和与差的对数公式张先胜.doc

和与差的对数公式(作者:重庆合川农办 张先胜)(2009年7月)关键词：和与差的对数摘 要：本文导出和与差的对数公式。常见积、商、幂的对数公式，本文导出和与差的对数公式。一、对数的定义、基本性质、积商幂的对数公式(一)对数的定义若a x = b,(a0,a1),则x叫做b的以a为底的对数，记为x=logab。（二）对数的基本性质1、根据对数的定义，x=logablogab= x = logab则a x = b = a log a b 即a log a b = b2、根据任何数的0次方等于1, a0=1，由对数的定义得：log a 1 = 03、根据任何数的1次方，等原数，a1= a，由对数的定义得：log a a = 1（三）幂的对数公式根据代数恒等式 ax = ax 由对数的定义得log a ax = x （基本性质4） (四)积的对数公式设log a M = p , log a N = q ,（M0，N0），由对数的定义，知 M = ap, N = aq 又因为MN= ap aq = ap+q, 所以log a (MN) = log a a(p+q) （根据幂的对数公式）= p + q= log a M +log a N即分别用M、N以a为底的对数logaM、logaN表示M与N 的积(MN)以a为底的对数。连乘积的对数:loga (b1b2b3bn)= loga b1(b2b3bn) = logab1+loga (b2b3bn) = logab1+logab2+logab3+logabn(五)商的对数公式设logaM=p, logaN=q,由对数的定义，知 M=ap, N=aq 又因为M/N= ap /aq= ap-q , 所以loga(M/N)= loga a(p-q)= p - q= p +(-1)q= log a M +(-1)log a N= log a Mlog a N即分别用以a为底M、N的对数logaM、logaN表示M与N的商(M/N)的以a为底的对数。二、和的对数公式设log a M = p， log a N = q,（M0，N0），由对数的定义，知 M = a p, N = a q 又因为MN= a p + a q ,所以Log a（M+N）= Log a （a p + a q） = Log a（alogaM+alogaN）即分别用以a为底M、N的对数logaM、logaN表示M与N的和(M+N)以a为底的对数。三、差的对数公式设logaM=p, logaN=q,（M0，N0），由对数的定义，知 M=ap, N=aq 又因为M-N= ap aq ,Log a（M-N）= Log a （ap aq ） = Log a（alogaMalogaN）即分别用以a为M、N底的对数logaM、logaN表示M与N的差(MN)的以a为底的对数。四、结论除存在积商幂的对数公式外，也存在和差的对数公式。和差积商的对数公式如下：(1) Log a（M+N）= Log a（alogaM+alogaN）(2) Log a（M-N）= Log a（alogaMalogaN）(3) loga(MN)