湖南省衡阳市八中2012届高三高考模拟考试理科数学试卷.doc

优化方案教考资源网 衡阳市八中2012届高考模拟考试试卷理科数学本卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分。一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.在复平面内，复数对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D 第四象限2.设集合,则“”是“”的（ ）A必要不充分条件 B充要条件C既不充分也不必要条件 D充分不必要条件3己知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如右图示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是（ ）A B2C D4.某校对高三理科1400名学生进行了一次调研抽测，经统计发现5科总分大致服从正态分布，若在(0,280)内取值的概率为0.107，则该校1400名考生中总分为620分以上的学生大约有（ ）人(结果四舍五入)A100人 B125人 C150人 D200人5. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是（ ）A.B. C. D.6. 与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ ）A B C DxyOAB7如图所示为函数()的部分图象,其中两点之间的距离为,那么( )A B C D8已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )A B C D二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。(一)选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在平面直角坐标系下，曲线（为参数），曲线（为参数）,则曲线、的公共点的个数为 10.已知,则的最小值为 11.如图，是的直径，直线切于点，且与的延长线交于点，若，则 (二)必做题（1216题）12在的展开式中， 含的项的系数等于 . 13计算：_ _ 14如图，在直角梯形中，已知，若为的中点，则的值为 15已知不等式组表示的平面区域为，直线与曲线所围成的平面区域为，（1）区域的面积为 ；（2）现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为_16设，是各项不为零的（）项等差数列，且公差将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，（1）若，则= ；（2）所有数对所组成的集合为_三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）一个房间有4扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的。房间里一只燕子只能从开着的窗子飞出去，燕子在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间. 假定燕子飞向各扇窗子是等可能的.（1）假定燕子是没有记忆的，求它恰好在第2次试飞时出了房间的概率；（2）假定这只燕子是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只燕子恰好在第次试飞时飞出了房间，求试飞次数的分布列及其数学期望.18（12分）等差数列满足，是数列的前项和（1）若，当取得最大值时，求的值；（2）若，记，求的最小值19（12分）如图所示的多面体中，正方形所在平面垂直平面，是斜边的等腰直角三角形，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值. 20（13分）如图，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，已知的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）.（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长为米的彩杆，且绕其中点在与立柱所在的平面内旋转。在彩杆转动的任意时刻，摄影者观察彩杆的视角（设为）是否存在最大值？若存在，请求出取最大值时的值；若不存在，请说明理由.21（13分）已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且直线交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点,且,当变化时,证明：；（3）连接,试探索当变化时,直线与是否相交于定点?若是,求出定点的坐标,并给出证明；否则，请说明理由。22（13分）已知函数的图象过坐标原点,且在点处的切线的斜率是.（1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值；（3）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请给出你的结论并说明理由. 2012届衡阳市八中高考模拟考试试卷理科数学本卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分。一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.在复平面内，复数对应的点位于( A )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D 第四象限2.设集合,则“”是“”的（ D ）A必要不充分条件 B充要条件C既不充分也不必要条件 D充分不必要条件3己知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如右图示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是（ A ）A B2C D4.某校对高三理科1400名学生进行了一次调研抽测，经统计发现5科总分大致服从正态分布，若在(0,280)内取值的概率为0.107，则该校1400名考生中总分为620分以上的学生大约有(结果四舍五入)(C)A100人 B125人 C150人 D200人5. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是（ C ）A.B. C. D.6. 与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ A ）A B C DxyOAB7如图所示为函数()的部分图象,其中两点之间的距离为,那么（ C ）A B C D8已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ A ）A B C D二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。(一)选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在平面直角坐标系下，曲线（为参数），曲线（为参数）,则曲线、的公共点的个数为 答案:010.已知,则的最小值为 答案: 11.如图，是的直径，直线切于点，且与的延长线交于点，若，则 答案: (二)必做题（1216题）12在的展开式中， 含的项的系数等于 90 . 13计算： _ 14如图，在直角梯形中，已知，若为的中点，则的值为 5 15已知不等式组表示的平面区域为，直线与曲线所围成的平面区域为，（1）区域的面积为 ；（2）现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为_答案（1）（2）16设，是各项不为零的（）项等差数列，且公差将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，（1）若，则= ；（2）所有数对所组成的集合为_答案（1）-4,1； （2）三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）一个房间有4扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的。房间里一只燕子只能从开着的窗子飞出去，燕子在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间. 假定燕子飞向各扇窗子是等可能的.（1）假定燕子是没有记忆的，求它恰好在第2次试飞时出了房间的概率；（2）假定这只燕子是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只燕子恰好在第次试飞时飞出了房间，求试飞次数的分布列及其数学期望.18（12分）等差数列满足，是数列的前项和（1）若，当取得最大值时，求的值；（2）若，记，求的最小值解：（1）设an的公差为d，则由3a55a8，得3(a14d)5(a17d)，da1Snna1(a1)n2n(n12)2当n12时，Sn取得最大值（6分）（2）由（1）及a146，得d(46)4，an46(n1)44n50，Sn46n42n248nbn2n5225232，当且仅当2n，即n5时，等号成立故bn的最小值为32（12分）19（12分）如图所示的多面体中，正方形所在平面垂直平面，是斜边的等腰直角三角形，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值. 解法1：（1）取的中点，连结，. ， 四边形为平行四边形， 又由面知 四边形为矩形， 4分又， 平面 6分（2）作垂直直线于，连接.由（）知平面平面，从而平面，即为直线与平面所成的角.8分易知，于是，直线与平面所成的角的正弦值为. 12分解法2：易知两两垂直，且，故以为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，则，所以，.2分（1） ，又，平面 6分（2）设面的法向量为，由，令，则8分 又， 设直线与平面所成的角为，则 . 12分20（13分）如图，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，已知的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）.（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长为米的彩杆，且绕其中点在与立柱所在的平面内旋转。在彩杆转动的任意时刻，摄影者观察彩杆的视角（设为）是否存在最大值？若存在，请求出取最大值时的值；若不存在，请说明理由。解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点，作于，依题意.又，故在中，可求得，即摄影者到立柱的水平距离为米. 3分由，在中，又，故，即立柱的高度为米. 6分（2）如图，以为原点，以水平方向向右为轴正方向建立平面直角坐标系.设，则，由（）知. 8分故， 10分 由知 12分所以，易知为锐角，故当视角取最大值时，. 13分另解： 于是 得从而21（13分）已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点,且直线交椭圆于两点,点在直线上的射影依次为点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点,且,当变化时,证明：；（3）连接,试探索当变化时,直线与是否相交于定点?若是,求出定点的坐标,并给出证明；否则，请说明理由。解：（1）C：3分（2）易知,设A(x1,y1),B(x2,y2)由6分又由得：，8分（3）m=0时,得N(,0),猜想:m变化时, 直线AE与BD相交于定点N(,0),由（2）知A(x1,y1),B(x2,y2)于是 D(4,y1),E(4,y2)，先证直线AE过定点N：直线AE的方程为：当x=时所以，点N在直线AE上，同理可得点N在直线BD上。即：m变化时, 直线AE与BD相交于定点N(,0), 13分22（13分）已知函数的图象过坐标原点,且在点处的切线的斜率是.（1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值；（3）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请给出你的结论并说明理由.解：（1）当时，则。依题意得：，即 解得 3分（2）由（1）知，当时，令得当变化时，的变化情况如下表：00+0单调递减极小值单调递增极大值单调递减又，。在上的最大值为2. 2分当时, .当时, ,最大值为0；当时, 在上单调递增。在最大值为。6分综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；当时，即时，在区间上的最大值为。8分（3）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。不妨