基本初等函数经典总结.doc

第十二讲 基本初等函数一：教学目标1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质；2、理解基本初等函数的性质；3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数二：教学重难点教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用；教学难点：基本初等函数基本性质的应用三：知识呈现1.指数与指数函数1).指数运算法则：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）2). 指数函数：形如指数函数 0a1图 象表达式定义域值 域过定点单调性单调递减单调递增2.对数函数1）对数的运算：1、 互化：2、 恒等：3、 换底： 推论1 推论2 推论3 4、 5、2）对数函数：对数函数 0a1图 象表达式定义域值 域过定点(1，0)单调性单调递减单调递增3.幂函数一般地，形如 （）的函数叫做幂函数，其中a 是常数1)性质：(1) 所有的幂函数在(0,+)都有定义，并且图象都通过点(1, 1);(2) 如果，则幂函数图象通过（0，0），并且在区间0,+)上是增函数；(3) 如果，则幂函数在区间(0,+)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限逼近x轴。四：典型例题考点一：指数函数例1已知，则x的取值范围是_分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解：，函数在上是增函数，解得x的取值范围是评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论例2函数在区间上有最大值14，则a的值是_分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围解：令，则，函数可化为，其对称轴为当时，即当时，解得或（舍去）；当时，即， 时，解得或（舍去），a的值是3或评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等例3求函数的定义域和值域解：由题意可得，即，故 函数的定义域是令，则，又， ，即，即函数的值域是评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响例4 求函数y的单调区间.分析 这是复合函数求单调区间的问题可设y,ux2-3x+2，其中y为减函数ux2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减增)ux2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增减)解：设y,ux2-3x+2,y关于u递减，当x(-，)时，u为减函数，y关于x为增函数；当x，+)时，u为增函数，y关于x为减函数.考点二：对数函数例5 求下列函数的定义域（1）y=log2（x2-4x-5）;（2）y=logx+1（16-4x）（3）y= 解：（1）令x2-4x-50，得（x-5）（x+1）0，故定义域为 xx-1，或x5（2）令 得 故所求定义域为x-1x0，或0x2（3）令 ，得 故所求定义域为xx-1- ，或-1- x-3,或x2说明 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零例6 比较大小：（1）log0713和log0718（2）（lgn）17和（lgn）2（n1）（3）log23和log53（4）log35和log64解：（1）对数函数y=log07x在（0，+）内是减函数因为1318，所以log0713log0718（2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论若1lgn0，即1n10时，y=（lgn） x在R上是减函数，所以（lgn）12（lgn）2；若lgn1，即n10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）17（lgn）2（3）函数y=log2x和y=log5x当x1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方这里x=3，所以log23log53（4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解因为log35log33=1=log66log64，所以log35log64评析 要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论例7 已知f（x）=2+log3x，x1，9，求y=f（x）2+f（x2）的最大值，及y取最大值时，x的值分析 要求函数y=f（x）2+f（x2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域解：f（x）=2+log3x，y=f（x）2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2 =（2+log3x）2+2+2log3x =log23x+6log3x+6 =（log3x+3）2-3函数f（x）的定义域为1，9，要使函数y=f（x）2+f（x2）有定义，就须 ，1x3 0log3x16y=（log3x+3）2-313当x=3时，函数y=f（x）2+f（x2）取最大值13说明 本例正确求解的关键是：函数y=f（x）2+f（x2）定义域的正确确定如果我们误认为1，9是它的定义域则将求得错误的最大值22其实我们还能求出函数y=f（x）2+f（x2）的值域为6，13例8 求函数y=log05（-x2+2x+8）的单调区间分析 由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x2+2x+8（-2x4）的单调性相反解-x2+2x+80， -2x4， 原函数的定义域为（-2，4）又 函数u=-x2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1上为增函数，在1，4）上为减函数，函数y=log05（-x2+2x+8）在（-2，1上为减函数，在1，4）上为增函数评析 判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集考点三：幂函数例9比较大小：（1） （2）（3）（4）解：（1）在上是增函数， （2）在上是增函数，（3）在上是减函数，；是增函数，；综上， （4），例10已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值解：幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，；，又函数图象关于原点对称，是奇数，或例11、求函数y2x4（x32）值域解析：设tx，x32，t2，则yt22t4（t1）23当t1时，ymin3函数y2x4（x32）的值域为3，）点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法五：课后练习1、若a1在同一坐标系中，函数y=a和y=log的图像可能是（ ） A B C D2求值+-（）-= 3. 下列函数在上