生活中的三角函数问题.doc

生活中的三角函数问题一、 教学背景 在现实生活中，特别是普通老百姓把数学看似一个非常遥远的独立的神秘王国，人们误解数学就是搞难题，没有什么实际用途。这与我们在数学教学中不讲数学的意义，不讲数学与生活的联系，不讲数学与其他学科的关系及其在实际社会生活中的应用价值，而是讲解题，把数学教学变成了一种纯粹的演题训练，使学生看不见数学的本来面目和它的真正意义，失去了对大自然的“好奇心”有着很大的关系。本课题是在学生学完三角函数这部分内容以后，通过书47页的第4题的启发，把几何图形变式后联系三角函数在生活中的实例，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。二、教学目标1、知识目标：巩固三角函数知识，建立函数模型；2、能力目标：掌握数学建模的方法和应用；培养学生的化归的思想和抽象概括及计算能力；3、情感目标：渗透数学建模的思想，培养数学的应用意识；体会具体的实际问题如何转化为抽象的数学问题，让学生意识到数学来源于生活，数学有用。三、教学方法1、启发式讲授法；2、探究发现法；以主体主导相结合，情景探究模式。四、教学分析1、重点：如何把问题转化为数学问题，并通过变式对问题加深理解；2、难点：如何把问题转化为数学问题（如何建立数学模型）；五、教学过程1、设置情景 欣赏图片说明随着人类的进步和科技的发展，数学的应用已经渗透到社会的各个方面。人们的日常生活和工作都离不开数学，“数学已无处不在”。让学生举一些生活中有关数学的例子，那么对于我们这学期所学的三角函数有哪些应用呢？这就是我们这节课所要学习的内容三角函数的应用问题。（引出课题）2、探索研究前一段时间，针对三角函数在生活中的 老师用几何画板动画演示在纵多矩应用，我们学习了这样一个例题： 形中内接矩形的面积慢慢变大，学把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩 生简述两种方法解题过程，比较两形的木料，问怎样锯才能使横截面积最大？ 种方法得出三角函数方法解题的优 越性。引出变式题让学生用三角函 数方法解题。生1：设边为自变量的方法 生2：设角为自变量的方法师：学生讲述完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引出变式例题：在一住宅小区里，有一块空地，这块空 两种情况分小组探究解决，小组地可能有这样两种情况： 探究时，是把两种图形放在几何（1）是半径为10米的半圆；如图（1） 画板中，让学生把静的数学图形（2）是半径为10米，圆心角为的扇形； 通过电脑转化成动态，培养学生如图（2）现在要美化小区，准备在这块空地里分别种 的动手能力和观察能力，通过图植一块矩形的草皮，使得其一边在半径上且 形观察结果，再用数学知识来求内接于这块空地，应如何设计，使得此草皮 解，然后找小组代表发布探究成面积最大？并求出面积的最大值。 果，小组间相互评价成果，培养 学生的数学的应用意识和小组合作意识。 ADBFECO(各个小组的代表用实物投影展示小组成果，并解释设计方案：)生3：(略)ADBFECO生4：(略)生5：(略)生6：(略) （图1） （图2）学生展示完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引导学生分析此题与引例中的题的联系。归纳出求解应用题的步骤过三关,走四步：（先由学生总结，老师再归纳总结。）三关：（一）、事理关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读理解能力；（二）、文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数量关系；（三）、数理关：在构建数学模型的过程中，要根据已知的知识结构，构建相应的函数模型，完成由实际问题向数学问题的转化。四步：（一）、读题理解题意； （二）、挖掘数量关系，建立数学模型；（三）、求解数学问题； （四）、回归实际，进行答题。3、随堂练习：（试试身手，看谁做得快又准确）如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建在一个边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值。解：设ABCDTSPQRM延长RP交AB于M，则， 故矩形PQCR的面积为令 则 故 当时 当时 答：长方形停车场PQCR面积的最大值是1324平方米，最小值是950平方米。4、课时小结 通过我们的研究，我们领会了数学建模的思想，同时也深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，在以后的学习过程中，只要我们勇于探索，就可能会成为真正的发明家、创造者，我们现在的研究让它作为一个奠基，通过我们的研究开拓思路，为将来成为一名数学家、发明家创造良好的条件。5、课后作业其实在我们生活中，还有许多关于三角函数的问题，请同学们课后研究一下我们自己周围可以研究的事物，例如以下两个作业题：、书面作业：ADBFECO在变式例题中的扇形空地中，把条件“使得其一边在半径上”去掉而只要求矩形在空地内且内接空地，看结果又是怎样的是不是比我们有这个条件限制时的面积更大？（如右图所示）、课后实习作业学生自己先收集自己身边有关三角函数的例子，在小组内讨论研究，然后在班上发布小组成果。或研究下面给定的两个例子。（1）：下表是某城市1971-2000年月平均气温（华氏）月份123456789101112平均气温21.826.036.048.859.168.673.071.964.753.539.827.7根据数据，运用函数的图象进行直观分析处理。以月份为x轴，以平均气温为y轴，作出散点图，把这些离散点用光滑曲线连结起来，然后观察用何种曲线，拟合这些数据，求出函数解析式。 （2）：受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）是时间t（，单位：时）的函数，记作y=f(t)，下面是该港口在某季节每天水深的数据。t（时）0361215182124y（米）10.013.09.910.013.010.17.010.0 根据数据求出y=f(t)的拟合函数，求出函数解析式，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时，认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多少时间？（忽略进出港所需时间）六、教学评价本节是一节习题课，其目的一方面是要巩固所学过的函数知识，更重要的是，让学生通过本节的学习活动认识到学习数学的意义，认识到数学与生活的联系.本节在教学中注重这一目的的实现，首先从简单有趣的实例引入，激发学生的兴趣，通过动手对几个变式实例的研究，抽象出三角函数模型，并通过背景更丰富的实例解释这一模型的内涵，让学生深切地感受到数学抽象的魅力.此外还将生活中的实例揉在教学过程中，将丰富的现实世界，有机的穿插在理性的数学教学活动中，让学生轻轻松松学数学.七、教学多媒体（powerpoint课件、几何画板课件、实物投影）八、板书设计课题： 引 例： 题型变式： 归纳三关四步：随堂练习：课时小结：课后作业：开始九、教学流程图图片欣赏教师导入课题引例题型变式变式2分小组探索，讨论展示小组成果教师评价总结随堂练习结束教师评价总结变式1ABCDO设，则当且仅当时，即时，所以在圆木的横截面上截取内接正方形时，才能使横截面积最大。师：很好，在这里提供这样一个生活中的问题，看看它们与三角函数的联系。（让学生合作探究解决）在一住宅小区里，有一块空地，这块空地可能有这样两种情况：（1）是半径为10米的半圆；（2）是半径为10米，圆心角为的扇形；现在要美化小区，准备在这块空地里分别种植一块矩形的草皮，使得其一边在半径上，应如何设计，使得此草皮面积最大？并求出面积的最大值。（两种情况分小组探究解决，小组探究时，是把两种图形放在几何画板中，让学生把静的数学图形通过电脑转化成动态，培养学生的动手能力，通过图形观察结果，再用数学知识来求解，然后找小组代表发布探究成果，小组间相互评价成果，培养学生的数学的应用意识和小组合作意识。）小组1：我们选的是第一种情况，如图所示：连结OC，设，则， ADBFECO这时 此时，点A、D分别位于点O的左右方处时S取得最大值100。ADBFECO小组2：我们选的是第二种情况，连结OC，设，则， 当且仅当时，即时，所以使矩形的长约为8.66米，宽为5米且使其内接扇形时为最大值。学生发言完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引导学生分析此题与引例中的题的联系。：再归纳出求解应用题的步骤过三关,走四步：三关：1、 事理关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读理解能力；2、 文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数量关系；3、 数理关：在构建数学模型的过程中，要根据已知的知识结构，构建相应的函数模型，完成由实际问题向数学问题的转化。四步：1 读题理解题意；2 挖掘数量关系，建立数学模型；3 求解数学问题；4 回归实际，进行答题。3、试试身手，看谁做得快又准确ABCDTSPQRM (1) 如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建在一个边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值。解：设延长RP交AB于M，则， 故矩形PQCR的面积为令则故 当时当时(2 ) 点P在直径AB=1的半圆上移动，过P点作圆的切线PT，使PT=1，PAB=，当为何值时，四边形ABTP的面积最大？最大值是多少？4、课时小结 老师小结：通过我们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，在以后的学习过程中，只要我们勇于探索，有些同学可能会成为真正的发明家、创造者，我们现在的研究让它作为一个奠基，通过我们的研究开拓思路，为将来成为一名数学家、发明家创造良好的条件。5、课后作业其实在我们生活中，还有许多关于三角函数的问题，如果同学们有兴趣的话，课后我们还可以关注一下可以研究的事物，例如以下两个问题： （1）：下表是某城市1971-2000年月平均气温（华氏）月份123456789101112平均气温21.826.036.048.859.168.673.071.964.753.539.827.7根据数据，运用函数的图象进行直观分析处理。以月份为x轴，以平均气温为y轴，作出散点图，把这些离散点用光滑曲线连结起来，然后观察用何种曲线，拟合这些数据，求出函数解析式。 （2）：受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）是时间t（，单位：时）的函数，记作y=f(t)，下面是该港口在某季节每天水深的数据。t（时）0361215182124y（米）10.013.09.910.013.010.17.010.0 根据数据求出y=f(t)的拟合函数，求出函数解析式，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时，认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多少时间？（忽略进出港所需时间）五、教学评价本节是一节习题课，其目的一方面是要巩固所学过的函数知识，更重要的是，让学