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关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记摘 要 本文给出了实矩阵的若干行列式不等式的证明，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。针对实矩阵，主要给出了五个命题阐述其行列式不等式，同时对有些命题作出了引申与进一步说明；针对复正定矩阵，给出了三个命题，在这三个命题的证明过程中用到了Schur定理和Holder不等式。关键词 实矩阵；复正定矩阵；行列式；不等式Several Notes for “Inequalities on the Determinant of Matrix”Abstract In this paper, several determinantal inequalities on real matrix are proved. As applications, some inequalities on determinants of positively definite matrices are established in complex number field. For the real matrix, five propositions are given to explain its determinantal inequalities, and some time, extensions and further states are made for some propositions. For the complex positively definite matrix, three propositions are given, in the process of the proof of the three propositions, the Schur theorem and Holder inequality are used.Key words real matrix; complex positively definite matrix; determinant; inequality目 录1 引言与记号. .12 实矩阵的若干行列式不等式及证明.13 复数域中矩阵的若干行列式不等式.54 结论（结束语）.95 参考文献 .96 致谢.10一 引言与记号 复（实）矩阵是数学理论中的一个重要知识点，无论是对其应用上还是在进修考察中，都具有重要地位。而矩阵的行列式、矩阵的行列式不等式是矩阵理论的基础知识。基于此文中给出了实矩阵的若干行列式不等式，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。关于文中的符号，矩阵的转置记为；方阵的共轭转置记为；方阵的行列式记为或，其模记为；表示矩阵的特征值。二 实矩阵的若干行列式不等式及证明命题1 对于实数域上的阶矩阵、，若他们是正定矩阵，则.为了方便证明命题1，我们先证明命题（*）： 在实数域上，对于阶矩阵、，若是正定矩阵，是对称矩阵，则存在可逆矩阵，满足是对角阵。 证明 由的正定性知，与单位矩阵合同，则有 （1）成立，这里是实可逆矩阵。又由于是对称矩阵，则是对称阵。从而存在正交矩阵，满足 （2）这里是的特征值，.下令，则有 （3）证毕。下面证明命题1：证明 根据（3）式可知，在实数域上存在可逆矩阵，满足 ，这里是的特征值，且，.则由命题（*）的（1）式知 由命题（*）的（2）式知 又因为,是正交矩阵，所以,且由的正定性知，正定；又因为，那么 （4）而 （5）结合（4）（5）两式，得例1 在实数域上，对于阶矩阵、，如果是正定矩阵，是半正定矩阵，则当且仅当时取等。证明 由题设可知正定，半正定，正定，则根据命题1可知. 当时，; 当时，的秩不小于1，而是正定矩阵，那么，存在实可逆矩阵，满足 （6） （7）记,则秩.记的特征值为 ，因为的秩不小于1，是半正定矩阵，则至少存在一个，.事实上可设，则为的特征值，且，由（7）有所以,结合（6）有,则,综上、，得证。例2 对于半正定矩阵，若，证明：.证明 令、，则根据例1即有成立。命题2 若是正定矩阵，则.证明 记 由矩阵的正定性知，正定，且，.所以.同理可证；依次进行下去，可得.根据命题2可推出下面的一个命题：命题 设是阶方阵的列向量，表示列向量的长度，则有成立。注：在实数域上，命题的几何意义为：边长为的所有平行六面体，体积最大的是长方形。命题3 若是阶实矩阵,且的元素满足（是常数），.则.证明 根据题设条件可知是半正定矩阵，而 （8）结合命题2可知（8）式中所以 .故得证。注：该命题中的不等式称为Hadamard不等式。命题4 在实数域上，记阶矩阵为，为维单位向量，则有成立，当两两正交时取等。证明 由题设可知，是半正定矩阵，而这里.所以 （9）则，故，从而，所以. 一方面，当时，有或.又是半正定矩阵，则是正定矩阵，结合（9）式知 .所以，.根据的正定性可知，的各阶顺序主子式大于零，则，.故两两正交时取等。另一方面，两两正交时，,则,从而.命题5 在实数域上，对于阶的正定矩阵、，有成立，这里.证明 欲证 即证 只需证 只需证 由的正定性知，正定，而的特征值全部大于零，而对于方阵，其行列式与其特征值之和相等，可知对于每一个固定的，当时，有，则，从而,综上，得证。三 复矩阵的若干行列式不等式及证明定义 设、，若存在酉矩阵,使得：称酉相似于. 引理Schur定理 设，是上三角矩阵，则存在酉矩阵，使得： 命题6 若是的复正定矩阵，是的Hermite正定矩阵，则有： 证明 由于是Hermite正定矩阵，则存在可逆矩阵,使得，根据Schur定理及知，与一个上三角形矩阵酉相似，即存在，满足这里是酉矩阵，；.令,则可逆，且有， （10）从而 （11）而对于方阵，其行列式与其特征值之和相等，可知 而由Holder不等式（参见参考文献）可以得到 （12）根据（11）、（12）式可以得到：综上，得证。命题7 若是的复正定矩阵，是的Hermite正定矩阵，则有 .证明 根据题设并结合命题6可知，存在可逆矩阵，使得（1）式成立，从而 （13）根据Holder不等式知 （14）结合（13）、（14）式可以得到 两边约去与可证得成立。命题8 对于上的矩阵、，是可逆矩阵，则有.证明 根据引理可知，存在酉矩阵U，满足 （15） 这里（是虚数单位）是的特征值，且.由于U是酉矩阵，则,从而 （16） 结合（15）式可知 根据Holder不等式可知可得结合（16）式可知 即.四 结论（结束语） 本文主要在实数域与复数域上叙述了矩阵的若干行列式不等式，文之初始，以引言形式对文中一些符号作出了简要解释，然后分为两个板块，用8个命题列出矩阵的行列式不等式，并给出了证明方法，便于理解。参考文献 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数M.3版.北京：高等教育出版社，2003. 唐亚楠.高等代数同步辅导及习题全解M.徐州：中国矿业大学出版社，2006：204-206. 樊 恽，郑延履，刘合同.线性代数学习指导M.2版.北京:科学出版社，2003：399-400. 钱吉林.高等代数题解精粹M.2版.北京：中央民族大学出版社，2002：224-252. Peter D.Lax.线性代数及其应用M.傅莺莺，沈傅兴 译.2版.北京:人民邮电出版社，2009：131-136. 苏育才，姜翠波，张跃辉.矩阵理论M.北京：科学出版社，2006：105-107. 史荣昌，魏