经典物理中的轨道角动量和自旋角动量.pdf

第 1卷 第 l期 2 X 3年9月 红河学院学报 以川过O fHo ngl祀Un i e玲ity V o l IN 岌P 2 X 3 经典物理中的轨道角动量和自旋角动量 王世恩 蔡群 王东云郭德伟 红河学院物理 系 云南蒙自6 6 1 1 0 0 摘 要从经典力学中质点系的角动量导出轨道角动 量 和自旋角动量的概念 并给出如地球运动的自 定轴运动刚体的轨道角动量和自旋 角动 量 以及一般运动刚体的轨道角动量 和自旋角动量 关键词经典力学 质点系 轨道角动量 自旋 角动量 刚体运动 中图分类号以文献标识码 A 文章编号 10 0 8 一 9 128 20 03 0 1 一 0 03 6 一 l 引言 在有 的量子力学著述川 P 3 4 中声称 自旋角动量 这个力学最并无经典对应 实际 上 这 是 难以接受的 因 为没有的 应该是经典 自旋所对 应的 自旋算符 因为在经典物理中确实可以导出自旋角动量这 个 概 念 轨 道角动举 和自旋角 动曦 是物理学中最基本和最重 要 的两个概念 在一般的普通物理已 3 4 5为 一 和理论力学味 9一 教 科书中却鲜见出现 既便有 不是表 出过程有问题红 就是导 出中间过程 不紧凑 而这两个基本概念有必要在经典物理学中建立 并且要 严格建 立 这 对搭建物理学理论体系 是极 为必 要的 本文试图在下 一节从经典力学质点系的角动量表出轨道角动录和自旋角动量 并与科尼希定理作比较 以表明 这 样表述 的重要性 在第3节 中将从定轴转动刚体的角动量 进一步推出类似于太阳系中行星作 自定轴刚体运动的轨道 角动量和自旋角动量 在第4节中将对 一般刚体的运动给出其轨道角动量和自旋角动量 最后作一 总结 2 经典力学中的轨道角动量和自旋角动量 要导出轨道角动量和自旋角动量 还得从质点系的质心概念开始 考虑这样一个由 个质点 n m 叭 m 组成质点系 各质点相对于实验室参照系内一定点 实验 室参照系内定点 的位置矢娥花就有 的位置矢量分别为万 刃导一万 该质点系的质心相 对于 二 育 二 艺 n 乙 万 l 收稿日期 2以 3 一 0 3 一 以 第一作者 王世恩 19 59 一 男 云南澄江人 副教授 硕士 主要从事基 础物理和理论物理 的教学 与研究 O王世恩等经典物理中的轨道角动量和自旋角动量3 7 如图1 若质点系各质点相对于质心 c的位置矢量分别为刃 万 一刃 一刃 则有 r 二 r c 十 r i 2 现考虑建立固结于质心并随质心一起相对于实验室参照系作平动的质心参照系 则 2 式乘以 m 后对整个质点系 求和并利用 1 式就得 二 m i 刃 习 m 万一 二 万 二 0 3 z 过多 图1 质点系第 i个质点的位置及相对于质心的位置 图2刚体的定轴转动 3 式可称为相对质心定理 再对时间 t 求导就可以得到相对质心系的动量定理 旦 又了 d t 二 r i 寸 二 0 乙 二m i蔺 0 4 产 中守 蕊 寻 习 质点系各质点相 寸 于质心系的速度 在作了上述准备后 现在 就可以导 出轨道角动量和自旋角动 量的概念了 以吸乘以 2 式再对时间 m ivi 了ni c m 乙公i t 求导可得 5 其中二 蕊 一了 二 质点系各质点相对于实验室系的速度 而蕊为质心相对于实验室系的速度 而以万叉 乘 5 式得 育 x m i 蔺 二 万 十 育 x m i 花 蕊 十 育 X m i公乙 I卡 C 一一r一 d 一 JU 一 叮 m i 丁 二 花 m 花 d 寸 x m 寸 d寸 二 I m 一 r i一 rC一r Q艺d t C 6 式就可化为 m 花 十 万 X m i 蔺 育 X 叭 i 6 二一 万 m 了 十 育 m i 蕊 d 寸 x m 寸 一一 C i 一 一 一 r i X 叭 r c x 叭 一一石 i一 一一 乙 x m x m 7 对整个质点系求和就得 二 育 x m 动 又 万 又 m i 动 d 了 m 寸 C 一 不 J l 十 娜 叫曰 宁艺 2 花xm 蔺 二 刃 m 蔺 即二 刃 x 饥 了 E 万 义 m i 花 立甲 一 dt J r c x m 刃卜花 又 E m 了 艺 刃 x 叭 二 育 x m 蔺 艺 不 x m 蕊 弃万 E n 刃卜蕊 x E m 了 E 刃 x m 乙 i 刀了 产 八6 9 尸 哎 了 泞 利用相对质心定理 3 式和质点系对质心 系的动量定理式 4 就得 艺 育 xn 了 艺 花 蕊 二 刃 x m i 蔺 即 了 二 乙 乙 3 8红河学院学报 2印3 创刊号 自然科学 护 廿 了 0 t l 胜 冠 l 了 几 了军 其中了 艺 育 又 m i 动 为质点系相对于实验室系总的角动量 又 乙 艺 不 x m 荞 不 M 蕊 为把质点系的质量赋予质心随质心一起作平动时相对于实验室 系的角动量 一般称之为轨道角动量 而 乙 二 艺 户一 子 l z 为质点系相对 于质心的角 动量 以后我们会看到 这部分角动量就是物体自旋角动量的来源 不妨现在就称之为自旋角 动量这样 8 式表明质点系总的角动量就是其轨道角动量与 自旋角动量 之和 这个表述及其重要 不 妨称之为角 动 量相对定理 这可与如下众所周知的利 一 尼希定理作比较 质点系的总动能 等于系统的质量集中赋予质心随质心作平动 丫 的动能与系统各质点相对于质心运动的动能之和 即 二 艺 合二 r 合m i v l 二 告 m 洲 13 3 自定轴转动刚体的角动量 我们看到行星绕太阳运行时 不但在作轨道运动 行星本身还在作 自旋一般行星自转轴 的方 向摆动很小 相对于 自身可视为不动 这样的运动可称之为刚体的 自定轴转动 其总的角动量也可分为轨道角动量和自旋角动量两部分 但 为了讨沦清楚 我们还是从刚体的定轴转动开始 如图2 取定轴的方向为 么 轴方向 则刚体作定轴转动的角速度就为 了 毋 了 l 刚体上位置矢量为 2 1 12 气 若 U l 立 z zt 的质量元dm其速度为 i 十了 j 十 万 k 田 X r 对定轴上参考原点的角动量就为 d 了 二 了 d m 了 了 又 了 对整个刚体求和积分就得 了 二 田 一 了 其中 丁 尤2十 2 d 爪 为刚体对定轴 的转动惯 量 而 17 式 中 了 m 一 了 一 二 了 护 十 户和 m 一 二 了 尹 了 dm 17 18 二 那d矶 和 二 丁 二dm 1夕 2 0 均为惯性积 如果定轴 刚好是刚体的惯量主轴 并选取固结于刚体上的 和 轴也为惯量主轴 则 赓性 积为零 此时定 轴转动的刚体其角动 量只有轴分量 田丁 2 广 d 爪 Z t夕 对于绕太阳运行的行星 其自转轴一般都通过行星的澎以可如图3建立参照系 其h a 运动参照系s 为随质心 起绕太阳作轨道运动的平 动参照系 即质心参照系 行星这样的运动可称为刚体的 自定轴运动 如此可将 8 式改写为 了 二 丁 了 X 了 d 二 花 M 花 丁 了 了 d爪 其电瓦 花 x M 蕊 就是行星绕太阳公转 的轨道角动量 而了 了 了 了 二 x 2 2 行了 十 z l 不仿 l 7 式 就有 了 了 dm 公 一 了 一 了一 了 一 了 dm 23 O王世恩等 经典物理中的轨道角动量和自旋角动量3 9 选取 当的 量主轴 为固结 行星的坐标轴 使得 积 X 名 d 矶和 二 艺 d 均为零 贝 丁 了 了 d 执 二 言丁 X 2 十 2 d n 二 言 2 4 t护 一 勺 6 弓 门 r 了 了 这正好就是行星绕其自转轴的角动量 即自旋角动量 乙 二 几了 行星总的角动量就是其轨道角动量与 自旋角动量之和 即 了 瓦 乙 二 花 m 花 十 几 言 一 一 乡 一一尹 图3 行星绕太阳的运动相 当于刚体的自定轴运动 4 一般刚体运动的角动量 刚体的一般运动可看成是刚体相对于某点的定点转动与该点平动的合成而对于刚体的定点转动 刚体相对于定 点的角动量可表为 少 少 户 fC 6 2 2 了 了 了产 了 二 L x 了 十 吞了 十 训 七 几 J 乙了 又 寸 x m 寸 二 几 一 i 刀i 展开后可表为 L 二 I 田 纵 一 场 一 今今 一 几 一 乌 艺 m 育 x 了 x 育 叭 t迁 29 r了 Z 了 丫乎 L 现在我们把刚体的一般运动看成是刚体绕其质心的定点转动及质心的平动的合成 于是又可以利用 8 式及 2 7 式 将一般运动的刚体的角动量表为 了 少了 U l 飞 曰内 Z万 r 了 E 育 了 艺万 又 m i 蕊 刃 即了 不 x M 蕊 艺 刃 x 了 x 刃 x 吸 公i 同样仿 28 和 2 9 式 一般运动的刚体 其角动量就为 了 二 不 X M 花 十 布 了 即了 乙 十 乙这表 明一般运动的刚体 其角动量也可表为其 质量赋予质心随质心一起作平动时的角动量及刚体绕其 质心转动的角动量之和 即轨道角动量与 自旋角动量之和 5 小结 由上述两节我们知道 轨道角动量和自旋角动量的概 念可从经 典物理导 出 即从质点系的角 动量可分 为质心运动 的角动量及质点 系相对于质心的角动量 进而得到轨道角动量和自旋角动量的概念 质点系的质量赋予质心 随质心一 4 0 红河学院学报 2 X 3 创刊号 自然科学 起运动 的角动量 我们称之为轨道角动量 而质 点系相对于质心的角 动量 就可称之为自旋角动量碑 目地球相对于太阳 系总的角动量 可等于地球的质量赋予地心绕太阳作轨道运动 的轨道角 动量与地球相 对于地球质心 的自旋角动量之 和 又如氢原 子核外的电子的角动量 可等于电子绕原子核运转的轨道角动量与电子 自身的 自旋角动量之和 轨道角动量与自旋角动量之和为物体总的角动量这一表述 可称之为角动量相对定理 即 9 2 6 和 31 式 其 重要性 地位和意义 可与众所周知的科尼希定理 l3 式比较 确如本文所 给出的 在 经典物理 中有着可对 应于量子力学的自旋角动量这一基本概念其实 这种对应在量子力 学 中已有具体的处理方案皿 l 3 1 4 参考文献 l 曾谨言 量子 力学 M 第2版 北京 科学出版社 19 9 7 幻 梁绍荣 刘昌年 盛正华 普通物理学 第一分册 力学 M 北京 高等教 育出版社 3 漆安慎 普通物理学教程 力学 M了 北京 高等教育出版社 4 卢德馨 天学物理学 M 北京 高等教育出版社 习 c 儿t t e l w D 枷g h t M A R u d a n 伯克利物理学教程 力学 M 陈秉乾译 科学出版社 1卯9 比 M 月 E J F in n 大学物理学基础 力学与 热 力学 M 梁宝洪译 北京 高等教育出版社 1 98 3 7 周衍柏 理论力学教程 M 第2版 北京 高等教育出版社 8 胡辛录 理论力学 M 西安 陕西师 范 大学出版社 19 91 9 匕r 涅符兹格利亚多夫著 理论力学 M 黄念宁译 北京 人民教育出版社 1 96 5 1 0 赵凯华 罗蔚茵 新概念物理教程 力学 M 北京 高等教育出版社 19 95 1 1 K W Fo记 cl a ss i ca l a n d M诫m phys ic s Xe 1D x Co l l eg e p ublis枯n g 19 72 Vo l 1 口l a P 9 1 2 P A M 肠r a c T h e 孙n ci n l e so fQu田ltlu n Me c hal五 c 万玉 d 19 58 C ha P 1 1 l s 殷鹏程编 量子场论纲要 M 上 海 上海科学技术出版社 19 86 ch a v 2 1 4 曾谨言 量子 力学 M 北京 科学出版社 第2版 19 9 7 卷 n c l la p 5 c ha P 9 责任编辑李俊生 o r b ita lA ngular M o m e n t u m an dSPinin theClassiea l P勿515 1不姓j V召s hi 一 e n 乙41Qu nl 双儿 吟D o n g 一 q 乙几 U O D e 一 w e i D epar illlen t o f pl lysies H ollg he U n iv e招it y M ellgzi66 11 X Chi na A b stl act De r i v ed t h e o o nc eP t s o f o r b i妞 a n d s n i n f r Olll t h e a ng ul a r e n tU m o f 而 pa r t i e玩s s v ste l n inCla s siea l l hvsie s a lld 酬e n t h e o r b ital m o m e n t u m alldspino ft h e s e任一 f ix 一 a x is m o v em