六年级奥数第一册二单元.doc

雅博培训学校暑假五进六强化班数学讲义 第二单元 解方程（组）不定方程 第一讲 解方程一、知识要点：1、什么是方程？方程必须同时满足两个条件：一是含有未知数，二是“等式”。如：，虽然含有未知数，但不是等式，所以不是方程，5+2=3+4虽然是等式，但不含未知数，所以也不是方程，既是等式，也有未知数，所以是方程，含有未知数的等式叫方程。2、什么是方程的解？使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；如，（注意：方程的解本身也是一个含有未知数的等式）求方程中的未知数,叫做解方程二、基本训练1、一步法解方程例1（1）（2）解：系数化为1得： 解：系数化为1得： 2、两步法解方程例2 （1）（2）解：合并同类项得： 解：合并同类项得： 系数化为1得： 系数化为1得： 3、三步法解方程例3 （1） （2）解：移项得： 解：移项得：合并同类项得： 合并同类项得：系数化为1得：系数化为1得：（注意：等号左边的数移到等号右边要注意“变号”。）4、四步法解方程例4 （1） （2）解：去括号得：解：去括号得：移项得： 移项得：合并同类项得： 合并同类项得：系数化为1得： 系数化为1得：5、五步法解方程例5 （1）（2）解： 去括号得：解：去括号得：去分母得： 去分母得：移项得： 移项得：合并同类项得： 合并同类项得：系数化为1得： 系数化为1得：三、综合训练例6 （1）（2）解：移项得：解：移项得：合并同类项得： 合并同类项得：系数化为1得：系数化为1得：例7 （1）（2）解：解： 四、特殊解法分解与组合法例8 （1） （2）解：将204分解质因数得： 解：将120分解质因数得：两个因数相差5：三个因数是连续的自然数：得得经检验，是原方程的解。经检验，是原方程的解。这类方程我们目前缺少直接解答所需的知识，可以采用如上“分解与组合”的技巧，得出适合小学里所学方程的解。到中学学习了更多的知识后，可以获得更为方便的解法和更为全面的答案。第二讲解二元一次方程组一、知识要点：前面我们介绍了含有未知数的等式叫方程，方程中的未知数的个数可以是一个也可以是多个，若一个方程中未知数的个数为，则称这个方程为元方程，若未知数的最高次数为，则称该方程为元次方程。简言之，“元”表示方程中未知数的个数，“次”表示未知数的最高次数。一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程，如，此方程的解惟一，即二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的最高次数是一次的整式方程，叫做二元一次方程，如，如果没有其他限制条件，此方程的解不惟一，如，都是原方程的解。二元一次方程组：有两个二元一次方程（至少有一个是二元一次方程）构成的同解方程。解一次方程组的基本思想是“消元”，通过消元，把一次方程组转化为一个一元一次方程来求解。求解二元一次方程组的方法主要有：代入消元法与加减消元法。二、代入法解二元一次方程组例1 解方程组解：由（1）式整理得将（3）代入（2）得 将代入（3）得所以原方程组的解为例2 解方程组解：将（2）整体代入（1），得将代入（2）式得，所以原方程组的解为。说明：有时可根据题目的特点，整体代入，简化运算。当然，不是所有的题目都像例3一样，直接就可以整体代入，有时，通过仔细观察，抓住原方程组的特征，将它先作一些处理，然后再整体代入。三、加减法解二元一次方程组例3 解方程组解：观察发现（1）式加上（2）式可以消去未知数，（1）式减去（2）式可以消去未知数，因此（1）+（2）得：（1）-（2）得：所以原方程组的解为例4 解方程组解：（1）2+（2）3得 将代入（1）得，所以原方程组的解为四、其他方法解多元一次方程组例5 解方程组解：（1）+（2）+（3）得，即（4）-（1）得，（4）（2）得，（4）（3）得。所以原方程组的解为说明：本题的未知元以对称的形式出现，此时，将方程叠加后，一般可简化计算。例6 解方程组解：换元，令，则原方程组等价于（3）-（4）6，得，故，将代入（4），得即，所以原方程组的解为说明：通过换元，将原方程组化为一次方程组。 第三讲 列方程解应用题 设未知数列方程解应用题有两个关键步骤：一是设未知数；二是找出数量间的等量关系。下面我们就从“设未知数”这一角度，帮助同学们列方程解应用题。一、设直接未知数此方法的特点是求什么设什么，这是最常用的方法。例1 爷爷今年78岁，三个孙子的年龄分别是27岁、23岁和16岁。几年后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄之和？分析与解 设x年后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄之和。这时，爷爷的年龄为（78+x）岁。三个孙子的年龄分别是（27+x）岁、（23+x）岁、（16+x）岁。根据题意列方程得：78+x=（27+x）+（23+x）+（16+x） X=6 答：6年后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄之和。同步练习：（1）哥哥放学回家，以80米分的速度步行回家，12分钟后，弟弟骑自行车以200米分的速度从学校往家中骑，经过几分钟弟弟可以追上哥哥？（2）五年级有六个班，每班的人数相等。从每班选16人参加少先队活动，剩下的同学相当于原来4个班的人数，原来每班多少人？二、设间接未知数 当直接设未知数列方程比较困难或列出的方程不易求解时，就要设与所求问题相关的间接未知数。例2 四、五年级共植树80课，五年级植树的棵数比四年级的2倍少4棵，五年级植树多少棵？分析与解 这道题如果直接设五年级植树的棵数为x，会给列方程带来很大的困难，而设间接未知数：四年级植树的棵数为x棵，五年级植树的棵数为（2x4）棵，就比较容易。设四年级植树的棵数为x棵，五年级植树的棵数为（2x4）棵。根据题意列方程得：x（2x4）80 X28 228452（棵） 答：五年级植树52棵。例3 老师发给学生练习本，每人6本则剩下41本；每人8本则少29本，求共有多少本练习本？分析与解 此题应选择谁设为x呢？如果直接设共有x本练习本，则难列方程，不易求出方程的解，所以间接设学生人数为x人，练习本数为：（6x41）本或（8x29）本。根据题意列方程得：6x418x29 X=35 63541251（本） 答：共有251本练习本。同步练习：（1）六年级同学坐车，每车8人则多24人；每车9人则多4人，求总人数？（2）一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张，实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务。原计划要生产多少张课桌？例4 招待所有20个大房间和25个小房间，共住150人，已知大房间比小房间多住3人，求大、小房间各住多少人？、分析与解 此题有两个未知数，根据题意，可以选择其中一个设未知数为x，用x表示另一个未知数。但如果这题直接设大房间住x人（或小房间住x人），会使题目变得更复杂，列方程更困难，而间接设与未知数相关联的量：大房间每间住x人，一共住20x；小房间每间住（x-3）人，一共住25（x-3）人。根据题意列方程得：20x +25（x-3）150 X5205100（人）大房间15010050（人）小房间答：大房间住100人，小房间住50人。同步练习：某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸盒中，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多，求塑料袋和纸箱各装多少件玩具？三、设辅助未知数有些题目没有给出解题所必需的条件，所设未知数的值无法求出，这时我们可以增设辅助未知数来架桥铺路，建立已知条件和所求问题之间的关系，使问题迎刃而解。例5 某考生参加了若干次考试，在最后一次考试时他发现，如果这次他考97分，那么他的平均分是90分；如果这次他考了73分，他的平均分则是87分。该考生一共参加了几次考试？分析与解 题中没有给出该考生前几次考试的总分，我们可以假设该考生一共参加了x次考试，前（x-1）次考试的总分是S。那么 S+97=90x S+73=87x 两式相减得：3x=24，x=8在上面的解法中，未知数是设而不求的，起“桥梁”的作用，一旦“过河”，“桥”便自然拆除。第四讲 列方程解应用题 找等量关系应用题教学是小学数学教学的一个重点，也是一个难点。如何正确解答，一般处决于学生的理解能力，即能正确理解题意，分析已知条件，理清数量之间的关系，从而推导出正确的解答方法。但在实际教学中，尤其是教学列方程解应用题时，我们也常会发现，学生找不到等量关系，从而无法正确解答。那么，如何让学生正确地找出应用题中的等量关系呢？我认为可以从以下几方面入手：1牢记计算公式，根据公式来找等量关系。这种方法一般适用于几何应用题，教师要让学生牢记周长公式、面积公式、体积公式等，然后根据公式来解决问题。例1 一个长方体棱长的总和是48厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的体积。分析与解 根据“（长+宽+高）4棱长总和”这一数量关系，可列出方程。由题意得，长=1.5宽，宽=2高解：设高为x厘米，则宽为2x厘米，长为3x厘米。根据题意列方程得：（x+2x+3x）448 X=2宽为：224（厘米）长为：326（厘米）24648（立方厘米）答：这个长方体的体积为48立方厘米。2熟记数量关系，根据数量关系找等量关系。这种方法一般适用于工程问题、路程问题、价格问题，教师在教学这三类问题时，不但要让学生理解，还应让学生记熟“工作效率工作时间=工作总量；速度时间=路程；单价件数=总价”等关系式。例2 电扇厂计划20天生产电扇1600台，生产5天后，由于改进技术，效率提高，完成计划还要多少天？分析与解 依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量(剩余工作量)，原有的工效：16002080（台），提高后的工效：80（1）100（台），时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因此列出方程的等量关系式：提高后的工效所需的天数剩下的台数。解：设完成计划还需x天。160020（1）x16001600205 80（1）x1600400 X12 答：完成计划还需12天。 3抓住关键字词，根据字词的提示找等量关系。这种方法一般适用于和差关系、倍数关系的应用题，在题中常有这样的提示：“一共有”、“比多（少）”、“是的几倍”、“比的几倍多（少）”等。在解题时，可根据这些关键字词来找等量关系，按叙述的顺序列出方程。例3 甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17，乙数的10倍除以甲数商3余45，求甲、乙两数。分析与解 被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数商余数。如果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商2余17，得甲数=2x+17。又根据乙数的10倍除以甲数商3余45，得10x3（2x+17）45，列出方程。 解：设乙数为x，则甲数为2x+17。 10x3（2x+17）45 10x6x+51+45 4x96 X242x+172241765答：甲数是65，乙数是24。4找准单位“1”，根据“量率对应”找等量关系。这种方法一般适用于分数应用题，有时也适用“倍比关系”应用题。对于分数应用题来说，每一个分率都对应着一个具体的量，而每一个具体的量也都对应着一个分率。在倍比关系的应用题中，也应找准标准量。因此，正确地确定“量率对应”是解题的关键。例4 有一批蔬菜，第一天卖出总吨数的，第二天卖出总吨数的，还剩下12吨，这批蔬菜共多少吨？分析与解 由题意得，“总吨数-第一天卖的-第二天卖的=剩下的吨数”。这里我们把总吨数看做单位“1”，总吨数是未知的，可以用x表示，则第一天卖出x，第二天卖出x，根据等量关系式列出方程。解：设这批蔬菜共x吨。X -x -x=12 X=70答：这批蔬菜共70吨。5补充缺省条件，根据句子意思找等量关系。这类应用题的特征是含有“比多（少）”、“比增加（减少）”等特定词，如：甲比乙多“几分之几”、少“几分之几”、增加“几分之几”、减少“几分之几”等类型的语句，题目中由于常缺少主语，造成学生理解上的困难。因此，教师在平时一定要强调让学生说“谁与谁比”、“以谁为标准”等，在缺少主语的情况下，让学生先把主语补充完整。例5 某工厂十月份用水4800吨，比原计划节约了，十月份原计划用水多少吨？分析与解 把原计划用水的吨数看作单位“1”，原计划用水的吨数是未知的，可以用 表示已知实际用水比原计划节约，也就说“计划用水吨数节约的吨数=实际用水吨数”或者说“原计划用水吨数=实际用水吨数”根据这样的等量关系式可以列方程解答 解：设十月份原计划用水 吨 答：原计划用水540吨 6利用好线段图，根据线段图找等量关系。有些应用题光从字面上来看，不容易理解，有时教师可辅以线段图帮助学生理解。当然，如果学生会画线段图，题目往往很容易解开。画线段图的关键仍是找准谁是单位“1”，其它量都是与单位“1”相比较而言的。而理解单位“1”，又往往可以从“比”、“是”等词语后面找到，也即“比”、“是”后面的量通常是标准量，是单位“1”。例6 有两筐苹果，每筐的个数相等，从甲筐卖出150个，从乙筐卖出194个，剩下的苹果，乙筐是甲筐的，原来每筐有多少个？分析与解 由题意得：乙筐剩下的苹果=甲筐剩下的苹果，乙筐剩下的苹果=原有苹果-乙卖出的苹果；甲筐剩下的苹果=原有苹果-甲卖出的苹果。其中只有原有的苹果数不知，可以设为x。解：设原来每筐有苹果x个。 X-194=（x-150） X-194=x-150X=216答：原来每筐有苹果216个。本讲小结：用方程解应用题的一般步骤：第一，仔细阅读题，分析题目中的已知条件和未知条件；第二，找出要设的未知数的量（用最简单的方法）；第三，找准题目中的等量关系，列出方程；第四，解出一元一次方程，并验证。第五讲：方程组法解应用题一、知识要点方程组法解应用题应该具备的前提条件：（1）题设条件中有两个或两个以上的等量关系；（2）题设条件中有两个或两个以上的未知量。此种情况下可建立方程组，通过对方程组的求解，直接或间接的找到所提问题的答案。二、方程组法解应用题例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地到乙地需9小时，从乙地到甲地需7.5小时，问甲、乙两地间的公路有多少千米？解：设从甲地到乙地的上坡路为千米，下坡路为千米，注意到从乙到甲时，上坡路和下坡路分别是从甲到乙的下坡路和上坡路，由题意有，解得所以甲、乙两地间的公路有140+70=210（千米）答：甲、乙两地间的公路有210千米。例2 甲、乙两书架各有若干本书，如果从乙架拿5本书放到甲架上，那么甲架上的书就比乙架上剩余的书多4倍；如果从甲架拿5本书放到乙架上，那么甲架上剩余的书是乙架上的书的3倍，问原来甲架、乙架各有书多少本？解：设原来甲架有书本，乙架有书本，根据题意，有 ， 解得答：原来甲架有书95本，乙架有书25本。说明：（1）如从乙架上拿5本书到甲架，则乙架上的书少5本，而甲架上的书要多5本，这一点千万别忘了。（2）“甲