幸运52栏目中的猜价问题.doc

幸运52栏目中的猜价问题中央电视台幸运52栏目中有一个猜商品价格的游戏。规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语高了低了。例如参赛者猜某商品价格为100元，主持人说高了，参赛者又猜50元，主持人说低了，参赛者又猜80元，主持人说低了。这样一直猜下去，直到猜中为止。时间规定为1分钟，谁猜中的商品价格最多谁就获胜，并且商品归参赛者所有。真是一种有趣的游戏。下面我们提出一个问题：如果某参赛者已知道某商品价格X为ab中的某一整数（即Xa,a+1,a+2,b）,但不知道其真正价格，参赛者应当如何猜才能最快猜出商品价格？也就是说，无论X是集合 a,a+1,a+2, ,b 中哪一个整数，用最佳方法去猜，猜中商品价格所猜的次数最多只需多少次？我们先对特殊情况进行探讨（1）当X 1 时，（1=2-1），显然猜中价格所需次数最多为1次。（2）当X 1，2 时，（2=2），显然猜中价格所需次数最多为2次。（3）当X 1，2，3 时，（3=22-1）。如第1次猜4，如未猜中，则X 1，2 ，由（2）知最多还需猜2次才能猜中。（如第1次猜1，结论与此同）。第1次猜2，如未猜中，如主持人说高了（或低了），那么第2次只需猜1（或3）即可。（可见此种猜法最佳）。由此可知，当X 1，2，3 时，最多只需猜2次。（4）当X 1，2，3，4 时，（4=22）。如第1次猜4，如未猜中，则X 1，2，3 。由（3）知最多还需猜2次才能猜中。如第1次猜3，如主持人说低了，则X=4。如主持人说高了，则X 1，2 。由（2）知最多还需猜2次才能猜中。（此猜法为最佳猜法）。如果第1次猜1或者，结论与上同。综上可知，当X 1，2，3，4 时，最多只需猜3次。（5）当X 1，2，3，4，5 时，（5=22+1）。如第1次猜5，如未猜中，则X 1，2，3，4 时。由（4）知最多还需猜3次才能猜中。如第1次猜4，如未猜X 5 或X 1，2，3 。由（1）（3）可知最多还需猜2次就可猜中。（此猜法最佳）。如第1次猜3，如未猜中，则X 1，2 或 4，5 。由（2）知最多还需猜2次就可猜中。如第1次猜1或2与第1次猜5或4结论相同。综上可知，当X 1，2，3，4，5 时，最多只需猜3次。类似上面的证法我们可以知道：当X 1，2，3，4，5，6 时，（6=22+2），最多只需猜3次。当X 1，2，3，4，5，6，7 时，（7=23-1），最多只需猜3次。从上面这些特例看出：当X 1 时最多只需猜1次；当X 1，2， 时（2 22-1）时，最多只需猜2次；当X 1，2，3， （22 23-1）最多只需猜3次。于是我们猜想：当X 1，2，3， （2n-12n-1，N）时，用最佳方法猜最多只需猜几次。证：（1）当n=1，2，3时，由前面的探讨可知猜想成立。（2）假设当n=k时，猜想成立。即当X 1，2，3， （2k-12k-1，N）时，用最佳方法猜最多只需K次就可猜中商品价格。当n=k+1时，X 1，2，3， （2k2k+1-1，N）。我们第1次猜2k，如未猜中，则X 1，2，2k-1 =A或X 2k+1,2k+2, =B。因-2ko,2k-1，可见集合A有2k-1个元素，集合B的元素不多于，2k-1个。由归纳假设可知，最多还需猜K次就可以集合A或B中猜中商品的价格。所以当n=k+1时猜想也成立。由（1）（2）可知，猜想成立。从上面这些特例和猜想的证明可以看出：对于商品价格X 1，2，3， （2 n-12n-1，N），最佳猜价方法为：2n-1 2n-2 2n-3 2n-4 2o第1次 第2次 第3次 第4次 第n次说明：当X 1，2， （2 n-12n-1）时，第1次猜2n-1，如主持人说高了，第2次就猜2n-1-2n-2；如主持人说低了，第2次就猜 2n-1+2n+2。由这一方法，第K次所猜之数只需在第K-1次所猜数上加上或减去2n-k。（1Kn，加或减由主持人提示语确定。） 。例1：某参赛者已知道某商品价格为115中的某一整数，但不知道真正价格，主持人让参赛者猜商品价格，向最多只需几次就可猜中商品价格？解：设商品价格为X元，则X 1，2，3，15 且231524-1。由前面的结论可知最多只需4次就可猜中。例2：某参赛者已知道某商品价格为50-100元中的某一整数，但不知道其真正价格，主持人让参赛者猜商品价格，向最多只需几次就可猜中商品价格？假设商品价格为68元，我们应当如何猜呢？解：设商品价格为X元，则X 50，51，52，100 ，于是X-49 1,2,3,，51 且255126-1。所以最多只需6次就可猜中商品价格。假设X=68元。我们第1次猜49+25=81元，主持