2015年秋期期中考试理科试卷.doc

四川省宜宾市高中协同提升责任区联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科） 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）关于坐标原点的对称点的坐标为（）A（1，0，1）B（1，0，1）C（0，1，1）D（1，0，1）2（5分）如图是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，该数据的中位数和众数依次为（）A86，84B84，84C84，86D85，863（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BC1和CD1所成角为（）ABCD4（5分）执行如图所示的程序框图，输出i的值为（）A2B3C4D55（5分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，则图中直角三角形的个数为（）A1B2C3D46（5分）一组数据中每个数据都减去80构成一组新数据，则这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数的方差为（）A5.6B4.8C4.4D3.27（5分）已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）Am，n，m，nB，m，n，mnCm，mnnDmn，nm8（5分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：BM与ED异面； CNBE；CN与BF成60角； DMBN以上四个命题中，正确的命题序号是（）ABCD9（5分）点A、B、C、D在同一个球的球面上，且AB=CD=，BC=2AC=2BD=2，则该球的表面积为（）A16B12C8D410（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当时，函数y=f（x）的值域为（）ABCD二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（5分）某班有男生25名，女生15名，采用分层抽样的方法从这40名学生中抽取一个容量为8的样本，则应抽取的女生人数为名12（5分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是13（5分）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，则三棱锥A1ABC1的体积是14（5分）如图，已知二面角l的大小是60，线段ABBl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是15（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则下列结论中正确的有（填写你认为正确的序号）AC面BEF；AF与BE相交；若P为AA1上的一动点，则三棱锥PBEF的体积为定值；在空间与直线DD1，AC，B1C1都相交的直线只有1条三、解答题（共6个题，共75分，要求写出解答过程）16（12分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点（）证明：ACBD1；（）证明：BD1平面ACE17（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点（ I）求证：BD平面EFC；（）当AD=CD=BD=1，且EFCF时，求三棱锥CABD的体积VCABD18（12分）教育部，体育总局和共青团中央号召全国各级各类学校要广泛，深入地开展全国亿万大，中学生阳光体育运动，为此，某校学生会对2014-2015学年高二年级2014年9月与10月这两个月内参加体育运动的情况进行统计，随机抽取了100名学生作为样本，得到这100名学生在该月参加体育运动总时间的小时数，根据此数据作出了如下的频数和频率的统计表和 频率分布直方图：（I）求a，p的值，并补全频率分布直方图；（）根据上述数据和直方图，试估计运动时间在小时的学生体育运动的平均时间；分组运动时间（小时）频数频率150.0519（12分）已知一几何体的三视图如图所示，请在答题卷上作出该几何体的直观图，并回答下列问题（）求直线CE与平面ADE所成角的大小；（）设点F，G分别为AC，DE的中点，求证：FG平面ABE20（13分）如图，在梯形PDCB中，BC=PD，DCPB，PB=3DC=3，PD=，DAPB，将PAD沿AD折起，使得PAAB，得到四棱锥PABCD，点M在棱PB上（） 证明：平面PAD平面PCD；（） 如果AMPB，求二面角CAMB的正切值；（）当PD平面AMC时，求三棱锥PABC与三棱锥MABC的体积之比21（14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ACBC，AA1=2，AB=2，M为AA1的中点（1）若点N是线段AC上异于A、C的一动点，求异面直线BC与A1N所成角的大小；（2）若二面角CBMA的大小为60，求BC的长；（3）在（2）的条件下，求AB1与面BCM所成角的正弦值四川省宜宾市高中协同提升责任区联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）关于坐标原点的对称点的坐标为（）A（1，0，1）B（1，0，1）C（0，1，1）D（1，0，1）考点：空间中的点的坐标 专题：空间位置关系与距离分析：坐标A（x，y，z）关于原点对称，的坐标为（x，y，z），写出结果即可解答：解：在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）关于坐标原点的对称点的坐标为（1，0，1）故选：A点评：本题考查空间点与点的位置关系，对称知识的应用，考查计算能力2（5分）如图是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，该数据的中位数和众数依次为（）A86，84B84，84C84，86D85，86考点：茎叶图 专题：概率与统计分析：根据茎叶图，把数据按从小到大的顺序排列，找出中位数与众数即可解答：解：根据茎叶图，得；七位评委为某考生打出的分数从小到大依次是77，84，84，84，86，87，93；该组数据的中位数是84，众数是84故选：B点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与众数的应用问题，是基础题3（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BC1和CD1所成角为（）ABCD考点：异面直线及其所成的角 专题：空间角分析：建立空间直角坐标系，利用坐标法求异面直线所成的角解答：解：以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则B（0，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，1），D1（1，1，1），所以=（0，1，1），=（1，0，1），并且BC1=，CD1=，所以=，所以异面直线BC1和CD1所成角；故选B点评：本题借助于向量的数量积求异面直线所成的角，正确建立空间直角坐标系，明确对应向量的坐标是关键另外：本题可以连接AD1，AC，得到ACD1是等边三角形，而角AD1C是异面直线BC1和CD1所成角，从而得到答案4（5分）执行如图所示的程序框图，输出i的值为（）A2B3C4D5考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：列出循环过程中i的数值，满足判断框的条件即可结束循环解答：解：第1次判断后i=2，第2次判断后i=3，第3次判断后i=4，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：4故选C点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力5（5分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，则图中直角三角形的个数为（）A1B2C3D4考点：直线与平面垂直的性质 专题：空间位置关系与距离分析：利用直径所对的圆周角为直角和线面垂直的判定定理和性质定理即可判断出答案解答：解：AB是圆O的直径，则ACBC，由于PA平面ABC，则PABC，即有BC平面PAC，则有BCPC，则PBC是直角三角形；由于PA平面ABC，则PAAB，PAAC，则PAB和PAC都是直角三角形；再由ACBC，得ACB=90，则ACB是直角三角形综上可知：此三棱锥PABC的四个面都是直角三角形故选D点评：熟练掌握直径所对的圆周角的性质、线面垂直的判定和性质定理是解题的关键6（5分）一组数据中每个数据都减去80构成一组新数据，则这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数的方差为（）A5.6B4.8C4.4D3.2考点：极差、方差与标准差 专题：计算题分析：根据方差的公式求解，本题新数据由原数据减去80所得，故必须考虑它们的平均数和方差的关系求解解答：解：设样本x1，x2，xn的平均数是，其方差是4.4，有S2=ABCD考点：空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：将展开图复原为正方体，如图，根据正方体的几何牲，分别判断四个命题的真假，容易判断选项的正误，从而求出结果解答：解：展开图复原的正方体ABCDEFMN如图，由正方体ABCDEFMN的结构特征，得：BM与ED是异面直线，故正确；CN与BE是平行线，故正确；CNBE，EBF=45是CN与BF所成角，故错误；设正方体ABCDEFMN的棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系，D（0，0，0），M（0，1，1），B（1，1，0），N（0，0，1），=（0，1，1），=（1，1，1），=01+1=0，DMBN，故正确故选：B点评：本题考查异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，是中档题9（5分）点A、B、C、D在同一个球的球面上，且AB=CD=，BC=2AC=2BD=2，则该球的表面积为（）A16B12C8D4考点：球的体积和表面积 专题：空间位置关系与距离分析：结合题意，画出图形，根据图形求出该球的直径，即可求出球的表面积解答：解：AB=CD=，BC=2AC=2BD=2，如图所示；AB2+AC2=BC2，BAC=；同理BDC=，又点A、B、C、D在同一个球的球面上，该球的直径为2R=BC=2，该球的表面积为S=4R2=4故选：D点评：本题考查了空间中的求与内接四面体的应用问题，解题的关键是求出球的直径来，是基础题10（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当时，函数y=f（x）的值域为（）ABCD考点：棱柱的结构特征 专题：函数的性质及应用；空间位置关系与距离分析：验证x=BP=，1，时，y=f（x）的值是什么，分析函数y=f（x）的变化情况，从而得出正确的判断解答：解：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，BD1=AB=3，当BP=时，如图所示；三棱锥BEFG的底面是正三角形，设边长EF=a，则BE=，a2=；解得a=，y=f（x）=；当EF=AB=时，y=f（x）=3，如图所示；BP=，此时BP=1；当BP=时，截面为六边形EFGHIJ，且EF=FG=GH=HI=IJ=JE=AC=，如图所示；此时y=f（x）=；时，函数y=f（x）的值域应为故选：B点评：本题考查了空间几何体的应用问题，也考查了作图和读图的能力，解题时应根据几何体的特征和条件进行分析变化情况，是难题二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（5分）某班有男生25名，女生15名，采用分层抽样的方法从这40名学生中抽取一个容量为8的样本，则应抽取的女生人数为3名考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：设应抽取的女生人数为x名，由分层抽样的性质，能求出结果解答：解：设应抽取的女生人数为x名，由分层抽样的性质，得：，解得x=3应抽取的女生人数为3名故答案为：3点评：本题考查样本应抽取的女生人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用12（5分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是30考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，计算出棱柱的底面面积和高，代入棱柱体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，底面面积S=43=6，棱柱的高h=5，故几何体的体积V=Sh=65=30，故答案为：30点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键13（5分）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，则三棱锥A1ABC1的体积是V考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由题意，三棱柱ABCA1B1C1被分割成三个等体积的三棱锥，即可得出结论解答：解：由题意，三棱柱ABCA1B1C1被分割成三个等体积的三棱锥，三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，三棱锥A1ABC1的体积是V故答案为：V点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生的计算能力，比较基础14（5分）如图，已知二面角l的大小是60，线段ABBl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是考点：直线与平面所成的角 专题：计算题；空间角分析：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线垂足为D，连接AD，从而ADC为二面角l的平面角，连接CB，则ABC为AB与平面所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可解答：解：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线垂足为D连接AD，有三垂线定理可知ADl，故ADC为二面角l的平面角，为60又由已知，ABD=30连接CB，则ABC为AB与平面所成的角设AD=2，则AC=，CD=1，AB=4sinABC=故答案为点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题15（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则下列结论中正确的有（填写你认为正确的序号）AC面BEF；AF与BE相交；若P为AA1上的一动点，则三棱锥PBEF的体积为定值；在空间与直线DD1，AC，B1C1都相交的直线只有1条考点：空间中直线与直线之间的位置关系 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：连接BD，交AC于O，由线面垂直的性质定理和判定定理，即可判断；由两异面直线的判定方法，即可得到AF与BE为异面直线，进而判断；运用棱锥的体积公式，由于EF=1，矩形BDD1B1内B到EF的距离为1，则三角形BEF的面积为，再由P在棱AA1上，P到平面BEF的距离，即为A到平面BDD1B1的距离，即可得到体积，从而判断；由于平面BDD1B1与直线DD1，AC，B1C1都有交点，则所求直线在平面BDD1B1，由于平面BDD1B1与直线AC交于O，与直线C1B1交于B1，即可判断解答：解：对于，连接BD，交AC于O，则ACBD，又BB1平面ABCD，则ACBB1，则有AC平面BDD1B1，即AC面BEF，故对；对于，由于BE是平面BDD1B1内一直线，F不在直线BE上，且F在平面BDD1B1内，点A不在平面BDD1B1内，由异面直线的判定可得，AF与BE为异面直线，故错；对于，三棱锥PBEF的体积为SBEFh，由于EF=1，矩形BDD1B1内B到EF的距离为1，则三角形BEF的面积为，由于P在棱AA1上，P到平面BEF的距离，即为A到平面BDD1B1的距离，由于AC平面BDD1B1，则h=AO=，则三棱锥PBEF的体积为，故对；对于，由于平面BDD1B1与直线DD1，AC，B1C1都有交点，则所求直线在平面BDD1B1，由于平面BDD1B1与直线AC交于O，与直线C1B1交于B1，连接OB1，延长与D1D延长交于Q，即为所求直线，故对故答案为：点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面垂直的判定和性质，两直线的位置关系，考查三棱锥体积的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题和易错题三、解答题（共6个题，共75分，要求写出解答过程）16（12分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点（）证明：ACBD1；（）证明：BD1平面ACE考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（I）证明ACBD，且ACDD1，即可证明AC平面BDD1，从而证明ACBD1；（ II）如图所示，证明OEBD1，即可证明BD1平面ACE解答：解：（I）证明：在正方体ABCD中，连结BD，ACBD，又DD1平面ABCD，且AC平面ABCD，ACDD1，又BDDD1=D，AC平面BDD1；又BD1平面BDD1，ACBD1；如图所示；（ II）证明：设BDAC=O，连结OE，在BDD1中，O、E分别为BD、DD1的中点，OEBD1；又OE平面ACE，且BD1平面ACE，BD1平面ACE点评：本题考查了空间中的垂直与平行关系的证明问题，解题时应结合图形，弄清空间中的平行与垂直的条件与结论是什么，是中档题目17（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点（ I）求证：BD平面EFC；（）当AD=CD=BD=1，且EFCF时，求三棱锥CABD的体积VCABD考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（）ABD中，根据中位线定理，得EFAD，结合ADBD得EFBD再在等腰BCD中，得到CFBD，结合线面垂直的判定定理，得出BD面EFC；（）确定CF平面ABD，SABD=，利用体积公式，即可得出结论解答：（）证明：ABD中，E、F分别是AB，BD的中点，EFADADBD，EFBDBCD中，CB=CD，F是BD的中点，CFBDCFEF=F，BD面EFC；（）解：CB=CD，F是BD的中点，CFBD，EFCF，EFBD=F，CF平面ABD，CB=CD=BD=1，CF=，AD=BD=1，ADBD，SABD=，VCABD=点评：本题考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥CABD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18（12分）教育部，体育总局和共青团中央号召全国各级各类学校要广泛，深入地开展全国亿万大，中学生阳光体育运动，为此，某校学生会对2014-2015学年高二年级2014年9月与10月这两个月内参加体育运动的情况进行统计，随机抽取了100名学生作为样本，得到这100名学生在该月参加体育运动总时间的小时数，根据此数据作出了如下的频数和频率的统计表和 频率分布直方图：（I）求a，p的值，并补全频率分布直方图；（）根据上述数据和直方图，试估计运动时间在小时的学生体育运动的平均时间；分组运动时间（小时）频数频率150.05考点：散点图 专题：概率与统计分析：（）根据频数总和是样本容量求出a，然后利用频数与样本容量的比是频率求p；（）利用各矩形底边中点的横坐标乘以矩形的面积之和解得平均数解答：解：（）因为随机抽取了100名学生作为样本，所以a=100202015105=30；b=0.3；频率分布直方图如下：（）根据表格数据和直方图得到运动时间在小时的学生体育运动的平均时间为27.50.2+32.50.3+37.50.2+42.50.15+47.50.1+52.50.05=5.5+9.75+7.5+6.375+4.75+2.625=36.5（小时）；点评：本题考查了频率分布直方图以及频率分布表，根据是正确视图19（12分）已知一几何体的三视图如图所示，请在答题卷上作出该几何体的直观图，并回答下列问题（）求直线CE与平面ADE所成角的大小；（）设点F，G分别为AC，DE的中点，求证：FG平面ABE考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）要求直线CE与平面ADE所成角的大小需要CE在平面ADE内的射影，取AD的中点H，则HE就是CE在平面ADE内的射影，CEH即为所求（2）要证FG平面ABE，据线面平行的判定定理，需要在平面ABE找一条直线与FG平行，取AB中点M，则MEFG以上两问都可以通过建立空间直角坐标系来求解答：解：该几何体是四棱锥ABCDE，底面BCDE为正方形，侧棱AC面BCDE，AC=CD，直观图如下：（1）取AD中点H且连接CH，AC=CD，CHADAC面BCDE，ACED，又BCDE是正方形，CDED，ED面ACD又CH面ACD，EDCH，又EDAD=D，CH面ADE于点H，连接EH，则EH是直线CE在平面ADE内的射影，所以CEH就是直线CE与ADE所成的角设AC=1，在Rt三角形CHE中，CE=，CH=，CHE=90，sinCEH=CEH=30，所以直线CE与平面ADE所成角为30（2）取AB中点M，连接MF，F是AC中点，MFBC，且MF=BC，又G是ED中点，EG=BC，MF=EG，MFEG，MFGE是平行四边形FGME，又FG面ABE，ME面ABE，FGABE点评：本题考查了线面角的求法，以及线面平行的判定，属于基础题20（13分）如图，在梯形PDCB中，BC=PD，DCPB，PB=3DC=3，PD=，DAPB，将PAD沿AD折起，使得PAAB，得到四棱锥PABCD，点M在棱PB上（） 证明：平面PAD平面PCD；（） 如果AMPB，求二面角CAMB的正切值；（）当PD平面AMC时，求三棱锥PABC与三棱锥MABC的体积之比考点：与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）由图1中DAPB，可得折叠后DAAB，DAPA，进而DCPA，DCDA，由线面垂直的判定定理得到DC平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD平面PCD；（） 以A为坐标原点，建立空间坐标系，分别求出平面ACM和平面ABM的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角CAMB的余弦值，进而根据同角三角函数关系，可得二面角CAMB的正切值；（）当PD平面AMC时，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，可得=，即三棱锥PABC与三棱锥MABC的高之比为，即三棱锥PABC与三棱锥MABC的体积之比为解答：证明：（）因为在图a的等腰梯形PDCB中，DAPB，所以在四棱锥PABCD中，DAAB，DAPA又PAAB，且DCAB，所以DCPA，DCDA，而DA平面PAD，PA平面PAD，PADA=A，所以DC平面PAD因为DC平面PCD，所以平面PAD平面PCD（II）以A为坐标原点，建立空间坐标系，如下图所示：PB=3DC=3，PD=，故AD=