表示生产第j种产品一个单位所消耗的第i 种资源的量，i=1, 2, m, j=1, 2, n.答：其对偶问题即有如下形式，.其中，对偶问题中的变量yk, k=1, 2, m, 反映了单位资源（所可能创造）的价值。当原问题中某个变量值，不妨设xj 的值增加一个生产单位时，所耗费的各种资源量为 , 则所耗费的各种资源的价值可表示为： , 它正好是对偶问题第j个约束条件的左端项。10、在已求出原问题的最优单纯形表后，如何求出对偶问题的最优解？在已求出原问题的最优单纯形表后，可确定出相应的最优基B和及其对应的CB, 然后通过公式Y*=CBB1, 即可求出对偶问题的最优解，或甚至直接从其最终单纯形表中就能得到对偶问题的最优解。11、如何计算影子价格？线性规划问题的对偶问题的最优解被称为影子价格。当这个线性规划问题的最优基为B时，通过公式Y*=CBB1, 或甚至直接从其最终单纯形表中就能得到影子价格。12、如何通过公式Y*=CBB1（B是线性规划问题的最优基）计算以下问题的影子价格及其对偶问题的最优解？max z=x1x24x33x4x13x28x34x4452x1 x2 x33x440x1, x2, x3, x40答：a. 将原问题化为标准形max z=x1x24x33x4x13x28x34x4x5 =452x1 x2 x33x4 x6=40x1, x2, x3, x4, x5, x60b. 用单纯形法求解，得到原问题的最终单纯形表为c. 在最终单纯形表中观察影子价格 最终单纯形表中松弛变量x5, x6对应的检验数3/5, 1/5, 就是影子价格，即Y*= = (3/5, 1/5). 它也是对偶问题min z=45y140y2 y12y213y12y218y1 y24y13y23y1, y20的最优解。并且最终单纯形表中松弛变量x5, x6对应的子阵 ，就是原问题最优基B的逆矩阵，即最优基B1= .14、通过对一个线性规划问题的最优单纯形表的观察直接得到其对偶问题的最优解（影子价格），这种观察法适宜于哪种类型的线性规划问题？ 这种观察法最适宜于如下类型的线性规划问题，.此类线性规划问题正好在每个约束条件上添加了一个松弛变量后才化为标准形。因而，在其最优单纯形表上，直接观察那些松弛变量对应的检验数即可得到对偶问题的最优解（影子价格）。同时，原问题最优基B的逆矩阵B1, 也可直接从最优单纯形表上松弛变量的检验数下方的那些列构成的方阵观察得出。具体的例子，请参阅本章FAQ（12）。15、通过对一个线性规划问题的最优单纯形表的观察直接得到其对偶问题的最优解（影子价格），这种观察法的理论依据何在？ 不妨设线性规划问题具有如下形式，max z=CXAXbX0.加入松弛变量向量Xs可化为如下标准形，max z=CXAXXs=bX, Xs0.其系数矩阵 , 其中E是单位阵。设其最优基存在且为B, 则在该基下的最优单纯形表具有如下形式，可以看到，最优基B下松弛变量Xs对应的检验数CBB1正好是求影子价格和对偶问题最优解的公式Y*=CBB1（B是线性规划问题的最优基）的右端项，所以，直接观察最优单纯形表松弛变量的检验数即可得到影子价格和对偶问题的最优解。同时，最优基B的逆矩阵也可直接在检验数正下方的子阵中观察得到。16、影子价格的经济意义何在？以原问题是如下所示的追求利润最大的生产计划问题为例。.其中，变量xj, j=1, 2, n, 是每种产品的产量；cj, j=1, 2, n, 是每种产品的单位利润；bi, i=1, 2, m, 是每种资源的总量，aij 表示生产第j种产品一个单位所消耗的第i 种资源的量，i=1, 2, m, j=1, 2, n.其对偶问题即有如下形式，.其中，对偶问题中的变量yk, k=1, 2, m, 反映了单位资源（所可能创造）的价值。我们知道这个线性规划问题的对偶问题的最优解Y*=CBB-1 （B是原问题的最优基）被称为影子价格。因此影子价格自然就反映了资源在最优配置模式下，单位资源所创造的（平均）价值。如果我们从经济学的边际概念出发，那么可以看到影子价格实质上是资源最优配置下，关于资源的边际收益或边际成本。（B是原问题的最优基）。此外，从管理会计的角度看，影子价格在资源出售、出租或购入行为决策中，它也可作为机会成本或机会收益予以考虑。最后，简单地说，影子价格反映了（稀缺）单位资源在最优配置下所创造的价值。17、 影子价格和市场价格有何区别？影子价格并不等同于市场价格。一般而言，在研究利用资源实现利润或收益等最大化的问题中，如果资源的影子价格低于市场价格，则这种资源被组织利用的效率比市场利用效率低，因此可以出售或出租；反之，就应该吸纳。因此，市场价格作为了一种资源吸纳、利用的基准，它与影子价格一道服务于企业或政府的资源利用策略中。 18、影子价格向量中，某种资源对应的值为0或非0值，反映了关于资源的什么信息？当某种资源对应的值为0时，一般表示该种资源经最优配置后，还可能有剩余，因此继续吸纳这种有闲置性的资源并不会带来利润或收益的增加；当某种资源对应的值为非0时，一般表示该种资源经最优配置后，无剩余，是一种稀缺资源。19、 对偶问题的性质，本章介绍了哪几条？a. 对称性；b. 弱对偶性；c. 无界性；d. 最优性；e. 强对偶性；f. 互补松弛性；g. 原问题的检验数与对偶问题基解对应关系；20、如何理解对偶问题的对称性质？对偶问题的对称性质即是说原问题的对偶问题的对偶问题就是原问题本身。这个性质揭示了原问题和对偶问题的相互转换关系，并且如果把原问题的对偶问题看作另一个原问题，那么这个新的原问题的对偶问题就是过去那个旧的原问题本身。21、 原线性规划问题的目标函数值一定不超过其对偶问题的目标函数值吗？不一定。正确的说法应是：a.当原问题是MAX问题时，原问题的目标函数值一定不超过其对偶问题的目标函数值。b.当原问题是MIN问题时，原问题的目标函数值一定不低于其对偶问题的目标函数值。22、当原线性规划问题是MAX问题时，为什么其目标函数值总是不超过它的对偶问题（MIN问题）的目标函数值呢？不妨设原问题具有如下形式，max z=cxAxbx0.则，其对偶问题可表示如下，min f=ybyAcy0.设x, y 分别是原问题和对偶问题的任一可行解，则由yAc, x0, 可得到yAxcx; 又因Axb, y0, 故yAxyb; 所以，cxyAxyb, 即原问题的目标函数值总是不超过它的对偶问题的目标函数值。23、当原线性规划问题是MIN问题时，为什么其目标函数值总是不低于它的对偶问题（MAX问题）的目标函数值呢？有两种想法可供参考。a.其一， (a) 首先将原线性规划问题（MIN问题）转化为MAX问题；(b) 再将对偶问题（MAX问题）转化为MIN问题；(c) 引用本章FAQ（22）得出合理解释。b.其二， 换位思考。利用“对称性”（对偶问题的对偶问题是原问题），将原问题的对偶问题看为一个新的原问题，那么旧的原问题就成为了这个新的原问题的对偶问题，直接引用本章FAQ（22）即可得出合理解释。 (24) 原问题有最优解，为什么其对偶问题就一定有最优解？不妨设原问题具有如下标准形式，max z=cxAxbx0.则，其对偶问题可表示如下，min f=ybyAc.设B是原问题的最优基，x*是原问题的最优解，其最优值max z=cx*=cBB-1b. 令y*= cBB-1, 显然y*A= cBB-1Ac, 这是因为cBB-1Ac, 正好是原问题最优基B下单纯形表的检验向量，所以必存在cBB-1Ac0, 即cBB-1Ac, 也即y*Ac. 故，y*= cBB-1,是对偶问题的可行解。由于原问题（MAX问题）的目标函数值总是不超过它的对偶问题的目标函数值，所以，关于对偶问题的任一可行解y, 都有cx*yb存立。而cx*=cBB-1b= y*b, 故，y*byb, 所以，y*= cBB-1必是对偶问题的最优解。即原问题有最优解，其对偶问题也一定有最优解，且就是关于原问题的影子价格。25、如果原问题有最优解，则原问题与其对偶问题的最优值就一定相等，为什么？ 不妨设原问题具有如下标准形式，max z=cxAxbx0.则，其对偶问题可表示如下，min f=ybyAc.设B是原问题的最优基，x*是原问题的最优解，其最优值max z=cx*=cBB-1b. 令y*= cBB-1, 显然y*A= cBB-1Ac, 这是因为cBB-1Ac, 正好是原问题最优基B下单纯形表的检验向量，所以必存在cBB-1Ac0, 即cBB-1Ac, 也即y*Ac. 故，y*= cBB-1,是对偶问题的可行解。由于原问题（MAX问题）的目标函数值总是不超过它的对偶问题的目标函数值，所以，关于对偶问题的任一可行解y, 都有cx*yb存立。而cx*=cBB-1b= y*b, 故，y*byb, 所以，y*= cBB-1必是对偶问题的最优解。即原问题有最优解，其对偶问题也一定有最优解，且对偶问题的最优值min z= y*b =cBB-1b= cx*= max z. 因此，如果原问题有最优解，则原问题与其对偶问题的最优值就一定相等。26、原线性规划问题的对偶问题有最优解，为什么原问题就一定有最优解？“换位思考”，记住原问题和对偶问题是相互而言的。利用“对称性”（对偶问题的对偶问题是原问题），将对偶问题看为新的原问题，那么旧的原问题就成为了这个新的原问题的对偶问题，结合本章FAQ（24）就能得出合理的解释。 27、 如果线性规划原问题与对偶问题之中任一个有最优解，则另一个必有最优解，且二者的最优值相等，为什么？ 记住原问题和对偶问题的说法是相互而言的，因此，结合本章FAQ的（24, 25, 26）进行思考，应该就能明白其中的道理。28、如何快速求出以下只有一个约束方程的线性规划问题的最优解？Max Z=c1x1c1x2cnxna1x1a1x2anxnbx1, x2, xn 0ai, ci, b0, i=1, 2, , n.答：a. 利用原问题与对偶问题间的相互转换关系，写出其对偶问题的模型如下，Min f=bya1yc1a2yc2anycny0b. 因为，y , i=1, 2, , n. 所以，其对偶问题的最优解y*= . c. 不妨设y*= , 则对偶问题目标函数最优值为by*= . 对原问题进行简单的观察，就可知道当xk= , xi=0, i=1, 2, , n, ik时，这个可行解对应的原问题的目标函数值为 , 即它正好等于对偶问题的目标函数最优值。d. 由对偶性质2（最优性）知， xk= , xi=0, i=1, 2, , n, ik就是原问题的最优解。29、只要判断出线性规划原问题与对偶问题二者之中的一个没有最优解，那么就可以下结论，另一个也没有最优解，为什么？这是因为如果线性规划原问题与对偶问题之中任一个有最优解，则另一个必有最优解（解释见本章FAQ（27）。其逆否命题自然是“如果线性规划原问题与对偶问题二者之中有一个没有最优解，那么另一个也没有最优解”。所以，只要判断出线性规划原问题与对偶问题二者之一没有最优解，那么就可以下结论，另一个也没有最优解。30、如何快速判断下述线性规划问题 L 无最优解？Max Z=x1x3 x1x2 x3 22x1x2 x3 1 x1, x2, x3 0答：写出其对偶问题为Min w=2y1y2y12y21 y1 y21y1 y20y1, y20显然，L对偶问题的第一个约束条件在y1, y20时不可能满足，即对偶问题无解，由FAQ(29)知原问题L无最优解。31、如果线性规划原问题（MAX问题）目标函数值没有上界，则对偶问题（MIN问题）就没有可行解，当然就没有最优解，为什么？这是因为如果对偶问题的可行解存在，不妨设x, y 分别是原问题和对偶问题的任一可行解，则二者的目标函数值必然有cxyb（可参见本章FAQ（22）。而原问题（MAX问题）目标函数值没有上界，这就意味着对于对偶问题的任一可行解y, ybcx+. 由于对偶问题（MIN问题）中不可能有具有如此性质的可行解，故对偶问题（MIN问题）无可行解，当然就无最优解。32、如果线性规划原问题（MIN问题）目标函数值没有下界，则对偶问题（MAX问题）就没有可行解，当然就没有最优解，为什么？这是因为如果对偶问题的可行解存在，不妨设x, y 分别是原问题和对偶问题的任一可行解，则二者的目标函数值必然有cxyb（可参见本章FAQ（23）。而原问题（MIN问题）目标函数值没有下界，这就意味着对于对偶问题的任一可行解y, ybcx. 由于对偶问题（MAX问题）中不可能有具有如此性质的可行解，故对偶问题（MAX问题）无可行解，当然就无最优解。33、 如何理解互补松弛定理？互补松弛定理是对偶问题最重要的性质之一。它指出了原线性规划问题及其对偶问题最优解与约束关系式间的关系。当将原问题和对偶问题基本最优解分别带入各自的线性规划模型中时，存在如下关系：原问题（L）对偶问题（D）第j个约束条件为严格的不等式对应的第j个变量值=0第j个约束条件为等式对应的第j个变量值0第i个变量值0对应的第j个约束条件为等式 对偶问题（D）原问题（L）第j个约束条件取严格的不等式对应的第j个变量值=0第j个约束条件取等式对应的第j个变量值0第i个变量值0对应的第j个约束条件为等式34、如何利用互补松弛定理求出以下只有一个约束方程的线性规划问题的最优解？Max Z=c1x1c1x2cnxna1x1a1x2anxnbx1, x2, xn 0ai, ci, b0, i=1, 2, , n.答：a. 写出其对偶问题Min f=bya1yc1a2yc2anycny0b. 利用原问题与对偶问题间的相互转换关系，易知其对偶问题的最优解y*= . c. 应用互补松弛定理不妨设y*= , 且 , 那么由互补松弛定理可知，原问题和对偶问题的最优解分别代入各自的模型后，d. 所以，原问题的最优解：xk*= , xi*=0, i=1, 2, , n, ik.35、已知对偶问题的最优解为y1*=4/5, y2*=3/5； z*=5. 如何求如下原问题的最优解？Min w=2x13x25x32x43x5x1x22x3x43x542x1x23x3x4x5 3xj 0, j=1,2, ,5答：a. 写出其对偶问题Max z=4y13y2y1 2y2 2y1 y2 32y1 3y2 5y1 y2 23y1 y2 3 y1, y20b. 利用互补松弛定理的关系对应表，将对偶问题的最优解y1*=4/5, y2*=3/5带入对偶模型中，从而发现c. 解如下方程组x1*3x5* =42x1*x5* =3,可得原问题的最优解为：X*=(1 0 0 0 1)T.36、*本章关于对偶问题的性质6谈到，“原问题某个基下的单纯形表中的检验数对应于对偶问题的某个基解”，其理论依据何在？答：关于此性质的理论推导可如下进行。不妨设原问题(L)具有如下模型形式，. 且从A中选出了一些列向量构成一个基B. 相应于基B，A被分解为A=(B N), 其中B是所选的那个基，N是此时非基向量形成的子阵，变量X被分解为X=(XB XN)T. 引入松弛变量Xs, 得到原问题(L)标准形（L）的向量矩阵形式为其对偶问题(D)为.引入松弛变量YS1, YS2 后，可写出对偶问题(D)的标准形(D)为，即 选定关于对偶问题标准形(D)的基为, 其中E为单位阵，则基 下，基变量的值.由此可以看出，基 下对偶问题的基解（不一定是对偶问题的基本可行解）与原问题基B下的单纯形表中的检验向量之间存在如下对应关系：37、假设原问题是如下所示的追求利润最大的生产计划问题，则在原问题标准型中添加的松弛变量具有怎样的经济含义？原问题的模型形式如下。.其中，变量xj, j=1, 2, n, 是每种产品的产量；cj, j=1, 2, n, 是每种产品的单位利润；bi, i=1, 2, m, 是每种资源的总量，aij 表示生产第j种产品一个单位所消耗的第i 种资源的量，i=1, 2, m, j=1, 2, n.答：原问题的标准形如下，其中， 是松弛变量，它们分别反映了第一到m种资源被使用后的剩余部分。 38、假设原问题是如下所示的追求利润最大的生产计划问题，它的对偶问题中的变量反映了单位资源可能创造的价值，则对偶问题标准形中松弛变量具有怎样的经济含义？原问题的模型形式如下。.其中，变量xj, j=1, 2, n, 是每种产品的产量；cj, j=1, 2, n, 是每种产品的单位利润；bi, i=1, 2, m, 是每种资源的总量，aij 表示生产第j种产品一个单位所消耗的第i 种资源的量，i=1, 2, m, j=1, 2, n.答：a. 其对偶问题即有如下形式，.其中，对偶问题中的变量yk, k=1, 2, m, 反映了单位资源（所可能创造）的价值。b. 写出对偶问题的标准形式为，c. 松弛变量的决策分析不妨仅研究对偶标准形的第j个约束， .注意到松弛变量 可表示为.由于 反映了若原问题中第j种产品的生产量xj减少一个生产单位（决策1：减产决策）时，所节约的各种资源（节约量为 ）被重新利用时可创造的价值（参见本章FAQ（7）问题），因而可反映减产决策所产生的机会收益（机会利润）；同时， 也反映了若原问题中第j种产品的生产量xj增加一个生产单位（决策2：增产决策）时，所耗费的各种资源（耗费量为 ）必须从其它产品的生产中转移出来，因而必须为这种转移所引起的其它产品减产及利润减少付出代价（参见本章FAQ（9）问题），故， 也可反映增产决策所产生的机会成本。而cj表示生产第j种产品所获的单位利润，因而，它可反映“第j种产品的生产量xj减少一个生产单位”这个减产决策所带来的机会成本，也可反映“第j种产品的生产量xj增加一个生产单位”这个增产决策所带来的机会收益或机会利润。d. 松弛变量的经济含义综上，=减产决策的机会利润 减产决策的机会成本=增产决策的机会成本 增产决策的机会利润=减产决策的机会利润 增产决策的机会利润 （差额利润）=增产决策的机会成本 减产决策的机会成本 （差额成本）故，松弛变量ym+j具有差额利润、差额成本的经济含义。有些教材上也称之为递减成本。39、单纯形表中的检验数具有怎样的经济含义？不妨以以下问题为例进行解释。a. 假设原问题是如下所示的追求利润最大的生产计划问题，其模型形式如下。.其中，变量xj, j=1, 2, n, 是每种产品的产量；cj, j=1, 2, n, 是每种产品的单位利润；bi, i=1, 2, m, 是每种资源的总量，aij 表示生产第j种产品一个单位所消耗的第i 种资源的量，i=1, 2, m, j=1, 2, n.b. 该生产计划问题的对偶问题即有如下形式，.其中，对偶问题中的变量yk, k=1, 2, m, 反映了单位资源（所可能创造）的价值。c. 写出对偶问题的标准形式为，d. 松弛变量 可表示为 . e. 引用对偶问题的性质6本章对偶问题的性质6谈到，“原问题某个基B下的单纯形表中的检验数对应于对偶问题的某个基解”，且y= (y1 y2 ym) = cBB1. 故，其中， .f. 故，原问题某个基下的检验数即是对偶问题某个基解中某个松弛变量的值。g. 引用本章FAQ（38），关于对偶问题松弛变量的经济解释，可以得到关于原问题某个基下检验数的经济解释。40、互补松弛定理有何经济意义？ 不妨以以下问题为例进行解释。a. 假设原问题是如下所示的追求利润最大的生产计划问题，其模型形式如下。.其中，变量xj, j=1, 2, n, 是每种产品的产量；cj, j=1, 2, n, 是每种产品的单位利润；bi, i=1, 2, m, 是每种资源的总量，aij 表示生产第j种产品一个单位所消耗的第i 种资源的量，i=1, 2, m, j=1, 2, n.b. 其标准形具有如下形式，其中， 是松弛变量，它们分别反映了第一到m种资源被使用后的剩余部分。c. 该生产计划问题的对偶问题即有如下形式，.其中，对偶问题中的变量yk, k=1, 2, m, 反映了单位资源（所可能创造）的价值。d. 写出对偶问题的标准形式为，e. 设原问题和对偶问题的最优解分别是x*, y*. 互补松弛定理可表述为f. 结合本章FAQ（38），互补松弛定理的经济含义可解释如下。在利润最大化的生产计划中，(a) xn+i*0, 表明第i种资源在最优配置下有剩余，因此第i种资源的增加只会带来更多的资源冗余，故第i种资源的边际利润yi*=0，即xn+i*0, 则yi*=0. 此数学表达式的经济含义可简述为：有剩余的资源其边际利润为0.(b) yi*0, 表明第i种资源必然是一种稀缺资源，在最优配置下没有剩余，第i种资源边际利润大于0（因为如果第i种资源在最优配置下有剩余，则第i种资源的增加只会带来更多的资源冗余，那么必然发生第i种资源的边际利润yi*=0），故xn+i*=0，即yi* 0, 则xn+i*=0. 此数学表达式的经济含义可简述为：边际利润大于0的资源没有剩余；(c) ym+j*0, 表明资源最优配置下，增产j产品一个单位的机会成本超过了增产j产品一个单位所带来的利润增加；同时，减产j产品一个单位的机会利润超过了减产j产品一个单位所带来的利润减少。故第j种产品的生产不经济，xj*=0, 即ym+j*0, 则xj*=0. 此数学表达式的经济含义可简述为：递减成本大于 0 （机会成本大于利润）的产品不安排生产；或差额利润大于 0 （机会收益大于利润）的产品不安排生产。(d) xj* 0, 则ym+j*=0. 这是(c)的逆否命题，故不必做多说。此数学表达式的经济含义可简述为：安排生产的