从高中数学《方程的根与函数的零点》教学设计感悟“启发与探究”式教学.doc

高中数学论文让探究引领数学课堂数学 从方程的根与函数的零点教学设计感悟“启发与探究”式教学【内容摘要】 掌握运用好“启发、探究”式教学，可以说是每一个教师的“梦想”这不仅是此教学方法，能将学生引领到一个“理想”学习环境，获得较理想地发展，也给教师带来一个对教育的全新认识，提升教育理念显然，实现这种教师自己的梦想，只停留在认识上是不够的从自己的教育行为中去感悟，并有目的如何地去行动，再感悟，体会此教学方法的本质，促进优化我们教学方法【关 键 词】 启发探究教学反思在我读书摘记中有这样一句话：“学习数学的唯一方法是做数学”读着，读着，有时我感觉自己明白，这毕竟是美国数学家哈尔莫斯所言，但有时我又感觉不明白，因我毕竟教了这么多年的数学，若我的学生也这样认识，那我可真惨了！随着二轮课改的的深入，我似乎渐渐地明白了什么一样，我细窥着我课堂中那鲜活生命的表现和目光中闪烁的求知欲望：我的每一次“疑问”、每一处“留白”、每一个“预设”，在他们十分“给力”的思维中，一次次“刷新”我的认知：数学家们的“做数学”，那是真正向未知世界强有力的探究，那怕是99次失败，也意味着“成功”就在后面，因这是在发现、在创造！学生们的“做数学”，也是真正向“未知世界”强有力的探究，同样也会失败，但那怕是99次失败，也意味着“成功”就在后面，因这是学生们对数学的再发现、再创造！探究，这一人类认识世界的利器，在今天的教育中，改变着我们的数学课堂，改变着我们的学生，也同样改变着我们自己探究，在数学的“再发现、再创造”领域，意味着学习者的认知需从“现有认知区”向“最近发展区”启航，探究，意味着教育者的认知需从原有的思想禁固解脱出来，向着“未知世界”勇敢地挺进，不默守陈规、不畏惧“一城一地”的得失！ 本文就笔者在人教版必修第三章31“函数与方程”第一课时的两个平行班的不同“教学设计”案例，以此谈一点笔者对数学课中“启发、探究式”教学设计中的一些想法，探寻课堂教学艺术的“设计与实施”的真谛，以期望与同行们交流，不当之处愿与其商榷！一、从学生的学习历程，感悟“方程的根与函数零点”的认知沟通高效课堂，是我们教师共同追究的目标建构主义学习理论认为：“知识不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定的情景下借助教师和学习伙伴的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式获得的它强调课堂教学以学生的学习为中心，不仅要求学生成为信息加工的主体、知识的主动建构者，还要求教师变为主动建构知识的指导者、促进者”无疑，在“启发、探究”式教学中，我们教师如何根据学生现有的认知水平，合理把握启发的度开展有意义的探究使课堂充满活力，使知识在自然中生成，我们教师该准备些什么？11对学生现有认知的分析：1学生经过前面课程学习，已经掌握了函数的概念、图像与性质及认识方法，并具有了基本初等函数等相关知识和初中相关方程知识的储备2随着学生知识“储备量”的增加，特别函数图像认知的全方位认识，其观察、分析、计算、推理，合理转换等探究的数学素养与意识，有了较大提升，即具备一定的数学结合能力12对本节新有的认知分析：1用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础2本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点存在的判定依据，不仅为“用二分法求方程的近似解” 这一“函数的应用”做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要的思想方法之一“函数与方程思想”的理论基础，起到了承前起后的作用3高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应13对课堂教学理念的认知：1我们希望自己的每一堂“常态课”都能成为自己的好课，可什么样的课算好课呢？笔者认为：一堂“好课”的本质，需要淋漓尽致地体现于这堂课的设计、实施是在一种思想的“笼罩”下进行2数学教育的目的是要以“发展学生的思维”为目标，如何教只是一种方式，而如何学，才是才是教育的本真即“以学生为本”，必须充分发挥学生的主动性，形成探究问题的意识与能力二、从“方程的根与函数零点”教学设计，感悟课堂教学的实效性“教育，是一门遗憾的艺术”如果施教者不去尝试着改变自己，不去站在学生的角度，思考问题的本质和解决问题的策略，那么，这“遗憾”也就真成了遗憾以下是自己在两个平行班（暂称、班，平时的教学感觉与第一次月考，整体实力班强于班，但班课堂思维活跃）中，对“函数与方程”的第一课时有意识进行的“改变”，以期体验教学实效性的差异，进而感悟教育的“本真”？21沿着知识的发生、发展设计教学，探究只是一种时尚【A班】教学设计与实施，偏重于传统教学方法，但过程特点仍然体现“探究”之意【引例1】思考：（）下列方程或不等式的解是什么？方程3x-5=0；不等式3x-50，3x-50，（）画出函数f(x)= 3x-5的图像，对比（），你认为与（）与它们有何关系？【引例2】观察三个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： 方程x2-2x-3=0与函数y= x2-2x-3 方程x2-2x+1=0与函数y= x2-2x+1 方程x2-2x+3=0与函数y= x2-2x+3 知识探究1：（1）求出以上一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象与x轴交点（2）观察方程的根与相应的二次函数的图象和x轴交点横坐标的联系【思考】上述发现的一般情境成立吗，你有什么结论？（以此，师生共同归结出：函数零点的概念）知识探究2:(1)根据零点的定义,零点本质上是一个点还是一个数? (2)如何求函数零点?【归纳】方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点知识探究3零点存在性的探索：（）观察二次函数f(x)= x2-2x-3的图象：提问3:计算f(-2) 和 f(1)乘积,你能发现这个积有什么特点?在区间上2，4上是否也有这种特点呢?1 在区间-2,1上有零点_；f(-2)=_，f(1)= _,f(-2)f(1)_0（或）2 在区间2，4上有零点_f(2)f(4)_0（或）（）观察下面函数y=f(x)的图象1 在区间a,b上_(有/无)零点；f(a)f(b)_0（或）2 在区间b,c上_(有/无)零点；f(b)f(c)_0（或）3 在区间c,d上_(有/无)零点；f(c)f(d)_0（或）【思考】：由以上两步探索，你可以得出什么样的结论（函数满足什么条件时在区间(a,b)内有零点）？（得出【结论】零点存在性定理：具体内容略） 质疑：y=f(x)在区间a,b上有零点应该满足什么条件？f(a)f(b)0（f(a)f(b)0）与有无零点有何关系？（让学生数形结合，举例对各种情况加以说明.）例1求函数f(x)= lnx+2x-6的零点个数（1）【启发】你遇到什么问题，是什么让你感觉“困难”？能否变通回避这“困难”？零点处，函数值怎样？零点左右，函数值又怎样？（以此，破解困难，寻求新的突破与发现存在定理的深度阅读和此类问题处理中的变化，进而提炼：函数零点的求法或判断方法）方法1：（代数法）求方程f(x)=0的实数根；f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点方法2：（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点或对方程进行变形，看成两个熟悉且能画图象的函数的交点课内练习：1利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）；（2）f(x)= 2xln(x-2)-3；（3）f(x)= ex-1+4x-4；2若f(x)=3mx-4,上，存在x0，使f(x0)=0，求m范围?知识小结：（略）22围绕核心概念、方法本质设计教学，探究是揭示数学本真的有效途径【B班】教学设计与实施，着意于教学方法的改变，更偏重于概念的本质核心与过程“探究”的学生思维【知识的引入】（教学实录片断）师：通过1，2两章的学生，我们对于函数的认识，有了一个“全新的感觉”，大家认为怎样快速而又地认识一个函数（生：函数的图像）？的确，现在我给大家一个函数的图像（如下图），你能说出这个函数的那些性质或特点？生1：单调性、对称性、与x(y)轴的交点、拐点、以及函数值的正负，还有最大或最小值.师：很好，你比较关心什么？（随机地叫了一位学生）生2：函数的图象与坐标轴的交点它与轴只有1个，而与轴有4个交点师：观察得比较细致，不错你怎么就观察到这些的，不是还有更多容易看到的东西吗？我想你肯定什么发现，不妨说说与大家分享分享生3：（生2的犹豫不决，给了他人一个机会）与轴的交点，横坐标为0，与轴的交点，纵坐标为0生2：（反驳道）我不是想这个问题，我是在想：与轴交点只能有1个吗？与轴的交点会有多少，怎么求？师：观察的价值在于发现问题，而发现的意义在于“破解”问题后，我们能获得“新知”！大家想想该同学发现了什么问题？生4：他发现了函数图像与坐标轴的交点中两个问题：交点个数问题，如何求交点问题师：提炼得很好，大家思考2分钟，看看如何“破解”顺着如上教学情景推进，归结得出了函数零点的概念（具体略），并及时给出问题：【练习与思考1】你能出求下列函数的零点吗？并从你的解法中，感觉到这些“零点”有什么“特别”吗？， 显然，这里的设计是希望学生通过“做数学”而获得了一种感觉：直接感觉“零点”与求方程的解的关系，而却体现与求另一个函数的函数值有关，感觉有零点却“不好”求不出来以此体验“做数学”还需学会思考与发现！5分钟后，我开始了学生思考的检查生5：这些零点就是用解方程来的如，但是生6：由零点的定义就知道：零点就是方程的根，但我认为是求函数的函数值为2的值但是师：两位同学都说出了他们的发现：（1）零点就是对应方程的根，（2）可能会涉及到新函数协助求解，什么“新函数”，依情况而定大家对此有无自己的发现？如果将问题变通一下，比如说只求“零点个数”时，你有什么新的认识？生7：如果是二次函数，则用判别式可解决“个数”问题，若不是，则观察方程，变化一下方程形式，再观察，确定新引进函数，但当两边都有时，一下还没想清楚生8：我发现这类问题，其实有几种相同的说法：函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点两个函数图像的交点这对类似特别有用师：他们的发现与总结，太棒了！我们就用他们的发现，试试下面问题如何求解？【探究】已知函数，求函数的零点个数，能否确定零点的大致范围，说明理由（由得出【结论】函数零点的存在性定理，同时感知引进函数的目的与方法，具体略）【练习与思考2】回答下列问题，并思考是否需要引进新函数，怎样引进，需要研究函数的什么性质？的零点有几个？,的零点有几个？函数的零点有几个，能否确定零点所在的大致区间？若，上，存在x0，使f(x0)=0，求m范围?小结：（1）从“代数”角度，零点问题知多少？（2）从“几何”角度，零点问题知多少？（3）对于函数，若，且，能否说明函数 在上的零点情况？（以下略）.三、教后的反思与感悟我们知道：探究的内涵在于发现问题和解决问题中的策略形成这些素养无疑是学生必须在学习阶段应该获得的体验和必须形成、并影响终身的能力所以，如何立足学生的思维视角，着眼于学生的理解与能力的提升的教学设计与实施，变知识讲解为合理“启发”，变知识学习为知识“探究”，变“做数学”为在问题中发现、思考，又在问题解决中“突破、拓展”，进而获得“思维力与学习力”的提升31启发与探究的指向性要明确启发什么、探究什么，要有清晰指向性本节课学习的中心是函数的零点，概念易懂，化归转换意识稍难，而如何引进函数，探究新函数什么性质与原问题的联系，对于学生来说，真难！这需要教育机智，更需要明确：它统领着整个教学过程，且可明可暗两个方案的设计都利用了创设一定的学习环境唤起学生的学习欲望，直接激起学生发现、探索问题的兴趣使学生进入有意义学习的心理状态进入探究阶段以启发性问题为载体激活学生的思维在教师的启发下问题的解决都指向函数的零点问题，并以此来开展整节课的探究活动【A班】案例（其实是以前教案的原版再现与实施回忆），所呈现出来是：教师以“知识传授”为目的，将知识“嚼碎”了给学生，虽说起点低，作为知识接受学生不难，但整节课以什么的“思想”来笼罩其“推进”，学生思维能力“借道”什么来提升？显然，设计者不明确（或根本就“无意识”！）数学活动中的探究动因不明，缺乏思维的“含金量”，而且有探究被“演绎”成了一种时尚之嫌！【B班】案例（即新课改意义下的教学设计与实录片断的现实版），通过图像分析引入，起点高，指向更明确，特别值得一提的是：教学设计在实施中，充分地尊重学生的思考、发现，并合理的引导、自然延伸，并总是在“某种思想”的笼罩下，促进着学生的积极思考，在交流、合作中提升着学生的思维品质，即始终注意数形结合思想、转换化归意识的渗透，抓住函数零点的本质理解，从启发到探究都围绕课堂的“核心指向”：让数学思想的运用笼罩着数学活动的整个过程起点虽高，但它直观，全体学生都能自我感悟到“问题”的指向性！32启发与探究的的设计要有预见性课堂的启发与探究活动充满着变化，要促成课堂的有效、合理地生成，需要提高教学设计中“预设”的科学性和实效性对“启发点”的预判、“探究问题”的设计，必须要了解学生的“现有认知水平”，要知道学生已经掌握了什么、可能遇见的困难，探究，要根据学生“现有认知区”与学习的数学对象的发展根本的“关联性”去设计探究问题，要预谋探究能促进学生思维从“现有认知区”向“最近发展区”的可能情况，这样才会使课堂探究具有真正“有意义”探究，这样，我们教育才能为学生的终生发展服务，也才能实实在在地培养学生的思维能力【A班】案例的引入以学生熟悉的一次和二次函数探究函数的零点能更好的激发学生学习的兴趣与积极性，主动参与到课堂来，只是为种“为知识而知识”的探究设计，缺乏思想深度，整个设计缺少“灵魂”支点【B班】案例的引入根据学生对图像的已学知识，启发学生去探究发现图像的“未知性质”起步于学生“现有认知水平”，通过图像与“坐标轴的交点”发现、思考、探究，引发学生的思维自然转向去探究“函数的”零点，特别是借道于两组【练习与思考】的设计，很好地引导了学生“做数学”的目的认知和对思维方向的引领充分体现出教学设计的预见性，也合理地促成着课堂的有效探究与生成！33启发与探究的设计有合理性和有效性无疑，课堂教学的“有效性”是每一个教师都在时刻关注的问题我们不能做得最好，但我们可以做得更好，这需要我们把握好启发的“节点”和探究的目标【B班】案例的设计与实施，在此显得自然、合理，推进的层次感比较分明，且有一定思维性探究过程，不仅体现着“以生为本”的课程理念，尊重学生的思考，而且通过精心、科学地“预设”，让探究活动在知识的发生、发展中，真正起到“上下沟通联系、左右拓展视野”的教育功能，特别是在“发现问题、提出问题和解决问题”的环节上，合理、有效地引领学生的思维活动，让学生悦快地学习和感悟数学！【班】案例的设计，因其关注的知识，想到的是“怎样教”，启发与探究的设计起点低、指向模糊而浪费了时间对零点概念学习中的“关键”把握不是很准确，对核心理解的未能“浓妆淡抹”，按部就班地平步直述，学生学习的激情不高，思维的活跃“兴奋”程度不够，以至于难以避免地让人感觉“深度不够”、缺乏“思想笼罩”！34启发与探究的主线要“以生为本”连贯而详略丰满以学生为