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序号北方工业大学高等数学（1）课程(第 二 模 块 )考试卷（A班）A卷2009年秋季学期订线装开课学院： 理学院考试方式：闭卷考试时间：50 分钟分层班级 班级 姓名 学号 题 号一二三四总 分123412得 分一选择题（每小题4分, 共20分）将所选答案填在方括号内1设曲线在点处有铅直的切线，则函数在处 B（A）可导；（B）不可导；（C）可导性不确定；（D）导数为2设是可导函数，且，则曲线在点 处的切线斜率为 B（A）； （B）； （C）； （D）3设，则使存在的最高阶数 C（A）0；（B）1；（C）2；（D）34函数在的某个邻域上可以进行关于的阶皮亚诺型余项的泰勒多项式展开的条件是 A（A）在点阶可导； （B）在点阶可导；（C）在这个邻域上阶可导； （D）在这个邻域上阶可导5设满足，且，则在点处 B（A）点是拐点； （B）取得极大值； （C）取得极小值； （D）没有极值二填空题（每小题4分, 共20分）1设，二阶可导，则，2设，则3曲线在点处的切线方程为，曲率为4设由参数方程所确定，则，5极限三计算题（每小题10分, 共40分）1求解：所求极限.4分.7分.10分2利用泰勒公式求解：由，有，得再由，得.4分由及，得.8分所求极限.10分3求函数曲线的凹凸区间、拐点及渐近线解：函数的定义域为，的零点为在、上连续，且在、上，在上，此函数曲线在、上是凸的，在上是凹的；拐点为.8分由（，）可知，函数曲线有铅直渐近线；由可知，函数曲线无水平渐近线；由，可知，函数曲线无水斜渐近线.10分4在曲线段上求一点，使得由曲线在点的切线与直线、所围成的三角形的面积最大. 解：设所求点，则点处的切线方程为，.2分该切线与直线、的交点分别为、，所围三角形的面积为.6分由，令，得(不合题意,舍去)或，所求点为.10分四证明题（每小题10分, 共20分）1设在上连续、在内可导试证：，证：与在上连续、在内可导，且在内恒有，根据柯西中值定理可知，即证毕.10分2设，且试证：证法1：利用Taylor公式由存在知再由，得，.4分由Taylor公式，有，.8分，即得证毕.10分证法2：利用Taylor公式由存在知再由，得，.4分记，有，由Taylor公式，有，.8分，即得证毕.10分证法3：利用Lagrange中值定理由存在知再由，得，.4分记，有，.6分由Lagrange中值定理，有.7分.8分，.9分其中，即得证毕.10分证法4：（用最小值法：证明在上的最小值）由存在知再由，得，.4分记
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