正弦定理和余弦定理.doc

正弦定理和余弦定理1.正弦定理：_2R，其中R是三角形外接圆的半径.(1)abc_ _；(2)a_，b_ _，c_ _；(3)sin A_，sin B_，sin C_2.余弦定理：a2_ _， b2_ _，c2_ _.cos A_，cos B_， cos C_.3.SABC4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题.5判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边角关系入手，充分利用正、余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一等腰三角形：ab或AB.直角三角形： 或 .钝角三角形： 或 .锐角三角形：若a为最大边，且满足 或A为最大角，且 .6由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即ABabsinAsinB.基础自测1.在ABC中，若A60，a，则_.2.(2010北京)在ABC中，若b1，c，C，则a_.3.在ABC中，a15，b10，A60，则cos B_.4.ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c3，C，a2b，则b的值为_.5.已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc16，则三角形的面积为 ()A.2 B.8 C. D.6在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a、b、c成等差数列，B30，ABC的面积为，则b .7在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcosC，则此三角形一定是( )A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形8在ABC中，设命题p：，命题q：ABC是等边三角形，则命题p是命题q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件题型一利用正弦定理求解三角形及有关三角形中的三角函数的范围(最值)例1.在ABC中，a，b，B45.求角A、C和边c. (2)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b c，且a2bsinA 求角B的大小； 求cosAsinC的取值范围变式训练1 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinAacosC.求角C的大小；求sinAcos(B)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小题型二利用余弦定理求解三角形例2在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积.变式训练2 1已知a、b、c分别是ABC中角A、B、C的对边，且a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)若c3a，求tan A的值2.在ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，8，BAC，a4.(1)求bc的最大值及的取值范围；(2)求函数f()2sin2()2cos2的值题型三正、余弦定理的综合应用例3(2011浙江)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin Asin Cpsin B (pR)，且acb2.(1)当p，b1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围.变式训练 1.在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c. (1)若c2，C，且ABC的面积为，求a，b的值；(2)若sin Csin(BA)sin 2A，试判断ABC的形状.2. ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A= a 若c2=b2+ a2求B. 题型四判断三角形的形状一、判断三角形的形状例1在ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，已知2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状变式训练4 1.已知在ABC中，则ABC的形状是 2.在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状.练题一一、选择题1在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.若acosAbsinB，则sinAcosAcos2B( )A B. C1 D12.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcos C，则此三角形一定是 ()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形3.在ABC中，若A60，b1，SABC，则的值为()A. B. C. D.4.若ABC的内角A、B、C满足6sinA4sinB3sinC，则cosB( )A. B. C. D.5.若ABC的内角A、B、C所对的边a，b，c满足(ab)2c24且C60，则ab的值为( )A. B84 C1 D.二、填空题6.在ABC中，若b5，B，sin A，则a_.7.若ABC的面积为，BC2，C60，则边AB的长度等于_.8.在ABC中，若AB，AC5，且cos C，则BC_9已知ABC的一个内角为120，且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为 .三、解答题10已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且b2asin B.(1)求A； (2)若a7，ABC的面积为10，求b2c2的值.11在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2c22b，且sin B4cos Asin C，求b.12在ABC中，A，B为