【SoCVista】Noble Identities.doc

Noble IdentityNoble Identity 是多采样率系统中最为常用的，用于将抽取器（或插值器）移动到合适的位置。如下图，以抽取器和FIR滤波器为例，证明一下Nobel变换的等价性，至于其他的情况可以类似得证。假设FIR滤波器H(z)为则H(zM)为1) 先滤波再抽取对x(n)用H(zM)滤波后得到的中间值t(n)为再对t(n)进行M阶减采样，得2) 先抽取再滤波 对x(n)先进行M阶抽取得w(n)为再对w(n)用H(z)滤波-比较y_1和y_2两个输出序列，完全一样，问题得证。%H(z)=1+2z(-1)+3z(-2)+4z(-3)clear allclc t=1:0.2:10;x=2*sin(t)./t;%-先滤波后抽取b1=1 0 2 0 3 0 4;a1=1 0 0 0 0 0 0;y1=filter(b1,a1,x);y1=y1(2:2:end);%-先抽取再滤波b2=1 2 3 4;a2=1 0 0 0;x=x(2:2:end);y2=filter(b2,a2,x);%-比较两个输出subplot(2,1,1);stem(y1);title(y1);subplot(2,1,2);stem(y2);title(y2);抽取器的多相实现：图一、系统框图上图是一个典型抗混叠抽取的系统。输入x(n)数据量很多，而抽取后的输出y(n)却要少得多，如果直接采用上图的结构，H(z)所需的计算量将是非常大的。图二、直接实现这是直接实现，所需乘法次数是 x(n)输入频率的N倍，加法次数是x(n)输入频率的N-1倍。图三、多相实现这是低功耗的多相实现形式，与直接形式的区别是，将抽取器移动到每一个乘法器之前。证明：假设H(z)为FIR形式，首先看看直接形式中，x(n)经过H(z)滤波后的结果w(n)，如下对w(n)进行M阶抽取得到y1(n)为也就是y1(n)就是直接实现所得到的结果。下面再证明，其实y1(n)可以用多相结构实现，问题就解决了。仔细观察y1(n)的表达式，与b0相乘的只能是x(nM)，x(nM)是什么？x(nM)就是x(n)的M阶抽取啊，也就是同样的道理，与b1相乘的只能是x(nM-1)，而x(nM-1)正好是x(n-1)的M阶抽取，也可以说成x(n)延迟一个单元后的M阶抽取其他单元也是这个道理，看最后一项，与bN-1相乘的只能是x(nM-(N-1)，也就是x(n)延时N-1个单元后进行M阶抽取，如下图这就是多相结构的来源了。Matlab 验证clear allclc %原始24阶firb =0.8147 0.9058 0.1270 0.9134 0.6324 0.0975 0.2785 0.5469 0.9575 0.9649 0.1576 0.9706 0.9572 0.4854 0.8003 0.1419 0.4218 0.9157 0.7922 0.9595 0.6557 0.0357 0.8491 0.9340; %输入随机信号，3000点x = rand(1,3000);%延时x为24路%取Q个点来观察,Q3000/6=500Q=30;xd = zeros(24,Q);for k=1:24 t = x(k:6:end);xd(25-k,:) = t(1:Q);% 取450个点来观察即可end w = repmat(b,1,Q).*xd;y2 = sum(w); %原始滤波再抽取的结果y1 = filter(b,1,zeros(1,23),x);y1 = y1(24:6:end);y1 = y1(1:Q); subplot(2,1,1);stem(y1);title(y1);subplot(2,1,2);stem(y2);title