理论力学万能解题法(静力学).doc

理论力学万能解题法 （未完手稿，内部资料，仅供华中科技大学2009级学生参考）郑慧明 编华中科技大学理论力学教研室序言理论力学是工科机械、能源、动力、交通、土木、航空航天、力学等专业的一门重要基础课程，一方面可解决实际问题，此外，培养学生对物理世界客观规律内在联系的理解，有助于培育出新的思想和理论，并为后续专业课程打基础。 但其解题方法众多，不易掌握。有时为了了解系统的更多信息，取质点为研究对象，其计算复杂。有时仅需要了解系统整体某方面信息，丢失部分信息使问题计算简单，有时又将局部和整体分析方法结合在一起，用不太复杂的方法获得我们关心的信息。解题方法众多的根本原因是，静力学所有定理都是由5大公理得到，动力学三大定理都是由公理和牛顿第2定理得到。因为这些定理起源有很多相同之处，故往往可用来求解同一个问题，导致方法众多。正是因为方法众多，但因为起源可能相同，对于复杂题目，往往需要列出多个多立方程才能求解。若同时应用多个定理解题时，往往列出线形相关的方程，而他们的相关性有时很难看出来，而却未列出该列的方程，或列方程数目过多，使解题困难，一些同学感到理论力学不好学，感觉复杂的理论力学题目。虽然可以条条大路通罗马，但因为可选择的途径太多，有时象进入迷宫，绕来绕去，不知下一步路如何走，甚至回到同一点，比如用功率方程和动静法列出的方程表面上不同，实际上是同一个，一些学生会感到困惑，因为有些教科书上并未直接说明功率方程可由动静法推导得到，其本质上也是一个力/矩方程。我们组织编写了本辅导书，主要目的是帮助那些对理论力学解题方法多样性无所适从的同学，了解各解题方法的内在关联和差异，容易在众多的解题方法中找到适合自己的技巧性不高的较简单方法，而该方法可以推广到一种类型的题目。大学阶段要学的东西很多，为了高效率掌握一门课程的主要思想，对许多题目可能用同一种较合理的方法来解决，也是同学们所期望的，对于理论力学的学习，因为其方法的多样性，这种追求同一性的求知愿望可能更强烈。理论力学所研究的客观物理世界具备多样性和同一性，为这种追求解题方法的同一性提供了可能。故本书判断一种解题方法的优劣及给出的解题方法遵循如下原则 ：（1） 一种解题方法若计算量不大，又可以推广到任意位置、任意力/矩、任意速度、加速度的复杂系统，则本书认为是较好的举一反三的方法。那些只对此道具体题目才使用的方法，虽然简单，但与本书的“同一性”宗旨不一致，我们也不推荐使用，目的使学生通过反复的应用在有限时间内熟练掌握本课程的主要方法。这一点可能与以往一些理论力学教材作者观点不同，他们可能侧重于强调物理世界的多样性和解题方法的多样性。本书主要是用于那些水平不高的学生尽快提高理论力学解题能力，并侧重于对世界同一性的强调。因篇幅有限，本书难以兼顾物质世界多样性与同一性的统一，不适于追求更高解题技巧的读者，提请读者注意。（2） 对同一类问题，给出如何在众多方法中找到同一种较容易想到的方法求解。（3） 优先考虑尽量避免引入不需求的位置量，使所列的方程个数尽量最少，其次，才考虑尽量用一个方程解出一个未知量。前几年，一本“英语万能作文法”风靡一时，成为考验宝典，并引起一些批评。我们认为，“英语万能作文法”对一些英语水平不高者有较大帮助，而本书的目的是希望那些刚接触理论力学的本科生克服“菜鸟”阶段面对理论力学解题方法众多的无所适从，且本书只是一个教学辅导参考书，无需教科书的刻板和严肃，故本书取名为万能解题法，目的是突出其用同一种方法解题的宗旨和思想，并使读者能在众多的理论力学参考书中因为名称的标新立异而投以一点关注的目光，也许你因此发现本书正适合你。正如“英语万能作文法”，专家褒贬不一，但勿庸置疑，它对那些初学水平的学习者，还是非常有帮助。同样，本书命名了一个哗众取宠的万能解题法，其实是言过其实的，也并不适合所有读者，特此说明。本书许多内容是材料李智宇、机械李梦阳、能源海腾蛟等同学根据本课堂内容整理的,武汉科技大学力学系李明博士提供宝贵意见，在此表示感谢。因时间仓促、水平有限，难免有错误和不妥之处，敬请指教。 郑慧明 2011 年于华工园前言：同一道理论力学习题，解题方法众多，容易造成思路混乱，为了使解题思路清晰和简单，并加深对理论力学各原理的优缺点的深刻了解，本书解题出发点遵循如下原则：尽量用同一种方法解题，优先考虑尽量避免引入不待求的未知量，使得列出的独立方程数目最少。其次才追求尽量用一个方程即可求出一个待求量（对于动力学问题，用一个方程即可求出一个待求量是不可能的。）。采用此方法，即可容易将不同的复杂的机械系统看成一个类似系统，采用同一种思路分析，这是本书解题思路与众不同的根源。第1章 静力学公式和物体的受力分析一 问题问题1：有哪五大公理，该注意哪些问题？答：五大公理（静力学）（1）平行四边形法则（2）二力平衡公理（一个刚体）（3）力系加减平衡原理（一个，刚体）力的可传递性（一个刚体）三力汇交定理 1.通过汇交面 2.共面（4）作用与反作用力（运动学、变形体）（5）刚化原理问题2：画受力图步骤及应注意的问题？答：画受力图方法原则：尽量减少未知力个数步骤：a）根据要求，选取研究对象,去掉约束，先画主动力b）在去掉约束点代替等效的约束反力c）用二力轩、三力汇交，作用力与反作用力方法减少未知量个数，应用三力汇交时从整体到局部或从局部到整体来思考。d）用矢量标识各力，注意保持标识的一致性。二 典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。例1由哈工大1-2（k）改编;如图，各处光滑，不计自重。1）画出整体，AC（不带销钉C）,BC（不带销钉C）,销钉C的受力图。2）画出整体，AC（不带销钉C）,BC（带销钉C）。3）画出整体，AC（带销钉C）,BC（不带销钉C）。解法提示：应用三力汇交时从整体到局部或从局部到整体来思考，尽量减少未知力个数。1）由整体利用三力汇交确定FA方向，则AC（不带销钉C）可用三力汇交。BC（不带销钉C）也三力汇交。 （a） (b) (c) (d)2）由整体利用三力汇交确定FA方向，则AC（不带销钉C）可用三力汇交。BC（带销钉C）不能用三力汇交。具体参考1）3）由整体利用三力汇交确定FA方向，BC（不带销钉C）不能用三力汇交。AC（带销钉C）不能用三力汇交。例2由何锃1.4.3改编;如图，各处光滑，不计自重。1）画出整体，AB（不带销钉B）,BC（不带销钉B）,销钉B的受力图。2）画出整体，AB（不带销钉B）,BC（带销钉B）。3）画出整体，AB（带销钉B）,BC（不带销钉B）。解法提示： 1）由B点的特点，可用三力汇交确定FA方向。 （a） (b) (c) (d)2），3）当销钉处没有集中力时，带不带销钉都一样，可把销钉处AB和BC间的力当作作用力与反作用力。注意，当销钉处有集中力时，则不能如此。例3 如图，求静平衡时，AB对圆盘c的作用力方向。各处不光滑，考虑自重，圆盘c自重为P。解法提示： 1）由E点的特点，可用三力汇交确定为DE方向。例4 何锃1.4.9;如图. 各处光滑，不计自重。画受力图：构架整体、杆AB、AC、BC（均不包括销钉A、C）、销钉A、销钉C解法提示： 先对整体用用三力汇交确定地面对销钉C的力方向。依次由a)f)作图。 （a） (b)(c) (d) (e) (f)第2章 平面力系的简化和平衡一 问题问题1：本章注意问题有哪些？1）找出二力轩2）约束力画正确3）平面汇交力系：2个方程能且只能求得2个未知量（以下“未知量”用？表示）平面力偶系： 1个方程2个？ 平面平行力系：2个方程2个？ 平面任意力系：3个方程3个？ 一个系统总的独立方程个数为：能且只能求得相应数目？任意力学列方程方法 a) 一矩式b）二矩式 （力投影轴）c）三矩式 不共线具体对一个问题分析时注意（1）所列方程必须线性无关，局部：方程1；局部 ：方程2方程1+方程2整体方程 是不行的（2）因此尽量选择一个对象列所有的方程，看未知力与方程数差数目再找其他物体列对应方程问题2：如何取研究对象，如何列方程答：、原则：（1）尽量列最少数目的方程 只包含待求未知量（优先） 尽量让每个方程能解出一个未知量、解题思路（重要）:a)先整体，看能从3个方程中列几个有用方程，把能求出的未知量当作已知，方便以后分析，但不必具体求出其中的未知量的大小，以后须用到某个未知量，再回头求。b)从待求量出发，向其周围前后左右，由近及远，延伸到光滑铰链连接点D处,对点D 取矩，依次类推。若碰到其他不待求未知量，表明很可能此路不通，不要再从此处突破。一般常用此方法。(本书称为顺藤摸瓜法)。、如何用一个方程解一个未知量：（1）向不待求未知量垂线投影（2）在不待求未知量交点处取矩问题3：平面桁架关键问题有哪些？答：解题方法1）2）先找出零力杆。3）（从整体 局部）先看整体能求出几个未知量（备用）,找出零力杆4）再从局部出发，一般先采用截面法。采用截面法应从以下原则入手：a）一次切出3个未知量（因为平面任意力系最多只能列出3个方程）,并最大限度包含待求未知量（目的是使方程个数最少）。b）在使用截面法，截出3个未知量后，若求其中一个未知量，则另2个未知量要么平行，要么相交。则可F5）注意零力杆判别二 典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。（一）平面任意力系例题【例1】由何锃例2.5;如图.各处光滑，不计自重。结构尺寸如图，C、E处为铰接；已知：P = 10 kN，M = 12 kNm。求A、B、D处的支座反力。解法提示： 总共5个？，先对整体3个方程，再从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程: 【DE杆】,【BC杆】。答案:FD=12KN,FAX=-6KN,FAY=1KN,FBX=2KN,FBY=5KN【说明】何锃课后习题2.14与此类似解法。【例2】由何锃例2.6改编;如图.各处光滑，不计自重。静定刚架尺寸如图所示，作用有分布力和集中力，集中力作用在销钉C上。1）求销钉C对AC杆的约束力。解法提示： 总共2个？，先对整体3个方程没用，故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程即可:【销钉C+BC杆】,【AC杆不带销钉C】。答案:FCAX=-10KN,FCAY=-10KN2）若仅求销钉C对BC杆的约束力。与上述类似，【销钉C+AC杆】,【BC杆不带销钉C】。3）若仅求A约束力。【AC杆】,【AC+BC】。4）若仅求B约束力。【BC杆】,【AC+BC】。4）若同时求A、B约束力。总共4个？，先对整体3个方程，再从局部（顺藤摸瓜）补充1个方程即可:如【BC杆】。【说明】哈工大第6版课后习题3-12,3-13,3-26,3-29与此类似解法。3-29改编:1)仅求A的约束反力。解法提示： 总共3个？，按顺藤摸瓜法，尽量不引入不待求未知量，补充3个方程即可:【AB】,【ABC】,【ABCD】,2）若仅求B对AB约束力。取【AB】将引入不待求未知量MA,故【带销钉B+BC杆】,【带销钉B+BCD杆】.【例3】由何锃例2.7改编;如图. 均质小车重P，如图所示放在组合梁ACB上，BD杆上作用形状为直角三角形、强度为q的分布力；杆重不计，求支座A、D的反力。解法提示： 总共5个？，先对整体3个方程,再从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程，但因为小车与AC、CB形成闭合回路，不可避免引入CB与小车间FK,故需补充3个方程:【BD杆】,【CBD】。【小车】。答案:MA=GL-Ga,FAX=ql/3+Ga/(2L）,FDX= ql/6+Ga/(2L）,FDY= Ga/(2L）【说明】哈工大第6版课后习题3-11; 何锃课后习题2.11与此类似解法。【例4】由何锃例2.8改编; 结构及其尺寸、载荷如图。已知Q = 1000 N，P = 500 N，力偶矩m = 150 Nm。1）求销钉B对杆BC的作用力。解法提示： 总共2个？，先对整体3个方程没用，故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程即可:【不带销钉B的BC杆】,【不带销钉B的BC杆+轮C+绳+Q+DC杆】。答案:FBCX=500N,FBCY=500N.2）若仅求B对杆BA的作用力。与上述类似，但须引入FA，故从局部（顺藤摸瓜）补充3个方程。【不带销钉B的BA杆】,【不带销钉B的BA杆+ DC杆】.为了得到FA, 【整体】。3）若仅求销钉C对杆DC的作用力。与上述1)类似，总共2个？，先对整体3个方程没用,故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【BD杆】【BC杆+轮C+绳+Q】。4）若仅求销钉C对杆BC的作用力。与上述1)类似，总共2个？，先对整体3个方程没用,故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【BC杆】【DC杆+轮C+绳+Q】。5）若仅求销钉D对杆DC的作用力。与上述1)类似，总共2个？，先对整体3个方程没用,故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【DC杆】,【BC杆+轮C+绳+Q+DC杆】【说明】何锃课后习题2.12与此类似解法【例5】何锃课后习题2.16.如图. 构架ABC由三杆AB、AC和DF组成，杆DF上的销子E可在杆AB光滑槽内滑动，构架尺寸和载荷如图示，已知，试求固定支座B和C的约束反力。解法提示： 总共4个？，先对整体3个方程,再从局部（顺藤摸瓜）补充1个方程，但因为AEG形成闭合回路，不可避免引入FE,故需补充2个方程:【BA杆】,【DF+AC】。 共5个方程即可。答案:FBX=-325N,FBY=-400N,FCX=325N,FCY=600N【说明】1)哈工大第6版课后习题3-20与此类似解法。2）何锃课后习题2.21. 与此类似解法。2.21 物体重，由杆AB、BC和CE组成的支架和滑轮E支持如图示，已知，不计杆与滑轮的重量，求支座A的约束力以及BC的内力。解法提示： 总共3个？，先对整体2个有用方程, 尽量不引入FB, 【整体】,，再从局部（顺藤摸瓜）补充1个方程，【整体去掉BA杆后的部分】, 共3个方程即可。【例6】哈工大第6版课后习题3-19:解法提示： 总共6个？， 因为AB包含所有未知力，取AB可列3个独立方程，还差3个。按顺藤摸瓜法，【整体】,【DF+AC】，【DF】。 共6个方程即可。答案:FAX=0,FAY=-M/2a,FDX=0,FDY=M/a,FBX=0,FBY=-M/2a.【说明】1)哈工大第6版课后习题3-24与此类似解法：解法提示： 总共5个？， 因为AB包含所有未知力，取AB可列3个独立方程，还差2个。按顺藤摸瓜法，【整体】,【DB】。 共5个方程即可。【例7】何锃课后习题2.15. AB、AC、BC、AD四杆连接如图示。水平杆AB上有铅垂向下的力作用。求证不论的位置如何，AC杆总是受到大小等于P的压力。（只允许列三个方程求解）。解法提示：求FAC，但FAC与AD、AB相关，单独分别取AD或AB，必将引入A点AD或AB的作用力，不能直接求出FAC。按顺藤摸瓜法，为了不引入A点AD或AB的作用力，故取DAB,则将在点B、D、 E引入未知力。而E点力最多，故【DAB】。对引入的FB、FD，再次把其当作待求量，按顺藤摸瓜法，得到【BA杆】,【整体】。共3个方程即可。【例8】哈工大第6版课后习题3-25:解法提示： 总共2个？，但因为DGC形成闭合回路，不可避免引入FB,故需列3个方程:按顺藤摸瓜法，【DCB】,【DCB+FC】，【整体】。 共3个方程即可。答案:FDX=37.5N,FDY=75N【例9】何锃课后习题2.22. 组合结构的荷载及尺寸如图，长度单位为m，求支座反力及二力杆1，2，3，4的内力。 解法提示： 总共7个？，先对整体3个方程,可求出支座反力。再从局部（顺藤摸瓜）补充4个方程。因为二力杆1，2，3，4与DE相关，故取【DE杆】可列3个方程，再补充一个即可。同样，顺藤摸瓜，取【3，4+CB杆】: .（二）平面桁架例题【例1】哈工大第6版课后习题3-35:解法提示： 按解题套路，先确定DE为0杆（去掉）。【切断AD、CD、CF，取右边部分】：。答案:FD=F【例2】何锃例题2.10. 桁架由边长为a的等腰直角三角形为基本单元构成，已知外力 kN， kN。求4、5、7、10各杆的内力。解法提示： 按解题套路，先由整体得到FB,尽量用最少方程求解。故【切断4、5、6，取右边部分】：得到F4, 得到F5.【切断6、7、8，取右边部分】：得到F7. 【切断8、9、10，取右边部分】：得到F10.答案:F4=21.83KN,F5=16.73KN,F7=-11.83KN,F10=51.83KN.【例3】哈工大第6版课后习题3-38。求1、2、3杆的内力解法提示： 按解题套路，尽量用最少方程（3个）求解。故【切断AB、3、FB，取上边】：得到F2, 由点F得到F1,F2.答案:F1=-4F/9,F2=-2F/3,F3=0.【说明】1)哈工大第6版课后习题3-37与此相同。3-34，3-36类似解法：2)若求FAB,FBC,F3,(何锃课后习题2.17(b),与此类似：求出FBF和地面对B点的力后，用节点法即可求得FAB,FBC。（三）其他题型答：应用合力矩定理求合力作用线方程。参考何锃例2.4。【例1】何锃例题2.2. 如图平衡系统中，大小相同的矩形物块AB和BC上分别作用力偶、，。不计重力，求支座A、C的约束力。 解法提示：1) 若按一般常规方法，A、C点总共4个？，先对整体3个方程,再对【AB杆】: 。此方法与以前方法一样，思路清晰，故本书推荐此法。2）方法2:利用二力平衡，确定FA、FC方向, 再用力偶平衡理论作。此方法不易想到，仅对特殊题目适用。【例2】合力作用线方程，何锃例题2.4. 如图的平面一般力系由力和力偶M组成，已知各力，汇交点A的坐标为，单位为m，力偶矩。求该力系的合力作用线方程。解：所以合力作用线方程为 即 第3章 空间力系的简化和平衡一 问题问题1：本章应注意问题有哪些？答：力偶的合成方法；空间力系最终简化结果；力螺旋；如何选取合适的轴对其取矩问题2：一般解题方法是什么？答：a) 对轴而不是对点取矩b) 选取轴AB的原则先选取A点；未知力最多的汇交点，再选取B点： B点为其他未知力最多的汇交点或AB，使其他未知力最多的与AB平行二 典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。【例1】力对任意轴的矩问题。何锃例题3.3.长方体各边长分别为，沿对角线AB作用的力。求力对轴x 之矩。解：因为x 轴通过O点，因此我们先求力对O点之矩。A例3.3图BOyzxxabca/2F力对O点之矩为因此，力对轴x 之矩为【例2】求合力偶问题问题。何锃课后习题3.7.将图示三力偶合成。已知，正方体每边长。解法提示：1) 若按一般万能方法，无论力偶在何任意面上，通过平面3点坐标，得到平面的平面方程，由此得到该平面的法向单位矢量，则该平面的力偶矩。再将各的各分量相加即可。比如OAB平面，由得到OAB平面方程Ax+By+Cz+D=0,则ni=(Ai+Bj+Ck)/ ，方向由平面方程中OAB的顺序，用右手安培定则确定。2）具体针对此题，用空间解析几何的其他方法将更简单。但因为上述方法对任意力偶合成均适用，故推荐使用此法。【说明】何锃课后习题3.8，3.113.13，解法与此类似。【例3】空间力系平衡问题。哈工大第6版例题4-10.已知各尺寸，求F4,F5,F6.F1,F2,F3.解法提示：1）根据解题方法，因为A点不待求未知量最多，故先确定A点，则1，2，3的力矩为0。再确定B点，4，5的力矩为0，故对AB：得到F6.类似找到AE，得到F5。，得到F6。尽量依次选用x,y,z三个方向，这样不容易遗漏，且计算力臂简单，尽量避免对AF之类取矩，那样力臂计算复杂。2）A点使用完后，再找不待求未知量第2多点，有几个，选取F点，尽量依次选用x,y,z三个方向，即可求得F1,F2,F3.实际求得3个力后，用x,y,z三个方向力的投影即可求得另外3个力。不过，本书推荐全部使用对轴取矩法。【说明】何锃课后习题3.16，哈工大第6版课后习题4-18，4-19，4-20.解法与此类似。第4章 摩擦一 问题问题1：本章难点是什么？答：1）自锁问题2）解题方法对非临界状态，把摩擦力当未知力，用任意力力系方法求解即可先排除不可能的临界状态列出所有 的即将动的临界状态可能基本 对每一种基本组合，在假设的运动状态下确定达到临界状态的面的摩擦力的方向和大小，其他的未假设的面上摩擦力大小及指向与正压力无关，当作未知量（大小，指向均未知）问题2：解摩擦问题的解题思路是什么？解题步骤：一、若选取对象只在3点处受力（结合三力汇交定理），则可用几何法（应用摩擦角），否则用解析法；二、用解析法解题步骤1先看系统总共有多少个未知量n1，及能列出多少个独立方程n22若非临界状态，用任意力系方法做（把摩擦力当作与正压力FN无关的量）3若，则需补充一个方程（能且只能）（即使存在多个摩擦面）补充方程来源一个摩擦面两个摩擦面列出所有可能 的临界状态组合基本直觉4其中一个摩擦面达到临界存在4种可能（摩擦力向左、右，滚阻为逆时针、顺时针）。理论考虑4种可能之前，排除不可能情形a) 排除不可能组合b) 确定5差2个方程时，列出所有基本,可能的两两组合后，滚阻摩擦力方向先6若集合b已被集合a包含，则不考虑集合b,仅讨论集合a即可。9再对剩下的组合根据假设，在假设的摩擦力方向下，一一求解即可。二 典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。【例1】利用摩擦角解题。 哈工大第6版课后习题5-6. 何锃课后习题4.1.3。若楔子两侧面与槽之间的摩擦角均为，则欲使楔子被打入后而不致自动滑出，角应为多大？ 解法提示：利用摩擦角。答案：【说明】何锃课后习题4.7解法与此类似。【例2】应用解析法解题。 何锃课后习题4.9。均质长方体A，宽1m、高2m、重10 kN，置于的斜面上，摩擦系数，在长方体上系一与斜面平行的绳子，绳子绕过一光滑圆轮，下端挂一重Q的重物B，求平衡时重量Q的范围。解法提示：按照上述解析法解题