高等数学学习方法FIC讲座6.pdf

哈尔滨工程大学理学院 卜长江哈尔滨工程大学理学院 卜长江 高等数学学习方法高等数学学习方法高等数学学习方法高等数学学习方法 FIC FIC 系列讲座系列讲座系列讲座系列讲座6 6 期末考试如何复习 期末考试如何复习 期末考试如何复习 期末考试如何复习 卜长江卜长江卜长江卜长江 Email buchangjiang Email buchangjiang Tel 82519384Tel 82519384 OO 哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系 2009 12 222009 12 22 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 高等数学高等数学FIC学习方法学习方法 F 基础 基础知识 主要内容 问题 I 思想 问题的核心 本质 体系 C 分类解题 将数学问题分为若干类 研究 每一类问题的解法 F 基础 基础知识 主要内容 问题 I 思想 问题的核心 本质 体系 C 分类解题 将数学问题分为若干类 研究 每一类问题的解法 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 期末考试复习期末考试复习 极限极限 导数与微分导数与微分 导数应用导数应用 不定积分不定积分 定积分及其应用定积分及其应用 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 1 利用用左 右极限求极限1 利用用左 右极限求极限 分段点 分段点 绝对值为零的点 绝对值为零的点 函数在一点左右变化趋向不一致的点 如函数在一点左右变化趋向不一致的点 如 1 00 1 lim limarctan x xx e x 等 等 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 1 若数列 1 若数列 n x 则 则 n x有极限的有极限的 是是 n x有上界 2 若数列 有上界 2 若数列 n x 则 则 n x有极限的有极限的 是是 n x有下界 3 单调数列有极限 有下界 3 单调数列有极限 是是 n x有界 注 1 有极限的数列必有界 2 有极限的数列未必单调 有界 注 1 有极限的数列必有界 2 有极限的数列未必单调 2 证明数列极限存在的方法 证明数列极限存在的方法 主要是 单调有界原理 主要是 单调有界原理 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 3 无穷项和 积 的极限 无穷项和 积 的极限 1 首选两边夹 2 若失效则为定积分 3 算出来 1 首选两边夹 2 若失效则为定积分 3 算出来 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 4 求不定式极限的方法 求不定式极限的方法 第一步 化简第一步 化简 1 充分利用等价无穷小代换 充分利用等价无穷小代换 2 把非零因子的极限先计算出来 把非零因子的极限先计算出来 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 第二步 按类型求极限 分类 第二步 按类型求极限 分类 ln 00 lim ln 0 1 0 0 0 1 0 vxvu u xevu e 除下简单的一 项 化为前两种分子分母同除最大约去零因子 的一项 洛比达法则洛比达法则 通分或有理化 变形 求 或提出最大一项 首选凑 除下简单的一 项 化为前两种分子分母同除最大约去零因子 的一项 洛比达法则洛比达法则 通分或有理化 变形 求 或提出最大一项 首选凑 lim 0 k xa f xA B k xa 看每项极限 导数定义 洛 看每项极限 导数定义 洛比比 达法则 达法则 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 二 导数计算二 导数计算 1 用求导公式 用求导公式 2 用导数定义求导数 用导数定义求导数 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 1 用求导公式 用求导公式 1 复合函数求导 复合函数求导 dydy du dxdu dx 2 2 幂指函数求导 幂指函数求导 v xyu x 则 则 lnln ln ln vuvuv yeyevuu vu 3 隐函数求导隐函数求导 方程方程 0F x y 确定了可导函数确定了可导函数 yy x 求 求 dy dx 2 2 d y dx 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 4 参数方程确定的函数求导 参数方程确定的函数求导 xx t yy t tt tt y dtydy dxx dtx 2 2 tt tt dydydy ddt d y dxdxdx dxdxx dtx 5 5 反函数求导反函数求导 设设 xg y 是是 yf x 的反函数 求的反函数 求 gy 1 dxdxdx g y dydf xfx dxfx 22 23 1 dxfx dddx d xfxdyfxfx gy dydydf xfx dxfx 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 2 用导数定义求导数 用导数定义求导数 1 分段点的导数用左右导数求 分段点的导数用左右导数求 2 绝对值为零的点的导数用左右导数求 绝对值为零的点的导数用左右导数求 3 抽象函数的导数用导数定义求 抽象函数的导数用导数定义求 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 三 导数应用三 导数应用 1 基本内容 基本内容 2 方程根的问题 方程根的问题 3 不等式的证明 不等式的证明 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 1 基本内容 基本内容 单调区间 极值 凹向区间 拐点 渐近线 最大最小值 单调区间 极值 凹向区间 拐点 渐近线 最大最小值 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 2 方程根的问题 1 2 方法 连续函数零点定理 存在性 方法 罗尔定理 原函数法 个数 图像法 单调性 极值 最值等 方法 连续函数零点定理 存在性 方法 罗尔定理 原函数法 个数 图像法 单调性 极值 最值等 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 3 可导函数不等式的证明主要有以下几种方法 3 可导函数不等式的证明主要有以下几种方法 不等式的证明方法不等式的证明方法 1 x a b bx 单调性 极值 含 的不等式 图像法 最值 渐近线 1 中值定理 2 含的不等式 2 将 换为 单调性 极值 含 的不等式 图像法 最值 渐近线 1 中值定理 2 含的不等式 2 将 换为 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 四 不定积分的计算四 不定积分的计算 1 1 若是八种类型积分 按固定方法求解 2 若不是八种类型积分 凑出来 核心是 若是八种类型积分 按固定方法求解 2 若不是八种类型积分 凑出来 核心是统一中间统一中间变变 量 量 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 1 八种类型积分 八种类型积分 4 种作变换类型4 种作变换类型 1 被积函数含 1 被积函数含 n axb cxd 2 被积函数含 2 被积函数含 22 ax 3 被积函数含 3 被积函数含 22 ax 4 被积函数含 4 被积函数含 22 xa 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 4 种分部积分类型4 种分部积分类型 1 1 v u dx 多项式多项式三角函数或指数函数 三角函数或指数函数 2 2 u v f xxdx 其中 其中 f x的积分简单 的积分简单 x 导数简单 导数简单 通常 通常 x 是对数 反三角 变限积分 是对数 反三角 变限积分 3 3 u u v v d x 指数 三角 sin cos 指数 三角 sin cos 两次分部积分 出现循环 4 抵消类型 被积函数含 两次分部积分 出现循环 4 抵消类型 被积函数含 2 1 sincos x x x xx e ee xxx 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 1 计算方法 1 计算方法 1 2 5 4 8 4 8 由性质 种作变换 种类型 按不定积分方法种分部积分 不是 种类型 凑统一中间变量 由性质 种作变换 种类型 按不定积分方法种分部积分 不是 种类型 凑统一中间变量 五 定积分的计算方法及应用五 定积分的计算方法及应用 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 定积分性质定积分性质 1 如果 1 如果 f x为为 l l 上连续的奇函数 则上连续的奇函数 则 0 l l f x dx 如 如果果 f x为为 l l 上连续的偶函数 则上连续的偶函数 则 0 2 ll l f x dxf x dx 2 设 2 设 f x在数轴上是周期为在数轴上是周期为T的连续的周期函数 则 的连续的周期函数 则 2 0 2 T a TT T a f x dxf x dxf x dx 2 0 2 T a nTT T a f x dxnf x dxnf x dx 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 定积分性质定积分性质 3 若3 若 f x在在 0 2 上连续 则 上连续 则 22 00 sin cos cos sin fxx dxfxx dx 4 4 22 00 sincos nn xdxxdx 133 1 0mod2 24 2 2 134 2 1mod2 25 3 nn n nn nn n nn 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 定积分性质定积分性质 5 若5 若 f x是 连 续 的 偶 函 数 且 周 期 为T 则是 连 续 的 偶 函 数 且 周 期 为T 则 00 2 TT T xf x dxf x dx 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 2 定积分的应用 定积分的应用 设设 f x连续 非负 则连续 非负 则 f x dx是面积函数是面积函数 s x的微分 的微分 面积函数微分的和微分的和是积分面积函数微分的和微分的和是积分 函数在区间 上的面积 函数在区间 上的面积 f x b aa b f x dxf x dx s x x a 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 1 面积 旋转体体积面积 旋转体体积 1 区域 区域 D 为为 X 型型 21 syxyx dx 21 b a yxy x dx 2222 2121 b x a Vyxyx dxyxyx dx 环状体法 环状体法 2121 2 2 b y a Vxyxyx dxxyxyx dx 柱 柱壳壳 法 法 1 yy x 2 yyx x xdx a b 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 2 区域 区域 D 为为 Y 型型 21 sxyxy dy 21 d c xyxy dy 2121 2 2 d x c Vyxyxy dyyxyxy dy 柱壳法 柱壳法 2222 2121 d y c Vxyxy dyxyxy dy 环状体法 环状体法 c ydy 1 xxy 2 xxy y d 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 3 极坐标曲线所围图形的面积 极坐标曲线所围图形的面积 22 21 1 2 srrd 22 21 1 2 rrd 4 参数方程确定的曲线所围图形的面积 参数方程确定的曲线所围图形的面积 1 rr 2 rr d 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 2 曲线的弧长曲线的弧长 弧微分 弧微分 22 dsdxdy 1 直角坐标曲线直角坐标曲线 yy x 2 1dsy dx 2 参数方程曲线参数方程曲线 xx t C yy t 22 dsxtyt dt 3 极坐标曲线 极坐标曲线 rr 22 dsrr d dy ds dx 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 3 物理应用 质心 做功 水压力等 3 物理应用 质心 做功 水压力等 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 4 变限函数 含参积分 4 变限函数 含参积分 1 1 设设 f x连续 连续 x a xf t dt 则 则 xf x 一般地 设 一般地 设 B x A x xf t dt 则 则 则 则 xf B x B xf A x A x 2 2 若若 f x的 间 断 点 仅 为 第 一 类 的 且 是 有 限 个 则的 间 断 点 仅 为 第 一 类 的 且 是 有 限 个 则 x a xf t dt 连续 3 连续 3 若若 f x连续 且为奇 偶 函数 则连续 且为奇 偶 函数 则 x f t dt 0 0 为偶 奇 函数 为偶 奇 函数 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 4 若4 若 f x连续 则连续 则 x a f xf t dtC 常用 常用 0 x f x dxf t dtC 判断判断 f x dx 奇偶性 奇偶性 5 含参积分的导数求法 5 含参积分的导数求法 1 若参变量能提出 则将参变量提出来 2 若参变量不能提出 则作变换将参变量变换到积分限上 然后 求导 3 1 若参变量能提出 则将参变量提出来 2 若参变量不能提出 则作变换将参变量变换到积分限上 然后 求导 3 bb aa ddf x t f x t dxdx dtdt 其中 其中a b为常数 为常数 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 高等数学经典20题 1 设1 设 2 0 2 0 cos 0 2sin 0 2 x t x ax x f xcx e dtbx x x B B f xg x连续且 连续且 bb aa f xg xf x dxg x dx C C f x连续且为偶函数连续且为偶函数 f x dx 为奇函数 D 为奇函数 D f x连续且连续且 0 x f x dx 周期为周期为 Tf x 周期为周期为T 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 3 3 已 知 方 程已 知 方 程 2 0 2 x yx x edxy 确 定 了 函确 定 了 函 数数 yy x 则 则 A A y单调减少且单调减少且 0 0 为拐点 B 为拐点 B y单调增加且单调增加且 0 0 为拐点 C 为拐点 C y单调减少且单调减少且 0 0 不为拐点 D 不为拐点 D y单调增加且单调增加且 0 0 不为拐点 不为拐点 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 3 3 已知方程已知方程 2 0 2 x y x e dxy 确定了函确定了函数数 yy x 则 则 解 解 21 0 2 y eyy 2 2 y eyyy 选 B A 选 B A y单调减少且单调减少且 0 0 为拐点 B 为拐点 B y单调增加且单调增加且 0 0 为拐点 C 为拐点 C y单调减少且单调减少且 0 0 不为拐点 D 不为拐点 D y单调增加且单调增加且 0 0 不为拐点 不为拐点 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 4 设4 设 21 1 0 x x f xedx 则 则 1 0 f x dx A 0 B A 0 B 1 1 2 e C C 1 2 D 无法计算 D 无法计算 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 解 解 21 1 0 x x f xedx 11 1 0 00 f x dxxf xxfx dx A 0 B A 0 B 1 1 2 e C C 1 2 D 无法计算 D 无法计算 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 5 若5 若 f x连续 且连续 且 2 0 1 lin1 x f x x 则 A 则 A 0 1 f 且 且 0 1f 为为 f x的极小值 B 的极小值 B 0 0 f 且 且 0 1f 为为 f x的极大值 C 的极大值 C 0 1 f 且 且 0 0f 不是不是 f x的极值 D 的极值 D 0 0 f 且 且 0 1f 为为 f x的极小值 的极小值 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 解 解 2 00 1 0 1 1linlin xx f xf xf xxx A A 0 1 f 且 且 0 1f 为为 f x的极小值 B 的极小值 B 0 0 f 且 且 0 1f 为为 f x的极大值 C 的极大值 C 0 1 f 且 且 0 0f 不是不是 f x的极值 D 的极值 D 0 0 f 且 且 0 1f 为为 f x的极小值 的极小值 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 6 求曲线6 求曲线 2 ln 1 yxx 在在 0 1区间 内绕 区间 内绕X轴的旋转体体积 轴的旋转体体积 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 6 求曲线6 求曲线 2 ln 1 yxx 在在 0 1区间 内绕 区间 内绕X轴的旋转体体积 解 轴的旋转体体积 解 1 22 0 ln 1 Vxxdx 1 2212 0 20 ln 1 2ln 1 1 x xxxdxxxdx x 1 222 0 1 2221 0 0 2 2 ln 12 2ln 1 1 ln 12 2 ln 1 1 ln 12 2 ln 12 21 ln 12 2 xxdx xxxdx 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 7 已知 已知 f x在在 a b上连续 在上连续 在 a b内 可导 且 内 可导 且 0 b a f x dx 0 b x a f x e dx 证明存在 证明存在 a b 使 使 ff 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 解解 令令 x a F xf x dx x x a G xF x e dx 因为因为 bb xx aa G bF x e dxF x de 0 bb x bxx bx aa aa F x ee dF xF x ee f x dx 所 以所 以 0G aG b 所 以 所 以 a b 使 使 得得 0GFe 故 故 0F aFF b 所以所以 12 ab 使得使得 12 0FF 即 即 12 0ff 令令 x T xf x e 由 由 12 0TT 12 使得 使得 0T 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 8 若 f x及 其 反 函 数 g x都 可 微 且 3 2 1 1 8 3 f x g t dtx 求 f x 解解 yf x xg y g f xfx 11 22 1 31 3 22 xx 1 2 1 2 xfxx 1 2 1 2 fxx 11 22 1 2 2 f xxcxc i 4 11fc 1 2 1f xx 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 9 求极限 求极限 1 2 lin n n n nn 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 解解 1 2 2 linlin nn n nn nn nnn n 1 2 112 ln ln 1 1 1 linlin n n n n n nnnnn nn ee 1 10 1 ln 1 ln 1 1 lin4 n i i x dx nn n eee 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 10 证明 证明 当当 0 x 2x 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 证明证明 令令 sintan2f xxxx 则 则 2 cossec2 fxxx 2 sin2sectan0fxxxx 所以所以 fx 所以 所以0 0 0 xfxf 所以所以 f x 所以 所以0 0 0 xf xf 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 11 已知 已知 yy x 单调减且下凹单调减且下凹 x 0 则则 A 0ydy B 0dyy C 0ydy 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 yy x 单调减且下凹单调减且下凹 x 0 A 0ydy B 0dyy C 0ydy x x dx 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 12 设 设30 1 x 2 13 1 nxxx nnn 证明数列 证明数列 n x的极限存在 并求此极限 的极限存在 并求此极限 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 解解 1 3 03 nnnn xxxx 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 13 2 lim lim 1 22 nnnn nn nn abab 22 22 2 lim 1 2 nn nn ab nn n ab n ab ii 而 11 0 222 limlimlim 1 22 2 ttnn nn nn t ababab n t n i 0 lnln lim 2 tt t aabb ln ln 2 ab ab lnab eab 原式 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 14 指出间断点并分类 sinsin sin lim sin x tx tx t f x x 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 解 sinsin sin lim sin x tx tx t f x x sin sinsinsin sinsin lim 1 sin xx txx tx tx x sin x x e 间断点为xk 显然 x 0 为可去间断点 第一类 0 xkk 为无穷间断点 为第二类 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 15 讨论方程根sin 2 xxk 0 2 x 的个数 解 sin 0 22 f xxxkx 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 解 sin 0 22 f xxxkx 1cos 2 fxx 由 0fx 0 2 arccosx sin0 2 fxx f x 在 0 2 区间内 曲线是上 凹的 min0 ff x 0 2 fkf 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 当0k 时 0k 0f x 0f x 无解 即方程无根 当0k 1 若 min 0f 时 即 00 sin0 2 xxk 时 即 00 sin 2 kxx 方程无根 k x0 k 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 16 计算 1 x x xe Idx e 分析 I 1 1 x x x d e e 21 x xde 2121 xx x eedx 1 212 x xx x e x ede e 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 解解 令令1 x et 则 则 2 1 x et 2 12 1 1 x xx x ett Idxetdt et i 2 2 1 1 222arctan 1 t dtttc t 212arctan1 xx eec 21414arctan1 xxx Ix eeec 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 17 已知 已知 2 0