一 三节点三角形单元.doc

有限元课程总结一 三节点三角形单元 1位移函数 移函数写成矩阵形式为：确定六个待定系数xzyijmn矩阵形式如下： 2 单元刚度矩阵的计算1）单元应变和节点位移的关系由几何方程可以得到单元的应变表达式， 2）单元应力与单元节点位移的关系 3) 单元刚度矩阵 3载荷移置 1)集中力的移置如图3所示，在单元内任意一点作用集中力 图3由虚功相等可得，由于虚位移是任意的，则2)体力的移置令单元所受的均匀分布体力为由虚功相等可得，3)分布面力的移置设在单元的边上分布有面力，同样可以得到结点载荷， 4. 引入约束条件，修改刚度方程并求解 1)乘大数法处理边界条件 图3-4所示的结构的约束和载荷情况，如图3-7所示。结点1、4上有水平方向的位移约束，结点4、6上有垂直方向的约束，结点3上作用有集中力。图3-7整体刚度矩阵K求出后，结构上的结点力可以表示为：根据力的平衡，结点上的结点力与结点载荷或约束反力平衡。用表示结点载荷和支杆反力，则可以得到结点的平衡方程： （3-4）这样构成的结点平衡方程组，在右边向量P中存在未知量，因此在求解平衡方程之前，要根据结点的位移约束情况修改方程（3-4）。先考虑结点n有水平方向位移约束，与n结点水平方向对应的平衡方程为： （3-5）根据支承情况，方程（3-5）应该换成下面的方程： （3-6）对比公式（3-5）和（3-6），在式（3-4）中应该做如下修正：在K矩阵中，第2n-1行的对角线元素改为1，该行中全部非对角线元素改为0；在P中，第2n-1个元素改为0。为了保持K矩阵的对称性，将第2n-1列的全部非对角元素也改为0。同理，如果结点n在垂直方向有位移约束，则（3-4）中的第2n个方程修改为，在K矩阵中，第2n行的对角线元素改为1，该行中全部非对角线元素改为0；在P中，第2n个元素改为0。为了保持K矩阵的对称性，将第2n列的全部非对角元素也改为0。对图3-4所示结构的整体刚度在修改后可以得到以下的形式，如果结点n处存在一个已知非零的水平方向位移，这时的约束条件为， （3-7）在K矩阵中，第2n-1行的对角线元素乘上一个大数A，向量P中的对应换成，其余的系数保持不变。方程改为， （3-8）A的取值要足够大，例如取1010。只有这样，方程（3-8）才能与方程（3-7）等价。二 四面体单元如图1所示的四面体单元，单元结点的编码为i, j, m, n。每个结点的位移具有三个分量u, v, w。这样单元结点的位移列阵可表示成： xzyijmn 图 1 空 间 四 面 体 单 元 单元的位移模式采用线性多项式式中，为待定系数，由单元结点的位移和坐标决定。将四个结点的坐标（xi, yi, zi）、（xj, yj, zj）、（xm, ym, zm）、（xn, yn, zn）和结点位移（ui, vi, wi）、（uj, vj, wj）、（um, vm, wm）、（un, vn, wn）代入（2）式可得12个联立方程，解方程组便可求出。将这十二个系数回代到（2）式，则得到由结点位移和形函数表示的单元内任一点的位移表达式：式中，I为三阶单位阵，N为形函数矩阵。上式即为单元结点位移和单元任意点位移之间的关系。1 单元应变和应力知道单元内任意一点位移后，可利用几何方程确定单元内该点的应变。其中( i, j, m, n)单元的应力列阵：式中：S为四面体单元的应力矩阵，其分块形式为：（i, j, m, n）其中2 单刚矩阵对于四面体单元，利用虚功原理，采用类似平面问题的处理方法可以得到其单刚矩阵其中：Ke为单元刚度矩阵写成分块形式为式中子矩阵 Krs由下式计算可以看出， 单元刚度矩阵是由单元结点的坐标和单元材料的弹性常数所决定的，是一个常数矩阵。如果将空间弹性体划分为ne个单元和n个结点，再经过类似于平面问题的组集过程，就可以得到弹性空间问题的平衡方程三 平面四节点四边形单元 矩形单元也是一种常用的单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高位的模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。 矩形单元1234如图3-1所示，其边长分别为2a和2b，两边分别平行于x，y轴。若取该矩形的四个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单元共有8个自由度。 图3-1 矩形单元1234 在局部坐标系中，节点i的坐标是(xi , hi )，其值分别为1。取位移模式 由几何方程可以求得单元的应变对于平面应力问题若将单元刚度矩阵写成分块形式则其中的子矩阵可按下式进行计算如果单元厚度t是常量，则同样，对于平面应变问题，只要将上式中的E、m分别换成E / 1-m 2 和m / 1-m 即可。四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为四 8节点六面体单元分析一、形函数与坐标变换 1）形函数2) 坐标变换 3）位移插值函数与几何矩阵 三、单元刚度矩阵与等效节点载荷向量 写成矩阵形式有：单元刚度矩阵可以表示为：进一步写成数值积分形式为： 单元体力载荷向量可以表示为五 其他常用单元位移函数和自由度单元名称及适用情况单元图形杆单元桁架位移模式平面梁单元平面刚架平面三