2012年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析.doc

2012年全国高中数学联赛江苏赛区试题解析江苏省常熟市中学 査正开 2155000512-51318896）1. 当时,函数的最大值为_解：设，根据的单调性结合绝对值的性质知的最大值为18评析：本题主要考查导数与绝对值的有关知识，较基础2. 在ABC中 ,已知,则AC=_解：，评析：本题主要考查向量的有关概念与运算，有一定的灵活性3.从集合3,4,5,6,7,8中随机选取 3个不同的数,这 3个数可以构成等差数列的概率是_解：考虑取出三数从小到大成数列当=1时，有3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8四组当=2时，有3，5，7；4，6，8两组，所以有6种情形，从6个元素中随机选取 3个不同的元素共有种情形，故概率为评析：本题以集合与数列为载体，考查排列组合与概率的知识，本题数据较小，可用枚举法处理，体现文理科学生的公平性4. 已知,方程的一个实数根是,则的值为_解：即=评析：本题全面考查复数的概念与运算和方程等知识5. 在平面直角坐标系 XOY 中,双曲线的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的直线与双曲线C交于A,B两点。若FAB的面识为，则直线的斜率为_xyOBAF解：由题可设斜率为（0）,将代入C： 得，评析：本题是解析几何试题、考查双曲线的方程、几何性质、直线方程、三角形面积等知识 检测学生数学的基本素养和运算能力6. 设为正实数, ，则的取值范围是_解：两边取对数得 ，即的取值范围是 评析：本题考查指对数运算等知识，较为基础，考查学生的灵活性7. 在四面体ABCD中,AB= AC=AD=DB=5,BC=3,CD =4,该四面体的体积为_解：由平面几何知识知底面三角形为直角三角形，且A点在底面上的射影为三角形的外心所以即为BD中点，故评析：本题是立体几何试题，主要考查空间几何体的性质与几何体的体积的计算8.已知等差数列和等比数列满足: ，则_解：设公差为d，公比为q，则（4）-（3）得=20 ， （3）-（2）得 （5）（1）+（4）得，（2）+（3）得两式相减得，（6）得，评析：本题以等差、等比数列为载体，全面考查学生解方程组和代数推理等运算能力，本题运算要求较高9. 将27，37，47，48，55，71，75这 7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数则这样的排法有_ 种。解：将7个数分成3类：（1）3的数为 27，48，75，有3个（2）3-1的数为47，71，有2个（3）3+1的数为37，55，有2个要使排列的一列数中任意的四个数之和为3的倍数，则7个位置上第1位和第5位应排同一类数，第2和第6位排同一类数，第3和第7位排同一类数，且第4位必排第（1）类共有3种排法，三类数排到三类位置共有种，每一类位置各有种排法，故共有种排法。评析：本题是一个排列组合与数论结合的问题，重点考查学生利用数论中剩余类思想和分类讨论的能力，要求较高，有较好的区分度10、三角形的周长为31，三边为均为整数且 ，则满足条件的三元数组的个数为_解： 的取值为11，12，13，14，15当=11时，的取值为（9，11）（10，10） 有2组=12时，的取值为（7，12）（8，11）（9，10）有3组=13时，的取值为（5，13）（6，12）（7，11）（8，10）（9，9）有5组=14时，的取值为 (3，14）（4，13）（5，12）（6，11）（7，10）（8，9）有6组=15时，的取值为（1，15）（2，14）（3，13）-（8，8）有8组故满足要求的三元的个数为24评析：本题是以三角形为背景的整数问题，考查学生分类讨论和分析问题和解决问题的能力，对学生背景公平但又有较高的区分度，是一个相等精彩的好题11、 .在ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明：(1) ； 证法一：（余弦定理法）（1）（2），所以等式成立证法二：（正弦定理法）（1）在ABC中由正弦定理得 ，所以（2）由（1）知， 同理有 所以即 所以 评析：本题是三角中解三角形题，主要考查正弦、余弦定理的应用和有关三角变换等知识，较为基础以检测学生的基本运算能力12、已知为实数, ，函数，若 (1)求实数； (2)求函数的单调区间； (3)若实数满足,求证：解：（1）（2）设，在上递增，时，在上递减当，在上递增，即的减区间为，增区间为（3） ，1，所以命题成立评析：本题是一个函数与不等式综合题，主要考查函数的有关性质，绝对值、导数、不等式等知识，属中档题，作为预赛题有较好的选拔功效13. 如图,半径为1的圆O 上有一定点M, A为圆O 上动点，在射线OM上有一动点B,AB=1,OB1. 线段AB交圆O于另一点C,D为线段OB的中点，求线段CD长的取值范围证明： 如图，设，于是，D为OB的中点，又,得， ，于是 评析：本题是一个以平几为背景的题目，它可用三角函数知识转化为二次函数问题来加以处理，考查学生灵活运用数学知识的能力14. 设是正整数，是方程的两根，证明：存在边长是正整数且面积为的直角三角形。证明： （命题组提供） 由题设可知，由于是正整数，则中任两个数之和大于第三个数，且为正整数，又故存在边长为（均为正整数）的直角三角形（为斜边）符合题设要求.评析：本题为全套试题的压轴题，是一个开放性问题，能很好地考查学生的思维能力和创新能力，难度较高，试题构思巧妙朴实优美。本题的关键是如何构造一个满足题设要求的三边长为正整数，面积为的三角形上述命题组给出的证明方法，结论是正确的但很不自然，让人感到迷茫，正如美籍匈牙利数学家波利亚所言：“就像从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外，根本不具有什么启发性。聪明的学生和聪明的读者不会满足于只验证推理的各个步骤都是正确的，他们也想知道各个不同步骤的动机和目标。如果最为引人注目的步骤其动机和目的仍不可理解的话，那么他们在推理和创新方面学不到任何东西。”我们研究一个问题不仅希望得到一个解答，也希望这个解答是优美的、富有启发性的，更渴望知道这个解答是如何想到的，因此揭示出问题解决的心理过程和分析探索过程，对培养学生的解题能力进而提高他们的思维能力和创新能力显得尤为重要。下面给出笔者的探索尝试过程，供参考设以正整数为直角边的三角形满足