轴对称与等腰三角形复习.doc

【知识讲解与典型例题】1、线段的垂直平分线垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或中垂线）。1）如何作出已知线段AB的中垂线呢？如图，分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于C、D，过C、D两点的直线CD就是线段AB的垂直平分线。2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等。该定理的逆命题是：到一条线段的两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。例1、如图，已知直线MN及直线外两点AB，在直线MN上求一点P，使PAPB。分析：连结AB，到A、B距离相等的点在线段AB的中垂线上，同时又要求在直线MN上。所以该点为AB中垂线与直线MN的交点。作图过程请自己完成。2、轴对称和轴对称图形把一个图形沿着某一条直线折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么我们说这两个图形关于这条直线对称。两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴。所以两个图形关于一直线对称也称两个图形成轴对称。例2、如图，ABM15，AB的垂直平分线DC交BM于C，AEBM于E，BC6cm，则AE 。分析：由DC垂直平分AB想到连结AC，则ACBC6cm，且BCAB15，所以ACE30，则在RtACE中，。3、等腰三角形的性质等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有“两腰相等”这个特性以外，还具有其它特殊性质。它的两个底角重合；中间的折痕与底边垂直；折痕平分顶角；折痕平分底边。等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）推论1、等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。推论2、等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于60。现将等腰三角形的性质定理及推论用符号语言表示如下：4、等腰三角形性质的运用：例3、（1）若等腰三角形中一个角的度数是50，则其余两角的度数是 。（2）若等腰三角形中一个角的度数是100，则其余两角的度数是 。（3）等腰三角形两个底角与顶角的外角的和等于260，那么这个三角形的顶角为 ，底角为 。（4）等腰三角形顶角与底角之比为1:4，则三个角的度数各是 。解：（1）若50角为顶角，则两个底角为若50角为底角，则另一底角为50，顶角为18025080 （2）等腰三角形的底角不能为钝角100只能是顶角， 两个底角为。分析：（3）如图，等腰三角形ABC的顶角的外角DAC的度数即为两底角度数之和，所以B+C+DAC260例4、已知：在ABC中，D是AC上一点且ADBDBC，ABD2DBC，求A，C。分析：ADBD，得AABD；由BDBC，得BDCC，而BDCA+ABD，又A+C+ABC180，分析好了以后就不难解题了。例5、已知：在ABC中，ABAC，点D、E在BC上，且ADAE，求证：BDCE分析：该题证明方法很多，可以用以前学过的全等三角形解题，也可应用等腰三角形性质解题。证法一：过A作AFBC于F 可由HL证ADFAEF，ABFACF得DFEF，BFCF 再由等式性质得BDCE 详细证明过程请自己完成。证法二：由等边对等角得BC，ADEAED 所以ADBAEC，根据AAS可证ABDACE 得：BDCE证法三：过A作AFBC于F，由ABAC，得BFCF（三线合一），同理由ADAE，得DFEF 所以由等式性质可得BDCE。比较这三种方法可看出，多用等腰三角形的性质，可减少证三角形全等的次数。所以灵活运用等腰三角形的性质可简化证题过程。5、等腰三角形的判定判定一个三角形是等腰三角形的方法：1）等腰三角形的定义；2）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）注：1）该定理是证明两条线段相等的重要定理，它是把三角形中角的相等关系，转化为边的相等关系的重要手段。2）该定理与前面等腰三角形的性质定理是互逆定理。3）应用时，首先要正确区分题设与结论，不能混淆。如果一个三角形的三个角都相等，利用两次等角对等边，就可证出三角形的三边都相等，所以从等腰三角形的判定定理得到推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。例6、已知：在ABC中，ABAC，点D、E分别在AC，AB上，且ABDACE，BD、CE相交于O。求证：BOCO例7、已知：ABC中，ABAC，EF交AB于E，交AC的延长线于F，且BECF。求证：DEDF。分析：欲证DEDF，可以构造两个分别以DE、DF为对应边的全等三角形，那么选用CDF的标准，过E点作EGAC交BC于G，由等边对等角得BACB，解得BEGB，再由等角对等边得EGBE，再证EDGFDC从而得DEDF选用BDE为标准，过F作FQAB交BC延长线于Q，证法同。例8、在ABC中，BO，CO为角平分线，过O点作EF/BC交AB、AC于E、F。求证：EFBE+CF。分析：由BO平分ABC，EO/BC，得EBO为等腰三角形，所以EBEO，同理：FCFO，则原题得证。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、填空题：1、如果等腰三角形的一个外角是100，那么该等腰三角形的一个底角度数是 。2、如果等腰三角形的一边长为4cm，周长为10cm，那么另外两边分别是 。3、如图，ABC中，ABAC，BD是ABC的角平分线，且是BDBE，A100，则DEC 。4、如图，在ABC中，D是AC上一点，且ADBDBC，若ABC63，则DBC 。5、如图，在ABC中，A70，且三边AB，BC，AC的长分别是12cm，10cm，6cm，O是ABC中ABC，ACB的平分线的交点，OE/AB，OF/AC，则BOC ，EOF ，OEF的周长为 。6、ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若BAC115，则EAF_. 二、选择题：1、下列命题中：两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；等腰三角形的对称轴是底边上的中线；等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（）个A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2、下列图形中：平行四边形；有一个角是30的直角三角形；长方形；等腰三角形。其中是轴对称图形的有（）个A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个三、证明题1、已知：ABBC，BDAE，BADC，点C、D、E在同一条直线上。求证：ADED2、已知：ABC是等边三角形，BD是中线，延长