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文档简介

1 第四章 不定积分 基本概念 不定积分的计算 2 基本概念 一 原函数的概念 1 原函数的定义 如果在开区间I内 或 那么函数 称为f x 在区间I内的一个原函数 导数为 2 原函数存在的条件 导函数 使 简言之 连续函数一定有原函数 3 定理1 存在原函数 即在I内一定存在可导函数使 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 3 原函数的结构定理 的原函数 2 若 都是 的原函数 一个常数 4 二 不定积分的概念与性质 称为函数 的不定积分 记为 1 定义 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 有定义知 若 C为任意常数 C称为积分常数 不可丢 例如 5 k是常数 2 不定积分的性质 或 或 6 例1若 提示 例2若 是 的原函数 则 提示 已知 7 例3若 的导函数为 则 的一个原函数 是 提示 已知 求 即 B 或由题意 其原函数为 8 例4已知 的一个原函数是 求 解 说明 此题若先求出 再求积分反而复杂 9 例5已知 求 解 两边求导 得 则 代回原变量 10 一 基本积分公式 24个 幂2个 指2个 三角10个 双曲2个 有理式4个 无理式4个 注意 以上公式在被积函数的连续区间内成立 本章常把这个区间省去不写 第五章自然要考虑这个区间 不定积分的计算 11 二 不定积分计算的基本方法 1 直接积分法 通过简单的恒等变形 利用基本 积分公式和积分的性质求不定积分的方法 2 换元积分法 代换 3 分部积分法 使用原则 1 由 易求出v 2 比 好求 经验 按 反 对 幂 指 三 的顺序 前者为u 后者为 12 若 令 回代 关键 将 化为 则有换元公式 可导 du du dx d d 1 第一类换元积分法 若好求 13 2 第二类换元积分法 则有换元公式 易积 其中 d 关键 14 三角代换的目的也是化掉根式 一般规律如下 可令 可令 可令 注意 灵活运用三角代换 以上规律并不是绝对的 当被积函数中含有 当分母的次数较高时 可采用倒代换 15 4 几种特殊类型积分的一般积分方法 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 指数函数有理式 指数代换 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 16 需要注意的问题 1 一般方法不一定是最简便的方法 3 初等函数的原函数不一定是初等函数 要注意综合 使用各种基本积分法 简便计算 因此不一 定都能积出 例如 4 初等函数 初等函数 2 所用的方法不同 有时同一个积分的结果不同 17 例6求下列不定积分 18 05年的考研题 解1 原式 解2 令 19 解 利用凑微分法 原式 令 得 20 解 原式 前式令 后式配元 21 解法1 令 解法2 令 则 该法适用于含的偶次幂 解法3 22 解 技巧 化分母为单项式 另解 23 解法1 解法2 24 解 原式 分母次数较高 宜使用倒代换 解 令 则 故 25 解 方法1 先分部 再换元 令 则 令 则 故
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