大学数学实验八_线性规划.pdf

1 大学数学实验八 线性规划 实验报告实验报告 实验目的 1 掌握用 MATLAB 优化工具箱解线性规划的方法 2 练习建立实际问题的线性规划模型 实验内容 6 某银某银行经理计划用一笔资金进行证券投资 可供购进的证券以及其信用等级 到期年限 行经理计划用一笔资金进行证券投资 可供购进的证券以及其信用等级 到期年限 收益如下表所示 收益如下表所示 按照规定 市政证券的收益可以免税 其他证券的收益需按按照规定 市政证券的收益可以免税 其他证券的收益需按 50 的税率 的税率 纳税 此外还有以下限制 纳税 此外还有以下限制 政府及代办机构的证券总共至少要购进政府及代办机构的证券总共至少要购进 400 万元 万元 所购证券的平均信用等级不超过所购证券的平均信用等级不超过 1 4 信用等级数字越小 信用程度越高信用等级数字越小 信用程度越高 所购证券的平均到期年限不超过所购证券的平均到期年限不超过 5 年 年 试问 试问 若该经理有若该经理有 1000 万元资金 应如何投资 万元资金 应如何投资 如果能够以如果能够以 2 75 的利率借到不超过的利率借到不超过 100 万元资金 该经理应如何操作 并考虑利率万元资金 该经理应如何操作 并考虑利率 在什么范围内变化时 投资方案不改变 在什么范围内变化时 投资方案不改变 在在 1000 万元资金情况下 若证券万元资金情况下 若证券 A 的税前收益增加为的税前收益增加为 4 5 投资应否改变 若证券投资应否改变 若证券 C 的税前收益减少为的税前收益减少为 4 8 投资应否改变 投资应否改变 证券名称证券名称 证券种类证券种类 信用等级信用等级 到期年限到期年限 年年 到期税前收益到期税前收益 A 市政市政 2 9 4 3 B 代办机构代办机构 2 15 5 4 C 政府政府 1 4 5 0 D 政府政府 1 3 4 4 E 市政市政 5 2 4 5 2 一 线性规划的模型建立一 线性规划的模型建立 这很明显是一个约束优化的问题 其模型应该包括决策变量 目标函数和约束条件三个 部分 一 决策变量 一 决策变量 具体到这个问题 决策变量应该指的是这个银行经理的投资意向 设他对这 5 个证券 分别投资了 万元 二 目标函数 二 目标函数 毫无疑问 这个银行经理进行投资活动 一定是希望能够利用手头的资金获得最大的 收益 所以目标函数是最终的总收益 最终的总收益即每种证券的收益之和 再扣除非市 政证券的收益税收 具体到这个问题 非市政证券的所得税率是 50 相当于非市政证券 的收益减小了一半 故有 三 约束条件 三 约束条件 这个问题有来自几方面的约束 1 政府和代办机构证券的最低购入量限制 2 所购证券的信用等级限制 即 3 所购证券的到期年限限制 即 4 购买资金总额限制 按照常理 要让手头的资金发挥最大的价值就必须全部投资 5 决策变量皆为非负 3 综上所述 可得如下基本模型 二 利用二 利用 MATLAB 分析投资方案分析投资方案 利用 MATLAB 的 linprog 程序求解这个问题的最优解 有几个问题需要说明 1 程序 默认求解最小值 故将目标函数取负 2 约束条件中有大于号的应两边取负变为小于号 具体程序如下 运行上面的程序后得到的最优解和最优值如下 c 0 043 0 027 0 025 0 022 0 045 A1 0 1 1 1 0 0 6 0 6 0 4 0 4 3 6 4 10 1 2 3 b1 400 0 0 A2 1 1 1 1 1 b2 1000 v1 0 0 0 0 0 x f exit out lag linprog c A1 b1 A2 b2 v1 x 218 1818 0 0000 736 3636 0 0000 45 4545 f 29 8364 exit 1 x表示最优解 f表示最优值 exit 1表示收敛 这个程序采用的方法是内点法 algorithm large scale interior point 4 可见 这个银行经理手中的可见 这个银行经理手中的 1000 万元应该这样投资 购买万元应该这样投资 购买 A 证券证券 218 1818 万元 购万元 购 买买 C 证券证券 736 3636 万元 购买万元 购买 E 证券证券 45 4545 万元万元 最终的收益为 最终的收益为 29 8364 万元 万元 输出的 lag ineqlin 如下 0 0000 0 0062 0 0024 这表明第一项约束式并没有起作用 而第二个和第三个约束条件起了作用 即在这个最优解 下 第 2 3 个约束条件是等式约束 下面尝试使用不同的算法进行计算 通过比较它们的迭代次数来反映其优劣 前面使 用的方法是内点法 程序输出的迭代次数为 6 根据教材上对内点法的介绍 它在解决特别 大规模的问题时有明显优势 本题属于小规模的线性规划问题 内点法是否有优势不能确定 用有效集方法和单纯形算法计算的程序如下 加在上面的程序之后即可 运行程序后发现 输出的最优解和最优值完全一样 而有效集方法的迭代次数为 4 单 纯形算法的迭代次数仅为 1 可见 在像本题一样的小规模线性规划问题求解过程中 内点 法并没有明显优势 三 分析可贷款情况下的投资方案三 分析可贷款情况下的投资方案 在上述程序运行完毕的基础上 让 MATLAB 输出 lag eqlin 输出量为 0 0298 这个数 字的意义是 总投资金额每增加 1 万元 最终收益会增加 0 0298 万元 也就是说投资金额 每增加 100 万元 最终收益会增加 2 98 万元 扣除贷款利率的 2 75 万元 最终收益能够增 加 0 23 万元 这样来看 最终收益约为 30 07 万元 将上述程序中的 1000 改为 1100 再运行 得到的最优解是 得到的最优值为 32 8200 简单计算一下 发现对证券 A C E 的投资分别增加了 21 8182 73 6364 4 5455 也就是 说 新增加的 100 万元投资也是按照原来对三个证券的投资比例进行投资的 可见投资方案 opt1 optimset largescale off x f exit out lag linprog c A1 b1 A2 b2 v1 opt1 opt2 optimset opt1 simplex on x f exit out lag linprog c A1 b1 A2 b2 v1 opt2 5 并没有改变 而最终的收益为 32 8200 2 75 30 0700 万元 与之前的分析吻合 根据上述分析 只要贷款利率小于 2 98 将贷款来的钱再投资进去 最终收益就会增 加 一旦利率等于或大于这个值 投资收益的增加不能抵过贷款利息的偿还 最终收益反而 会减小 这样的话就不应贷款 四 分析收益率扰动对投资方案的影响四 分析收益率扰动对投资方案的影响 将程序做如下修改 以观察证券 A C 的收益率的扰动对投资方案会不会产生影响 当 A 的收益率增加到 4 5 时 输出的最优解与之前的结果完全一样 说明投资方案不用改 变 而当 C 的收益率减小到 4 8 时 输出的最优解发生了很大的变化 结果为 虽然变化量都是 0 2 但是产生的结果却完全不一样 这说明了最优投资计划对证券 C 收 益率的敏感程度高于对证券 A 收益率的敏感程度 上面所作的 实际上是线性规划的敏感性分析 就是要求最优解不变条件下目标函数系 数的允许的变化范围 遗憾的是 MATLAB 没有给出这种敏感性分析的结果 事实上 经 过进一步的枚举试验 发现证券 A 收益率在 3 1 4 6 范围内变动 最优解均不变 而证 券 C 收益率的变化范围是 4 9 8 4 实际问题中的 波动 是不可能预知是增加还是减 小的 证券 C 的收益率变化范围虽然比较大 但是一旦降低超过 0 1 最优解就发生了变化 相比之下 证券 A 的收益率上下变动 0 3 范围内最优解都不会发生变化 可见最优投资计 划对证券 C 收益率的敏感程度高于对证券 A 收益率的敏感程度 c 0 045 0 027 0 025 0 022 0 045 c 0 043 0 027 0 024 0 022 0 045 A1 0 1 1 1 0 0 6 0 6 0 4 0 4 3 6 4 10 1 2 3 b1 400 0 0 A2 1 1 1 1 1 b2 1000 v1 0 0 0 0 0 x f exit out lag linprog c A1 b1 A2 b2 v1 6 8 某牧场主知道 对于一匹平均年龄的马来说 最低的营养需求为 某牧场主知道 对于一匹平均年龄的马来说 最低的营养需求为 40 磅蛋白质 磅蛋白质 20 磅碳磅碳 水化合物 水化合物 45 磅粗饲料 这些营养成分是从不同的饲料中得到的 饲料及其价格磅粗饲料 这些营养成分是从不同的饲料中得到的 饲料及其价格在下表中在下表中 列出 建立数学模型 确定如何以最低的成本满足最低的营养需求 列出 建立数学模型 确定如何以最低的成本满足最低的营养需求 蛋白质蛋白质 磅磅 碳水化合物碳水化合物 磅磅 粗饲料粗饲料 磅磅 价格价格 美元美元 干草干草 捆捆 0 5 2 0 5 0 1 80 燕麦片燕麦片 袋袋 1 0 4 0 2 0 3 50 饲料块饲料块 块块 2 0 0 5 1 0 0 40 高蛋白浓缩料高蛋白浓缩料 袋袋 6 0 1 0 2 5 1 00 每匹马的需求每匹马的需求 天天 40 0 20 0 45 0 一 线性规划一 线性规划的的模型建立模型建立 这个约束优化的问题的模型也应该包括决策变量 目标函数和约束条件三项内容 一 决策变量 一 决策变量 这个问题的决策变量是干草 燕麦片 饲料快和高蛋白浓缩料这 4 种饲料的用量 设 为 单位为上表中第一列中的单位 二 目标函数 二 目标函数 这个问题的核心在于如何在满足马的基本营养需求的条件下 把饲料的成本压得最低 故目标函数应为饲料的总价格 设为 且有 三 约束条件 三 约束条件 这个问题比较简单 只有两个约束条件 1 马的基本营养需求限制 2 决策变量皆为非负 综上所述 可得到如下模型 7 二 二 利用利用 MATLAB 分析饲料购买方案分析饲料购买方案 这里还是利用 MATLAB 里的 linprog 程序求解 运行这个程序 输出的最优解为 根据题意 决策变量应该取整数 可是这样的话 前三个约束条件中的等号就不能严格 满足 实际情况是 将等号改为大于等于号 也可以确保马的最低营养需要被满足 程序用 上面的即可 只是在调用 linprog 命令时 需要改变一下参数 具体如下 再运行这个程序 得到的最优解为 最优值为 17 输出的 lag ineqlin 如下 0 0000 0 4000 0 2000 这表明第一项约束式并没有起作用 而第二个和第三个约束条件起了作用 即在这个最优解 下 第 2 3 个约束条件是等式约束 可见 这个牧场主可见 这个牧场主应该给他的马配备的饲料是 应该给他的马配备的饲料是 5 捆干草和捆干草和 20 块饲料块 这样饲料的块饲料块 这样饲料的 成本最低成本最低 为 为 17 美元美元 c 1 8 3 5 0 4 1 A2 0 5 1 2 6 2 4 0 5 1 5 2 1 2 5 b2 40 20 45 v1 0 0 0 0 x f exit out lag linprog c A2 b2 v1 x f exit out lag linprog c A2 b2 v1 8 在上一题中 经过分析发现内点法并没有明显优势 本题亦是一道小规模的线性规划问 题 内点法是不是依然没有优势呢 下面比较一下用不同算法计算时的迭代次数 上面用的 算法是内点法 输出的迭代次数是 10 在之前程序的基础上运行上面的程序 首先 不同算法得到的最优解和最优值是完全一 样的 其次比较它们的迭代次数 有效集方法的迭代次数为 5 单纯形算法的迭代次数为 2 这再次说明 在小规模的线性规划问题中 内点法没有明显优势 实验总结 这次的实验内容比以往任何一次都来得简单 易于操作 首先 线性规划的模型建立 遵循着约束优化模型建立的一般步骤 根据题目的叙述很容易建立相应模型 其次 MATLAB 软件提供了求解线性规划问题的专门程序 还提供了不同的算法 可以进行准确 计算 另外 这已经是第六次数学实验了 MATLAB 软件的应用已经不成问题 虽然这次实验很简单 但是它的重要性却很大 因为生活中也