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第四节 空间曲线及其方程一 空间曲线的一般方程 曲面和的交线可表示为它称为空间曲线的一般方程. 例1 方程组表示何曲线? 解 表示母线平行于轴的圆柱面, 其准线是面上的圆. 表示一个母线平行于的柱面, 其准线是面上的直线, 因而在空间表示一个平面. 是上述圆柱面和平面的交线. 例2 方程组表示何曲线? 解 二 空间曲线的参数方程叫做空间曲线的参数方程，称为参数.例3 若空间一点在圆柱面上以角速度绕轴旋转, 同时又以线速度沿着平行于轴的正方向上升 (和均为常数) , 则点的轨迹叫做螺旋线. 试建立其参数方程. 解 设为时间. 当时, 设位于轴上的处. 经过时间, 由运动到. 记在面上的投影为, 则于是, 螺旋线的参数方程为 注 若设, 则该方程变为这里, 为常数, 而是参数. 这说明曲线的参数方程不唯一, 参数的选择也不唯一. 曲面的参数方程 (删) 三 空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线为准线且母线垂直于平面的柱面称为曲线关于平面的投影柱面. 和的交线称为在上的投影曲线或投影.设有空间曲线.由此消去, 得关于面的投影柱面.于是, 在面上的投影曲线为同理, 若由消去, 则得关于面的投影柱面和在面上的投影若由消去, 则得关于面的投影柱面和在面上的投影 例4 求曲线在面上的投影曲线. 解 用第一式减去第二式, 得.于是, . 代入, 得,从而所求的投影方程为注1 是球面和的交线, 因而是一个圆. 注2 是曲线向面的投影柱面 (平面) , 它是所在的平面.注3 是向面的投影柱面, 即 (椭圆柱面) . 于是, 投影曲线为 (椭圆) .例5 设一个立体由上半球面和锥面所围成， 求它在面上的投影. 解 和的交线为 消去, 得, 它是从向面所作的投影柱面 (圆柱面) . 在面上的投影曲线为 (面上的单位圆). 所求立体在面上的投影即该圆的内部.作业 P. 324 1 (1) , (2) , 2, 3, 4, 7, 8 提示2 (2) 作图后易理解.3 由已知的方程组分别消去和即可.4 由已
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