高中数学 第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.4.1 方程的根与函数的零点课件 湘教版必修1.ppt

第2章 指数函数 对数函数和幂函数 2 4函数与方程2 4 1方程的根与函数的零点 学习目标 1 知道函数零点的定义 会求函数的零点 2 能说出函数零点的存在性定理 会判断函数零点的存在性及存在区间 3 能利用数形结合的方法分析方程根的个数或分布情况 4 会根据一元二次方程根的分布情况求参数范围 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 考察下列一元二次方程与对应的二次函数 1 方程x2 2x 3 0与函数y x2 2x 3 2 方程x2 2x 1 0与函数y x2 2x 1 3 方程x2 2x 3 0与函数y x2 2x 3 你能列表表示出方程的根 函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗 答案 预习导引 1 函数零点的定义 1 对于函数f x 把叫作函数y f x 的零点 2 求方程f x 0的实数根 就是确定函数y f x 的零点 3 函数y f x 的零点 也就是函数y f x 图象与交点的横坐标 方程f x 0的实数根 x轴 2 函数零点的存在性定理设f x 的图象是一条连续不断的曲线 当x从a到b逐渐增加时 如果f x 连续变化而且 则方程f x 0在 a b 内至少有一个根 即存在x0 a b 使 f a f b 0 f x0 0 要点一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点 如果存在 请求出 1 f x x2 7x 6 解解方程f x x2 7x 6 0 得x 1或x 6 所以函数的零点是 1 6 2 f x 1 log2 x 3 解解方程f x 1 log2 x 3 0 得x 1 所以函数的零点是 1 3 f x 2x 1 3 解解方程f x 2x 1 3 0 得x log26 所以函数的零点是log26 所以函数的零点为 6 规律方法求函数零点的两种方法 1 代数法 求方程f x 0的实数根 2 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数y f x 的图象联系起来 并利用函数的性质找出零点 跟踪演练1判断下列说法是否正确 1 函数f x x2 2x的零点为 0 0 0 2 解函数的零点是使函数值为0的自变量的值 所以函数f x x2 2x的零点为0和2 故 1 错 2 函数f x x 1 2 x 5 的零点为x 1 解虽然f 1 0 但1 2 5 即1不在函数f x x 1的定义域内 所以函数在定义域 2 5 内无零点 故 2 错 要点二判断函数零点所在区间 答案c 规律方法1 判断零点所在区间有两种方法 一是利用零点存在定理 二是利用函数图象 2 要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 若f x 图象在 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在 a b 上必有零点 若f a f b 0 则f x 在 a b 上不一定没有零点 跟踪演练2函数f x ex x 2零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 解析 f 0 e0 0 2 1 0 f 1 e1 1 2 e 1 0 f 0 f 1 0 f x 在 0 1 内有零点 c 要点三判断函数零点的个数例3判断函数f x lnx x2 3的零点的个数 解方法一函数对应的方程为lnx x2 3 0 所以原函数零点的个数即为函数y lnx与y 3 x2的图象交点个数 在同一坐标系下 作出两函数的图象 如图 由图象知 函数y 3 x2与y lnx的图象只有一个交点 从而lnx x2 3 0有一个根 即函数y lnx x2 3有一个零点 方法二由于f 1 ln1 12 3 2 0 f 2 ln2 22 3 ln2 1 0 所以f 1 f 2 0 又f x lnx x2 3的图象在 1 2 上是不间断的 所以f x 在 1 2 上必有零点 又f x 在 0 上是递增的 所以零点只有一个 规律方法判断函数零点个数的方法主要有 1 对于一般函数的零点个数的判断问题 可以先确定零点存在 然后借助于函数的单调性判断零点的个数 2 由f x g x h x 0 得g x h x 在同一坐标系下作出y1 g x 和y2 h x 的图象 利用图象判定方程根的个数 3 解方程 解得方程根的个数即为函数零点的个数 跟踪演练3函数f x 2x log0 5x 1的零点个数为 a 1b 2c 3d 4解析将函数零点视为两个函数图象的交点横坐标 分别画出函数图象 利用数形结合求解 在同一坐标系下分别画出函数g x h x 的图象 可以发现两个函数图象一定有2个交点 因此函数f x 有2个零点 答案b 1 2 3 4 5 d 1 2 3 4 5 2 对于函数f x 若f 1 f 3 0 则 a 方程f x 0一定有实数解b 方程f x 0一定无实数解c 方程f x 0一定有两实根d 方程f x 0可能无实数解解析 函数f x 的图象在 1 3 上未必连续 故尽管f 1 f 3 0 但未必函数y f x 在 1 3 上有实数解 d 1 2 3 4 5 a 6 7 b 7 8 c 8 9 d 9 10 解析因为f 9 lg9 1 0 d 1 2 3 4 5 4 方程2x x2 0的解的个数是 a 1b 2c 3d 4解析在同一坐标系画出函数y 2x及y x2的图象 可看出两图象有三个交点 故2x x2 0的解的个数为3 c 1 2 3 5 4 5 函数f x x2 2x a有两个不同零点 则实数a的取值范围是 解析由题意可知 方程x2 2x a 0有两个不同解 故 4 4a 0 即a 1 1 课堂小结1 在函数零点存在性定理中 要注意三点 1 函数是连续的 2 定理不可逆 3 至少存在一个零点 2