2019_2020学年高中数学第1章集合与常用逻辑术语1.1集合的概念教学案新人教A版.docx

1.1 集合的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法)教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合.【知识导学】知识点一集合与元素的定义元素：一般地，我们把研究对象统称为元素(element)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，表示集合中的元素知识点二集合中元素的三个特性(1)确定性；(2)互异性；(3)无序性知识点三元素与集合的关系(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA.(2)“不属于”：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.知识点四几个常用数集的固定字母表示知识点五集合的表示方法集合常见的表示方法有：自然语言、列举法、描述法(1)自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法使用此方法时，只要叙述清楚即可，如由所有正方形构成的集合，就是用自然语言表示的，不能叙述成“正方形”再如全体实数组成的集合，或实数集等(2)列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法(3)描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为xA|P(x)，这种表示集合的方法称为描述法知识点六 集合的分类(1)有限集；(2)无限集【新知拓展】1元素和集合关系的判断(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可此时应先明确集合是由哪些元素构成的(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件2集合的三个特性(1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明(2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素3使用列举法表示集合时需注意的几点(1)元素之间用“，”隔开；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)某校高一年级16岁以下的学生能构成集合()(2)已知A是一个确定的集合，a是任一元素，要么aA，要么aA，二者必居其一且只具其一()(3)对于数集A1,2，x2，若xA，则x0.()(4)集合y|yx2，xR与集合s|st2，tR的元素完全相同()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)下列所给的对象能组成集合的是()A“金砖国家”成员国 B接近1的数C著名的科学家 D漂亮的鲜花(2)用适当的符号(，)填空：0_，0_0,0_N，2_N*，_Z，_Q，_R.答案(1)A(2)题型一 正确理解描述法中元素的“代表符号”例1分析下列集合中的元素是什么？Ax|yx2，By|yx2，C(x，y)|yx2解三个集合都是用描述法表示的对于集合A，其中的元素是x，根据“yx2”，这里的x并没有什么限制，即x可以是任意实数，即集合A是由所有实数组成的集合，即实数集对于集合B，其中的元素是y，这里的x没有任何限制，即x可以是任意实数，但是通过“yx2”，元素y有了限制：实数的平方，从而B中的元素是非负实数对于集合C，从元素的代表符号“(x，y)”可以看出，其中的元素是有序实数对，这些数对的第一个数x没有限制，第二个数y受条件“yx2”的限制，因此C中的元素是有序实数对，且数对的第一个数取任意实数，第二个数是第一个数的平方(从几何角度讲，(x，y)就是坐标平面内的一个点，从而C中的元素就是抛物线yx2上的点)金版点睛 使用描述法表示集合时要注意：写清该集合中元素的代表符号，如xR|x1不能写成x1；用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等；不能出现未被说明的字母，如xZ|x2m中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的；所有描述的内容都要写在花括号内，如“xZ|x2m，mN*”不符合要求，应将“mN*”写进“”中，即xZ|x2m，mN*；元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若xR是明确的，则xR可省略不写，如集合DxR|x10也可表示为Dx|x10；多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如“x|x1”等试分析集合(x，y)|yx1的元素，并能从几何角度解释这个集合解集合中的元素是有序实数对，且第二个实数等于第一个实数加1.从几何角度：该集合就是一次函数yx1的图象，即直线yx1.题型二 判断元素与集合的关系例2已知集合Ax|xmn，m，nZ(1)判断0，(1)2，与A的关系；(2)若x1，x2A，试探究x1x2，x1x2与A的关系解(1)易知000，且0Z，所以0A.因为(1)232，且3,2Z，所以(1)2A.因为，且，Z，所以A.(2)因为x1，x2A，所以可设x1m1n1，x2m2n2，且m1，n1，m2，n2Z，所以x1x2(m1n1)(m2n2)m1m2(m2n1m1n2)2n1n2(m1m22n1n2)(m2n1m1n2)因为m1m22n1n2Z，m2n1m1n2Z，所以x1x2A.因为x1x2(m1m2)(n1n2)，m1m2Z，n1n2Z，所以x1x2A.金版点睛 该问题是判断所给的元素是否具有集合A中元素的特征，用自然语言理解为：所给元素是否能写成“整数整数的倍”的形式.可以看出，问题的实质是正确解读集合的表示方法(描述法).已知集合A，试判断2,2与A的关系解解法一：易知A3,0,1,2,4,5,6,9，所以2A,2A.解法二：当x2时，Z，所以2A；当x2时，xZ且6Z，所以2A.题型三 含参问题探究例3集合Ax|kx28x160，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解当k0时，原方程为168x0，x2，此时A2当k0时，若集合A中只有一个元素，则方程kx28x160有两个相等实根即6464k0，即k1，从而x1x24，集合A4综上所述，实数k的值为0或1.当k0时，A2；当k1时，A4金版点睛 对于含参问题，随着参数值的变化，问题的解发生变化，所以这类问题往往需要分类讨论.通过分类，把复杂的问题简单化，从而蕴含着转化的数学思想.把本例条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k的取值范围的集合解由题意可知方程kx28x160有两个不等的实根解得k1且k0.实数k的取值范围的集合为k|k1且k0.题型四 集合中的新定义问题例4已知集合A1,2,4，则集合B(x，y)|xA，yA中元素的个数为()A3 B6 C8 D9解析根据已知条件，列表如下：由上表可知，B中的元素有9个，故选D.答案D金版点睛 本例借助表格语言，运用列举法求解.表格语言是常用的数学语言，表达问题清晰，明了；列举法是分析问题的重要的数学方法，通过“列举”直接解决问题或发现问题的规律，此方法通常配合图表(含树形图)使用.定义A*Bz|zxy，xA，yB，设A1,2，B0,2，则集合A*B中的所有元素之和为()A0 B2 C3 D6答案D解析根据已知条件，列表如下：根据集合中元素的互异性，可由上表知A*B0,2,4，故其中所有元素之和为0246，故选D.1下列所给的对象不能组成集合的是()A我国古代的四大发明B二元一次方程xy1的解C某班年龄较小的同学D平面内到定点距离等于定长的点答案C解析C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性，故选C.2已知集合A含有三个元素2,4,6，且当aA时，有6aA，则a为()A2 B2或4 C4 D0答案B解析集合A中含有三个元素2,4,6，且当aA，有6aA.当a2A时，6a4A，a2；当a4A时，6a2A，a4；当a6A时，6a0A，综上所述，a2或4.故选B.3由实数a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析对a进行分类讨论：当a0时，四个数都为0，只含有一个元素；当a0时，含有两个元素a，a，所以集合中最多含有2个元素故选B.4用适