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第二章 曲面论第七节 曲面上的短程线 给定曲面，设是曲面上的两点，在曲面上连接两点的曲线中，弧长最小的曲线，称为曲面上连结的短程线。 设是曲面上的一条曲线，如果对上的任何两点，曲线在两点间的部分都是曲面上连结的短程线，则称是曲面上的一条短程线。 若曲面上有直线，则曲面上的直线是曲面上的一条短程线。 问题：如何寻找曲面上的短程线。 下面，我们寻找曲面上的曲线是短程线的必要条件。给定曲面，设具有二阶连续偏导数。为了书写方便，对曲面我们引入新的参数表示。令，则曲面的参数方程为。记；，；，则有， ； 。设是曲面上的两点设曲面上连的曲线弧段，其参数方程为；，为定值，这里是该曲线的弧长参数。曲线弧长为 ，其中 。设曲面上连的曲线弧段，其参数方程为其中，且，。曲线弧长为，假若是短程线，则在处达到极小值，于是，即 ，或，根据分部积分，得，再利用边界条件，因此有，于是得，因为上式是对任意，都成立，于是得到欧拉（Euler）方程，。由于 ， ，（）；，于是欧拉（Euler）方程可简化为，即，。这就是曲面上的短程线方程。（当然这是短程线必要条件）。 例 设曲面的第一基本形式为，求证：（1）-曲线是测地线； （2）-曲线为测地线，当且仅当。证明 令，则曲面的第一基本形式为则有，测地线的方程为，换回记号，则为，由于-曲线即为；由于-曲线即为。例 球面。第一基本量 ， ，第一基本形式为， -曲线为测地线，即经线为测地线，球面上的大圆都是测地线。例 正螺面的第一基本形式为 ， ，所以-曲线是测地线。测地线的方程为， 。定理 曲面上短程线的测地曲率为零。定理 曲面上连结两点弧长最短的曲线的测地曲率为零，即一定是测地线.证明 设曲面：，设是曲面上的两点。设曲面上连的曲线弧段，其参数方程为；，为定值，这里是该曲线的弧长参数。： 。以表示曲线上的单位切向量；设是曲面上的法向量，命 ，则是彼此正交的单位向量，并且构成一右手系。下面先推导弧长的第一变分公式.让曲线 在曲面 上作保持两个端点的连续变动, 得到曲面上一族曲线 , 它们的参数方程为 ： ，这里 是曲线族参数, 时的曲线正好就是曲线 ; 是曲线的参数. 曲线族称为曲线 的一个变分.当我们固定参数 , 而变动时, 就得到了曲面上另一族曲线, 它的切向量为，所以是曲面沿曲线 的一个向量场, 于是我们令其中是沿曲线 定义的两个光滑函数. 由于曲线 的连续变动的任意性,导致函数 的任意性. 这一点将在下面会被用到.设是曲线的长度, 我们有，由于 ，代入上式继续计算得到，又因为在 处, =常向量, 所以，；于是，至此我们得到了弧长的第一变分公式为，现在, 设曲线 是连结两点P;Q的长度最短的曲线,
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