复变函数与积分变换第1章复数与复变函数ppt.ppt

1 复变函数的理论和方法在数学 自然科学和工程技术中有着广泛的应用 是解决诸如流体力学 电磁学 热学弹性理论中平面问题的有力工具 复变函数中的许多概念 理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展 自变量为复数的函数就是复变函数 它是本课程的研究对象 由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算 本章将在原有的基础上作简要的复习和补充 然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念 为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础 2 第一章复数与复变函数 复数复数表示及运算平面点集复变函数极限和连续性 3 复数 复数表示及运算 复数的概念 复数相等 复数 形如z x iy的数被称为复数 其中x y R x Rez y Imz分别为z的实部和虚部 i为虚数单位 其意义为i2 1 z1 z2当且仅当Rez1 Rez2且Imz1 Imz1 复数不能比较大小 4 复平面 复数与平面向量一一对应 模 幅角 并规定幅角按逆时针方向取值为正 顺时针方向取值为负 5 当z 0时 z 0 而幅角不确定 argz可由下列关系确定 说明 当z在第二象限时 例3求和 解 7 复数的表示 代数表示 z x iy 三角表示 指数表示 注意 在三角表示和指数表示下 两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差 例4求的三角表示式与指数表示式 解 因为 所以 设 则 又因为位于第II象限 所以 于是 9 例4将下列复数化为三角表示式与指数表示式 解 1 z在第三象限 因此 因此 2 显然 r z 1 又 因此 10 复数的运算 设z1 x1 iy1和z2 x2 iy2是两个复数 复数加减法满足平行四边形法则 或三角形法则 11 乘法运算 两个复数相乘等于它们的模相乘 幅角相加 12 除法运算 两个复数相除等于它们的模相除 幅角相减 13 复数四则运算规律 1 加法交换律 2 乘法交换律 3 加法结合律 4 乘法结合律 5 乘法对于加法的分配律 14 共轭运算 复数z x iy的共轭复数为 共轭复数为是复数z关于实轴的对称点 15 共轭复数的运算性质 1 2 3 4 5 6 7 为实数 16 例1化简 解 例2设 求及 解 所以 18 1 复数的乘幂 设为正整数 个非零相同复数的乘积 称为的次幂 记为 即 若 则有 当时 得到著名的棣莫弗公式 例7求 解 因为 所以 例8已知 求 解 因为 所以 21 复数的方根 称满足方程的复数为的次方根 记作 或记作 令 解出 由 即 可求出6个根 它们是 例解方程 解因为 所以 例2计算 解因为 所以 即 24 练习 25 平面点集 邻域 平面上以为心 为半径的圆 内部所有点的集合称为点的 邻域 记为 即 称集合为的去心 邻域 记作 开集如果点集的每一个点都是的内点 则称为开集 闭集如果点集的余集为开集 则称为闭集 连通集设是开集 如果对于内任意两点 都可用折线连接起来 且该折线上的点都属于 则称开集是连通集 27 区域 区域 或开区域 连通的开集称为区域或开区域 闭区域开区域连同它的边界一起 称为闭区域 记为 28 平面图形的复数表示 很多平面图形能用复数形式的方程 或不等式 来表示 也可以由给定的复数形式的方程 或不等式 来确定所表示的平面图形 例1 Z平面上以原点为中心 R为半径的圆周方程为 Z平面上以Z0为中心 R为半径的圆周方程为 连接z1和z2两点的线段的参数方程为 过两点z1和z2的直线L的参数方程为 29 例2 考察下列方程 或不等式 在平面上所描绘的几何图形 1 该方程表示到点2i和 2距离相等的点的轨迹 所以方程表示的曲线就是连接点2i和 2的线段的垂直平分线 它的方程为y x 2 设z x iy 30 3 表示实轴方向与由点i到z的向量之间交角 的主值 因此满足方程的点的全体是自i点出发且与实轴 正向夹角为45度的一条半射线 不包括i点 4 31 例3 指出不等式 中点z的轨迹所在范围 解 因为 所以 于是有 32 它表示在圆 外且属于左半平面的所有点的集合 图1 1 简单曲线 简单闭曲线 平面曲线 若存在满足 且 的 使 重点 无重点的连续曲线称为简单曲线或 则称此曲线C有 约当 Jordan 曲线 除外无 其它重点的连续曲线称为简单闭曲线 例如 是一条简单闭曲线 如图1 在几何直观上 简单曲线是平面上没有 打结 情形的连续曲线 即简单曲线自身是不会相交的 简单闭曲线除了没有 打结 情形之外 还必须是封闭的 例如 图1 10中的是简单曲线 是简单闭区域 图1 11中的 不是简单曲线 但是闭曲线 图1 10 图1 11 2 光滑曲线 分段光滑曲线设曲线的方程为若 在上可导且 连续不全为零 则称曲线为光滑曲线 由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线 3 单连通域 多连通域设是复平面上一区域 如果在内任作一条简单闭曲线 其内部的所有点都在中 则称区域为单连通区域 否则称为多连通区域或复连通区域 在几何直观上 单连通区域是一个没有 空洞 点洞 和缝隙 的区域 而多连通区域是有 洞或缝隙 的区域 它可以是由曲线所围成的区域中挖掉几个洞 除去几个点或一条线段而形成的区域 如图1 12 图1 12 37 练习 考察下列方程 或不等式 在平面上所描绘的几何图形 并指明它是有界还是无界 是单连通还是多连通 38 复变函数 复变函数之定义 设G是一个复数z x iy的集合 如果有一个确定的法则存在 按照这一法则 对于集合G中的每一个复数z 有一个或多个复数 u iv与之对应 那么称复变数w是复变数z的函数 或复变函数 记为 f z 说明1 如果z的一个值对应着 的唯一一个值 那么我们称f z 是单值的 如果z的一个值对应着多个 的值 那么我们称f z 是多值函数 39 复变函数 f z 可以写成 u x y iv x y 其中z x iy 40 z平面 平面 iz zexp i 2 例1将定义在全平面上的复变函数化为一对二元实变函数 解设 代入得 比较实部与虚部得 例2将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数 化为一个复变函数 解设 则 将 以及代入上式 经整理后 得 43 复变函数的极限与连续 1 函数极限的定义1 4 1 一 函数极限 44 几何意义 45 复变函数的极限四则运算法则 与实变函数的极限性质类似 惟一性 复合运算等 46 定理1 4 1 2 极限计算的性质 例3试求下列函数的极限 1 2 解 1 法1设 则 且 得 法2 解 设 则 得 2 例2证明函数在时极限不存在 证设 而考虑二元实函数当沿着 为任意实数 趋向于 即 显然 极限值随值的不同而不同 所以根据二元实变函数极限的定义知 在趋向于时的极限不存在 即得结论 二 函数的连续性定义1 4 2设在点的某邻域内有定义 若 则称函数在点处连续 若在区域内每一个点都连续 则称函数在区域内连续 定理1 4 2函数 在处连续的充要条件是和都在点处连续 连续的三要素 1 f z 在z0处有定义 2 f z 在z0处有极限 3 f z 在z0处的极限值等于函数值 51 连续函数的性质 定理 例4求 解 因